向量及向量加减法

1、学习目的：1. 理解向量、零向量、单位向量、向量的模的意义；2. 理解向量的几何表示，会用字母表示向量；3. 了解平行向量、共线向量和相等向量的意义，并会判断向量间平行（共线）、相等的关系；4. 通过对向量的学习，使学生对现实生活的向量和数量有一个清楚的认识，培养学生的唯物 辩证思想和分析辨别能力 .5掌握向量的加法的定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向 量；6掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算； 7明确相反向量的意义，掌握向量的减法，会作两个向量的差向量； 8在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向量的计算，将数和形有机结 合，并能利

2、用向量运算完成简单的几何证明；9通过阐述向量的减法运算可以转化为向量加法运算及多个向量的加法运算可以转化成两个 向量的加法运算， 可以渗透化归的数学思想， 使学生理解事物之间相互转化， 相互联系的辨证思 想，同时由于向量的运算能反映出一些物理规律，从而加强了数学学科与物理学科之间的联系， 提高学生的应用意识学习内容 :向量这部分知识是新内容， 但我们已经接触过了 . 同学们在物理的课程学习过矢量的概念， 它与我们要 学的向量是一致的（知识是相通的），即使在数学中，前一段我们学习三角函数线时讲过有向线段，实际 上向量就是用有向线段表示的学习难点向量的加法运算一、向量的概念、向量：既有大小又有方向

3、的量.通常用有向线段存表示，其中A为起点，B为终点，显然表示不同的向量；有向线段 屈的长度表示向量的大小，用I屈I表示，显然既有向线段的起、终点决定向量的方向，有向线段的长度决定向量的大小注意：向量一_的长度II又称为向量的模；长度为 0的向量叫做零向量，长度为 1的向量叫做单位向量.方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，规定零向量与任一向量平行.平行向量可通过平移到同一条直线上，因此平行向量也叫共线向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.零向量与零向量相等，任意两个相等的非零向量可经过平移的过程重合在一起，既可用一个有向线段表示，而与起点无关二、向量的加法1 向量加法的平行四边形法则TT

4、-= T平行四边形 ABCD中，向量的和为一二.记作：丄厂亠 亠.2 向量加法的三角形法则 _T_T根据向量相等的定义有：.E丄1 ,既在 ADC中，一匸|_，首尾相连的两个向量的和是以第一个向量的起点指向第二个向量的终点规定:零向量与向量的和等于-.三、向量的减法T_T _T广宀一 . -；-，既用加法法T TT _ -T向量/：.：,与向量.I叫做相反向量.记作：.I-.则则来解决减法问题例题选讲第一阶梯例1判断下列命题的真假： 直角坐标系中坐标轴的非负轴都是向量； 两个向量平行是两个向量相等的必要条件； 向量一二与一是共线向量， 9J、_、二必在同一直线上； 向量门与向量平行，则门与J的

5、方向相同或相反； 四边形 ABCD 是平行四边形的充要条件是分析：判断上述五个命题的真假性，需细心辨别才能识其真面目.解： 直角坐标系中坐标轴的非负半轴，虽有方向之别，但无大小之分，故命题是错误的. 由于两个向量相等，必知这两个向量的方向与长度均一致，故这两个向量一定平行，所以，此命题正确； 不正确._&与一共线，可以有 二与丄 平行； 不正确.如果其中有一个是零向量，则其方向就不确定； 正确此命题相当于平面几何中的命题：四边形 ABCD 是平行四边形的充要条件是有一组对边平行且相等.例2下列各量中是向量的有 .A、动能 B、重量 C、质量 D、长度E、作用力与反作用力F、温度分析：用向量的两

6、个基本要素作为判断的依据注意对物理量实际意义的认识解：A，C, D, F只有大小，没有方向，而B和F既有大小又有方向，故为向量.例3命题“若zb ，bc ，则I .”（）A.总成立 B.当l7 - I时成立 c.当 i - | 时成立 D.当：-.时成立 分析：这里要作出正确选择，就是要探求题中命题成立的条件零向量与其他任何非零向量 都平行，.当两非零向量l/、不平行而 一 时，有/ b，b、，但这时命题不成立，故不能选择A,也不能选择 B与D,故只能选择 C.答案：C第二阶梯例1如图i所示，已知向量 cw ，试求作和向量I b I .分析：求作三个向量的和的问题，首先求作其中任两个向量的和，

7、因为这两个向量的和仍为一 个向量，然后再求这个向量与另一个向量的和即先作I，再作i l7 1 f 1.图1解：如图2所示，首先在平面内任取一点_，作向量 OA=a ，再作向量匕，则得向量圧 d I -，然后作向量/，则向量CA_ l； b I -即为所求.例2化简下列各式丄L _11-二/ ;I： 一丄.分析：化简含有向量的关系式一般有两种方法是利用几何方法通过作图实现化简；是利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序，有时也需将一个向量拆分成两个或多个向量.解：原式=二上,T ： 一匚丄丄H原式亠JU - JABC例3用向量方法证明：对角线

8、互相平分的四边形是平行四边形.分析：要证明四边形是平行四边形只要证明某一组对边平行且相等由相等向量的意义可知, 只需证明其一组对边对应的向量是相等向量.(需首先将命题改造为数学符号语言)已知：如图 3, ABCD是四边形，对角线 AC与BD交于0,且AO=OC DO=OB求证：四边形 ABCD是平行四边形.证明：由已知得：ADA0 + 0D = 0C + B0 = B0WC = BC ，且A, D, B, C不在同一直线上,故四边形ABCD是平行四边形.第三阶梯例1 下列命题(1)单位向量都相等;(2)若丄丄，则也二1上二；(3 )若ABCD为平行四边形，则 一;T=T T_T T = T(4

9、)若丄一i 一汀U 一上二.其中真命题的个数是()A、 0B、 1C、2D、3T弓T解：(1)不正确.单位向量的长度相等，但方向不一定相同；(2)不正确.可能T =T _ 在同一条直线上；(3)不正确.平行四边形 ABCD中，止 丄一- 11- ;( 4)正确.满足等量的传递性.选B.例2若0为正三角形 ABC的中心，则向量T T TA、有相同起点的向量B平行向量C、模相等的向量等的向量.由正三角形的性质.选T i=fT T解：的起点不同，不平行也不相等C.i/5+2mi=妫例3.某人向东走 3km,又向北走3km,求此人所走路程和位移解:此人所走路程：|AB|+|BC|=6km.此人的位移例

10、4求证对角线互相平分的平面四边形是平行四边形T _T T _T已知：丄 _i； 工亠，求证:ABCD为平行四边形=T防+=T朋证明：由加法法则T=7时线共TBC与T屈(1) 2-c-c一IJ7 _7丄 !,即线段AB与DC平行且相等, ABCD为平行四边形例5.非零向量一二_中，试比较 l/t ic同谄 的大小.T与TT=T(2)不共线时，匚 丄，T_T 二T T =T丄二亠二,综上: 1x5总胡课外练习i .若两个向量不相等，则这两个向量(A、不共线C、不可能均为单位向量B、长度不相等D、不可能均为零向量2 四边形RSPQ为菱形，则下列可用一条有向线段表示的两个向量是（）T 1=T i=jT

11、A 二一,B、SRPQT与TT耳TC 鳥 - ,DSRSP3“两个向量共线”是“这两个向量相等”的（)A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D既不充分也不必要条件T T =T T4. O是四边形ABCD对角线的交点，若_、工- ，则四边形ABCD（）A、等腰梯形B、平行四边形C、菱形 D、矩形5.若0是厶ABC内一点,OA 0Bj C ，则 0是 ABC 的().A、内心B、外心C垂心D、重心T6. ABC 中，=().T T-A、BC CAB、%）C丄_JD、BC-7.平行四边形 ABCD中，E、F为AB, CD中点，图中7个向量中，与屈 相等的向量是 TTT与相等的向量是；与屈

12、平行的向量是；与 D4平行的向量是.T T T T8 已知：首尾相接的四个向量一上丄一 _求证:.S参考答案：1.D2.B3.B4.B5.D6.BT T T T T T T7. FC1 饴 E即FD，紀,阿CE二T8. 证明：丄 _ _，DA：-.i ：TADTDA=0测试选择题1 已知向量a=（3,m）的长度是5,则m的值为（）.A、4 B、-4 C、士 4 D、162 .下面有四个命题：（1）向量*丄的长度与向量丄二的长度相等.（2）任何一个非零向量其终点必相同都可以平行移动.（3）所有的单位向量都相等.（4）两个有共同起点的相等向量, 其中真命题的个数是（）A、4 B、33 在下列命题中

13、，正确的是（）- T- TT-A、若|L|，则L B、I L= |.： | ，贝U L/ =- TTT -C、若“ =，则a与.：共线D、若 Lt，贝ULt 定不与共线4 下列说法中错误的是（）A、零向量是没有方向的B、零向量的长度为 0C、零向量与任一向量平行D、零向量的方向是任意的5 .如图，设O是正六边形 ABCDE啲中心，则和相等的向量的个数是（）C、3个答案与解析答案：1、C 2、B 3、C 4、A 5、B解析：1.答案:C.因为|a|=4* H-jy 二所以.=1.2 .答案:B. (1)对.因为丄与丄幺是指同一条线段，因此长度相等.对.这是由相等向量推导岀的结论.(3)错.因为单

14、位向量只要求模长等于1,方向不作要求，因此不一定相等.(4)对因为相等向量可以经过平移至完全重合解决本题的关键是熟 练掌握有关基础知识B错相等向量不仅D错因为向量不相等,3 .答案：C. A错.因为向量有大小和方向两个要素.无法比较大小.要模长相等，方向也要相同.C对相等向量方向一定相同，因此共线.可能仅由于模长不等，方向仍可能是相同的，所以有共线的可能.4 .答案：A.零向量是规定了模长为 0的向量.零向量的方向没有规定，是任意的，可以看 作和任一向量共线.零向量绝不是没有方向.5 答案：B.根据向量相等的条件向量重点难点了解向量可以根据需要自由平移的特点是今后运用向量方法解决问题的前提条件

15、之一，也因此，平行 向量也叫共线向量要根据向量的有关概念从图形中找岀相等的向量和共线的向量因此，要加强训练观 察一些常见图形.以下三个问题上常岀现错误：一是用表示向量的有向线段的起点和终点的字母表示向量时，一定注意搞清字母顺序，起点在前，终点在后，例如二-与丄二是大小相同，方向相反的两个向量，二是零向量T -的方向是任意的，而不是没有方向，因此有关零向量的方向问题一般要注意规定，例如命题： _与.tT T - T-共线， _与二共线，L与二 共线，是错误的，因为零向量的方向是任意的，故L与二 的方向没有任何关系，因此也无法判断是否共线，三是注意区别平行向量与平面几何中直线平行的概念，前者相当于

16、两直线位置关系中的平行和重合两种情况，例如错误地认为平行向量不可能是共线向量，其实这两个概念是同一个概念.典型题目例i下列说法中正确的是（）A向量7与向量共线，向量与向量共线，则向量7与向量共线B、任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点C、向量7.不共 线，则LC与T门所在直线的夹角为锐角D始点相同的两个非零向量不平行答案：A点评：向量共线即方向相同或相反,故非零向量间的共线关系是可以传递的.共线向量等同于平行向量，既可平行也可在同一直线上 .而相等向量是共线的， 故B中四点可能在同一直线上， 向量不共线，仅指其所在直线不平行或不重合， 夹角可能是直角，而选项D中向量是否共

17、线与始 点位置无关.例2 “两个向量共线”是“这两个向量方向相反”的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C. 充要D.既不充分也不必要答案：B点评：向量共线即向量方向相同或相反，故后者推岀前者，而反之不成立.例3下面有四个命题：（1）向量的模是一个正实数.（2）两个向量平行是两个向量相等的必要条件.（3）若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等.（4）温度含有零上温度和零下温度,所以温度是向量，其中真命题的个数为A. 0B. 1 C. 2 D. 3答案：B点评：只有（2）是正确的，因为两个向量平行只是指这两个向量在方向上是相同或相反的.方向相反则不可能是相等向量.即使方向相同，对于大小也没

18、有要求，依然无法判定两个向量是否相等.而两个相等向量的方向一定相同，必是平行向量.（1）错在向量的模是表示向量的有向线段的长度，零向量的模为零因此向量的模是一个非负实数.（3）错在两个单位向量互相平行，方向可能相同也可能相反，因此这两个向量不一定相等.（4）错在温度的零上零下也只是表示数量向量既要有大小又要有方向常见的向量有力、速度、位移、加速度等正确解答本题的关 键是把握住向量的两个要素，并从这两个要素人手区分其它有关概念.例4 一辆汽车从A点岀发向西行驶了 100公里到达B点，然后又改变方向向西偏北50 走了 200公里到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100公里到达D点.（1）作岀向量

19、-、丄丄（2）求| :丄|.答案： 见图. 由题意，易知方向相反，故-与二 共线，又/ 在四边形ABCD中, AB _CD,四边形ABCD为平行四边形，二二，点评：准确画岀向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向， 最后根据向量的大小确定向量的终点.例5 一个人从A点岀发沿东北方向走了100米到达B点后改变方向沿南偏东15 又走了 100米到达C点，求此人从C点走回A点的位移.T解：如图，根据题意知 ABC为等边三角形，故/a=15, |厶|=100 ,二 此人从C点走回A点的位移一，大小为100米，方向为西偏北 15 .检测题1. 在下列各命题中，为真命题的有()(1) 物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量(2) 温度有零上温度和零下温度因此温度也是向量(3) 方向为南偏西 60的向量与方向为北偏东60的向量是共线向量(4) 坐标平面上的 x轴和y轴都是向量A. 1个B . 2个C . 3个D . 4个2. 已知a、b、c是三个非零向量，则|a+b+c|=|a|+|b|+|c|的充要条件是()方向A. a、b同方向B . b、c同方向c同方向D . a、