高中数学必修2第三章知识点及练习题

1、k 0a oa o o 0 ,90 90 ,180oy -yk = 2 1( x x )1 21 2l00()()（y -y x -x1 12 21 2 1 2第三章直线与方程截矩式：x y+ =1a b，其中直线 l 与 x 轴交于点 ( a,0) ,与 y 轴交于点 (0, b) ,即 l 与 x 轴、 y 轴1、直线倾斜角的概念：当直线 l 与 x 轴相交时, 取 x 轴作为基准, x 轴正向与直线 l 向上方向之间所的截距 分别为 a, b。成的角叫做直线 l 的倾斜角.特别地,当直线 l 与 x 轴平行或重合时, 规定= 0. 2、 倾斜角的取值范围： 0180. 当直线 l 与 x

2、 轴垂直时, = 90.一般式：ax +by +c =0（a，b 不全为 0）3、直线的斜率:一条直线的倾斜角(90)的正切值叫做这条直线的斜率,常用小写字母 k 表示, 也就是 k = tan。1 当直线 l 与 x 轴平行或重合时, =0, k = tan0=0;2 当直线 l 与 x 轴垂直时, = 90, k 不存在.注意：在平时解题或高考解题时，所求出的直线方程，一般要求写成斜截式或一般式。 各式的适用范围 特殊的方程如：平行于 x 轴的直线： y =b （b 为常数）；平行于 y 轴的直线： x =a （a 为常数）； 5、直线系方程：即具有某一共同性质的直线 ) ( )当 时，

3、，k 随着的增大而增大； 当 时， 而增大； 当 a = 90 o时， k 不存在。由此可知, 一条直线 l 的倾斜角一定存在,但是斜率 k 不一定存在.p ( x , y )、p ( x , y )过两点 1 1 1 2 2 2 的直线的斜率公式：x -x2 1注意下面四点：k 0，k 随着的增大（1）平行直线系平行于已知直线 a x +b y +c =0 （ a , b 是不全为 0 的常数）的直线系： a x +b y +c =0 （c0 0 0 0 0 0 0为常数），所以平行于已知直线 a x +b y +c =0 的直线方程可设： a x +b y +c =0, c c0 0 0

4、0 0 0垂 直 于 已 知 直 线 a x +b y +c =0 （ a , b 是 不 全 为 0 的 常 数 ） 的 直 线 方 程 可 设 ：0 0 0 0 0b x -a y +c =0 （c 为常数）0 0（2）过定点的直线系斜率为 k 的直线系： y -y =k (x-x )，直线过定点 (x, y )；0 0 0 0(1)当x = x1 2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为 90；过两条直线l1: a x +b y +c =0 ， l : a x +b y +c =0 1 1 1 2 2 2 2的交点的直线系方程为(2) k 与 p 、 p 的顺序无关；(3) 以后

5、求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率，再求倾斜角。(ax+b y +c )+l(ax+by+c )=0 1 1 1 2 2 26、两直线平行与垂直（ l为参数），其中直线 不在直线系中。2三点共线的条件：如果所给三点中任意两点的连线都有斜率且都相等，那么这三点共线；反之，三 点共线，任意两点连线的斜率不一定相等。解决此类问题要先考虑斜率是否存在。（1）当l : y =k x +b ， l : y =k x +b 1 1 1 2 22时，4、直线方程（注意各种直线方程之间的转化）直线的点斜式方程： y -y =k ( x -x )

6、，k 为 直线的斜率，且过点 (x, y )，0 0 0 0适用条件是不垂l / l k =k , b b ； l l k k =-11 2 1 2 1 2 1 2 1 2注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。直 x 轴。注意：当直线的斜率为 0时，k=0，直线的方程是 y =y 。0当直线的斜率为 90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因 l 上每一点的 横坐标都等于 x ，所以它的方程是 x=x 。2 斜截式： y =kx +b ， k 为直线的斜率，直线在 y 轴上的截距为 b3 两点式： 1 = 1 x x , y y ）直线两点 x , y ， x

7、 , yy -y x -x2 1 2 1第 1 页 共 5 页（2）当 l : a x +b y +c =0 ， l : a x +b y +c =0 时，1 1 1 1 2 2 2 2l / l a b -a b =0且b c -b c 0 ； l l a a +b b =0 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2例：设直线 l 经过点 a(m，1)、b(3，4)，直线 l 经过点 c(1，m)、d(1，m+1)，1 2当(1) l / / l (2) l l 时，分别求出 m 的值1 2 1 27、两条直线的交点当 l : a x +b y +c =0 l : a

8、x +b y +c =0 相交时，1 1 1 1 2 2 2 2a x +b y +c =0111222y +y10、点到直线距离公式：一点 p x , y到直线 l : ax +by +c =0 的距离为000012l l112l l c -c121 2 31 2 31 2 33 1 23 2 11 3 2111 22121 2122交点坐标是方程组 1 1 1a x +b y +c =0 2 2 2的一组解。a2 b2 c4 d14已知直线 l 与过点 m( 3 ， 2 )，n( 2 ， 3 )的直线垂直，则直线 l 的倾斜角是( )方程组无解 l / l ；方程组有无数解 l 与 l 重

9、合。1 2 1 28. 中点坐标公式：已知两点 p (x ，y )、p (x ，y )，则线段的中点 m 坐标为(x +x1 22， 1 2 )例： 2p 2p pa b c d 3 3 45如果 ac0，且 bc0，那么直线 axbyc0 不通过( )3 p4已知点 a(7，4)、b(5,6),求线段 ab 的垂直平分线的方程。a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限9 、 两 点 间 距 离 公 式 ： 设 a( x , y )，b（x , y ）是 平 面 直 角 坐 标 系 中 的 两 个 点 ， 则1 1 2 26设 a，b 是 x 轴上的两点，点 p 的横坐标为 2，且|pa|pb

10、|，若直线 pa 的方程为 xy1 0，则直线 pb 的方程是( )| ab |= ( x -x ) 2 +( y -y )2 1 2 12axy50 b2xy10( ) ax +by +cd =a 2 +b 211、两平行直线距离公式（1）两平行直线距离转化为点到直线的距离进行求解，即：先在任一直线 上任取一点，再利用点到直线的距离进行求解。c2yx40 d2xy707过两直线 l ：x3y40 和 l ：2xy50 的交点和原点的直线方程为( ) a19x9y0 b9x19y0（2）两平行线间的距离公式 ：已知两条平行线直线 1 和 2 的一般式方程为l ：ax+by+c =0 ，l ：c

11、19x3y 0 d3x19y0ax+b y+c2=0，则 1 与 2 的距离为 d = 1 2a 2 +b28直线 l ：xa2 是( )y60 和直线 l : (a2)x3ay2a0 没有公共点，则 a 的值一、选择题1若直线 x1 的倾斜角为 a，则a( )a3 b3 c1 d19将直线 l 沿 y 轴的负方向平移 a(a0)个单位，再沿 x 轴正方向平移 a1 个单位得直线 l，a等于 0 b等于p d不存在c等于p2此时直线 l 与 l 重合，则直线 l 的斜率为( ) a aa b c a1 a1a1ad a1a2图中的直线 l ，l ，l 的斜率分别为 k ，k ，k ，则( )1

12、0点(4，0)关于直线 5x4y210 的对称点是( )ak k kbk k ka(6，8)b(8，6)c(6，8)d(6，8)ck k kdk k k二、填空题11已知直线 l 的倾斜角 a 15，直线 l 与 l 的交点为 a，把直线 l 绕着点 a 按逆时针方向旋3已知直线 l 经过两点(1，2)、(1，4)，直线 l 经过两点(2，(第1)2、题()x，6)，且l l ，则 x( )第 2 页 共 5 页转到和直线 l 重合时所转的最小正角为 60，则直线 l 的斜率 k 的值为 112若三点 a(2，3)，b(3，2)，c( ，m)共线，则 m 的值为 21213已知长方形 abcd

13、 的三个顶点的坐标分别为 a(0，1)，b(1，0)，c(3，2)，求第四个顶点20一直线被两直线 l ：4xy60，l ：3x5y60 截得的线段的中点恰好是坐标原点，求d 的坐标为 14 求直线 3xay1 的斜率 15 已知点 a(2，1)，b(1，2)，直线 y2 上一点 p，使|ap|bp|，则 p 点坐标为 16 与直线 2x3y50 平行，且在两坐标轴上截距的和为 6 的直线方程是 17 若一束光线沿着直线 x2y50 射到 x 轴上一点，经 x 轴反射后其反射线所在直线的方程 是 三、解答题18设直线 l 的方程为(m22m3)x(2m2m1)y2m6(mr，m1)，根据下列条

14、件 分别求 m 的值：l 在 x 轴上的截距是3； 斜率为 1该直线方程.(第 19 题)21直线 l 过点(1，2)和第一、二、四象限，若直线 l 的横截距与纵截距之和为 6，求直线 l 的 方程19已知abc 的三顶点是 a(1，1)，b(3，1)，c(1，6)直线 l 平行于 ab，交 ac，bc分别于 e，f，cef 的面积是cab 面积的14求直线 l 的方程第 3 页 共 5 页1112 32 32 32323122p111 2222222ab acad cdad bc第三章 直线与方程参考答案9b解析: 结合图形，若直线 l 先沿 y 轴的负方向平移，再沿 x 轴正方向平移后，所

15、得直线与 l 重合， 这说明直线 l 和 l 的斜率均为负，倾斜角是钝角设 l 的倾斜角为 q，则a 组tan qaa1一、选择题1c解析：直线 x1 垂直于 x 轴，其倾斜角为 902d解析：直线 l 的倾斜角a 是钝角，故 k 0；直线 l 与 l 的倾斜角a ，a 均为锐角且aa ， 所以 k k 0，因此 k k k ，故应选 d3a解析：因为直线 l 经过两点(1，2)、(1，4)，所以直线 l 的倾斜角为 ，而 l l ，所以，210d解析：这是考察两点关于直线的对称点问题直线 5x4y210 是点 a(4，0)与所求点 a(x， y)连线的中垂线，列出关于 x，y 的两个方程求解

16、二、填空题111解析：设直线 l 的倾斜角为a ，则由题意知：180a1560，a135，k tan a tan(18045)tan451直线 l 的倾斜角也为p2，又直线 l 经过两点(2，1)、(x，6)，所以，x21212(第 11 题)4c解：a，b，c 三点共线，解析：因为直线 mn 的斜率为2 3 3 21 ，而已知直线 l 与直线 mn 垂直，所以直线 l 的斜k k ，2332m31221 解得 m 2率为 1，故直线 l 的倾斜角是p413(2，3)5ca c解析：直线 axbyc0 的斜率 k - 0，在 y 轴上的截距 d 0，所以，直线不通b b解析：设第四个顶点 d

17、的坐标为(x，y)， adcd，adbc，k k 1，且 k k 过第三象限6ay1 y2 1， x0 x3y1x01解析：由已知得点 a(1，0)，p(2，3)，b(5，0)，可得直线 pb 的方程是 xy50 7d解得x 0y 1(舍去)x 2y 38d第 4 页 共 5 页所以，第四个顶点 d 的坐标为(2，3)1 20 00 01 2所以0 012143a或不存在解析：由已知，直线 ab 的斜率 k1 +1 1 3 +1 2解析：若 a0 时，倾角 90，无斜率3 1若 a0 时，y xa a3直线的斜率为 a15p(2，2).1因为 efab，所以直线 ef 的斜率为 21 5因为c

18、ef 的面积 cab 面积的 ，所以 e 是 ca 的中点点 e 的坐标是(0， )4 25 1直线 ef 的方程是 y x，即 x2y502 220x6y0解析：设所求点 p(x，2)，依题意： ( x +2)2+(2 -1)2 ( x -1)2+(2 +2)2，解得 x2，故所解析：设所求直线与 l ，l 的交点分别是 a，b，设 a(x ，y )，则 b 点坐标为求 p 点的坐标为(2，2)1610x15y360c c解析：设所求的直线的方程为 2x3yc0，横截距为 ，纵截距为 ，进而得2 336c = 517x2y50解析：反射线所在直线与入射线所在的直线关于 x 轴对称，故将直线方程中的 y 换成 y三、解答题5 418m ；m 3 3解析：由题意，得(x ，y )因为 a，b 分别在 l ，l 上，4x0y060 3x 5 y 600 0得：x 6y 0，即点 a 在直线 x6y0 上，又直线 x6y0 过原点，所以直线 l 的方 程为 x6y0212xy40 和 xy