高中数学《基本不等式》教案

1、基本不等式教案一、教学目标1 通过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解 基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想；2 进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织 学生分析证明方法，加深对基本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力；3 结合课本的探究图形，引导学生进一步探究基本不等式的几何解释，强 化数形结合的思想；4 借助例 1 尝试用基本不等式解决简单的最值问题，通过例 2 及其变式引导学生领会运用基本不等式ab a +b2的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略以上教学目标结合了教学实际，将知识与能力、过程

2、与方法、情感态度价值 观的三维目标融入各个教学环节二、教学重点和难点重点： 应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式ab a +b2的证明过程；难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式 三、教学过程：1动手操作，几何引入如图是在北京召开的第 24 届国际数学家大会会标，会标 是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了 迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、 形数统一、代数和几何是紧密结合、互不可分的探究一：在这张“弦图”中能找出一些相等关系和不等 关系吗？在 正 方 形a b c d中 有 4 个 全 等 的 直 角 三 角 形 设 直 角

3、 三 角 形 两 条2 2直角边长为 a, b ，那么正方形的边长为 a 2 +b 2于是，4 个直角三角形的面积之和s =2 ab1，正方形的面积s =a +b 2由图可知s s2 1，即a2+b22 ab探究二： 先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个 等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形（两 边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠）假b设两个正方形的面积分别为 a 和 b （a b），考察两个直角a三角形的面积与矩形的面积，你能发现一个不等式吗？通过学生动手操作，探索发现：ab a +b22代数证明，得出结论根据上述两个几何背景，初步形成不等式结论：若 a, b

4、r+，则 a2+b22 ab 若 a, b r + ，则 ab a +b2学生探讨等号取到情况，教师演示几何画板，通过展示图形动画，使学生直 观感受不等关系中的相等条件，从而进一步完善不等式结论：（1）若 a , b r + ，则 a 2 +b 2 2ab；（2）若 a , b r + ，则 ab a +b2请同学们用代数方法给出这两个不等式的证明 证法一（作差法）：a2+b2-2 ab =( a -b )202 a 2 +b 2 2 ab ，当 a =b 时取等号（在该过程中，可发现 a, b 的取值可以是全体实数）证法二（分析法）：由于a , b r+，于是要证明a +b2 ab，只要证明

5、a +b 2 ab，即证a + b -2 ab 0，即( a - b ) 0，该式显然成立，所以a +b2 ab ，当 a =b 时取等号得出结论，展示课题内容 基本不等式:若 a, b r +，则 ab a +b2（当且仅当 a =b 时，等号成立）若a , b r，则 a 2 +b 2 2ab（当且仅当a =b时，等号成立）深化认识：称 ab 为 a, b 的几何平均数；称a +b2为 a, b 的算术平均数基本不等式ab a +b2又可叙述为：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数3几何证明，相见益彰探究三： 如图， ab 是圆 o 的直径，点 c 是 ab 上一点， ac =a ，

6、 bc =b 过点c作垂直于ab的弦de，连接ad, bdd根据射影定理可得： cd = ac bc = ab 由于 rt dcod 中直角边 cd 斜边 od ，ao cb于是有ab 0, b 0时，ab a +b2（当且仅当a =b时，等号成立）s 212 8（进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性）4应用举例，巩固提高例 1.（1）用篱笆围一个面积为 100 平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、 宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）一段长为 36 米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少 时，菜园的面积最大，最大面积是多少？（通过例 1 的讲解，总结归纳利用基

7、本不等式求最值问题的特征,实现积与 和的转化）对于x, y r+，（1）若xy =p（定值），则当且仅当a =b时，x +y有最小值2 p；（2）若x +y =s（定值），则当且仅当a =b时，xy有最大值 4（鼓励学生自己探索推导，不但可使他们加深基本不等式的理解，还锻炼了 他们的思维，培养了勇于探索的精神）例 2.求1y =x + ( x 0)x的值域变式 1. 若 x 2 ，求 x + 的最小值x -2在运用基本不等式解题的基础上，利用几何画板展示 图象，使学生再次感受数形结合的数学思想1y =x + ( x 0)x的函数并通过例 2 及其变式引导学生领会运用基本不等式ab a +b2的

8、三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用，提升解决问题的能力，体会方 法与策略练一练（自主练习）：1.已知x 0, y 0，且+ =1 ，求 xy 的最小值 x y2.设x, y r，且x +y =2，求3x+3y的最小值5归纳小结，反思提高基本不等式：若a , b r ，则 a 2 +b 2 2ab（当且仅当 a =b 时，等号成立）若 a, b r+，则ab a +b2（当且仅当a =b时，等号成立）（1）基本不等式的几何解释（数形结合思想）； （2）运用基本不等式解决简单最值问题的基本方法 媒体展示，渗透思想：若将算术平均数记为z =1x +y2，几何平均数记为z = xy2利用电脑 3d 技术，在空间坐标系中向学生展示基本不等式的几何背景：平面z =1x +y2在曲面z = xy2的上方6布置作业，课后延拓（1）基本作业：课本 p100 习题a组 1、2 题（2） 拓展作业：