小二乘法的应用研究

1、【小二乘法的应用研究摘要最小二乘法是从误差拟合角度对回归模型进行参数佔计或系统辨识，并在 参数佔讣、系统辨识以及预测、预报等众多领域中得到极为广泛的应用.然而, 最小二乘法因其抽象、难懂常常不能被准确理解.本文探讨了最小二乘法的基本 原理及其各种变形的拟合方法，其中包括:一元线性最小二乘法拟合、多元线性拟 合、多项式拟合、非线性拟合,并且讨论了用镜像映射和切比雪夫多项式解“病 态”矛盾方程组的基本原理和方法，在此基础上给出了儿种最小二乘法程序的设 计原理.关键词：最小二乘法，线性拟合，曲线拟合，切比雪夫多项式Study on the Application about Method of Le

2、ast SquareAbstractLeast square was used to estimate parameters and identify system of regression model, by the point of error fitting. And it has widely application in the parameters estimate, system identification, prediction, forecasting and other fields However, the least square method because of

3、 its abstract and difficult 、 often can not be accurately understanding The least square method s principle and the various kinds of fitting methods such as the linear least square fitting, multiple linear fitting, polynomial fitting a nonlinear fitting are dealt with And discussed using mirror and

4、Chebyshev polynomial solution pathological contradictory equations basic principles and methods Finally some kinds of the principle of the programs on the least square method are given.Key Words： least square method, linear fitting, curve fitting, Chebyshev polynomial一、最小二乘法的统计学原理1二、曲线拟合21. 一元线性拟合22

5、. 多元线性拟合43. 多项式拟合54. 非线性最小二乘法拟合65. 多项式回归的高精度快速算法7三、应用最小二乘法的儿个问题9四、程序设计原理101. 线性拟合程序的设计原理102. 多元线性拟合程序的设计原理103. Shehata方程“=出 +电_的拟合程序设计原理11k+s k2+s结束语11参考文献12一、最小二乘法的统计学原理基本最小二乘法，其统讣学原理是：设物理量y与/个变量召2,內间的依赖关系式为其中%,是方程中需要确定的+ 1个参数.最小:乘法就是通过m（inn + ）个实验点（兀，兀二，,xu，X ）0 = 1,2,加）确定 出一组参数值（%即心）,使山这组参数得出的函数值

6、与实验值儿间的偏差平方和仆,色）=工（牙一刃2r-1取得极小值.在设计实验时，为了减小随机误差，一般进行多点测量，使方程式个数大于待 求参数的个数，即7 + 1.这时构成的方程组叫做矛盾方程组.通过用最小二乘法 进行统讣处理，将矛盾方程组转换成未知数个数和方程个数相等的正规方程组，再 进行求解得出兔,.山微分学的求极值方法可知弘即卫”应满足下列方程组：= 0 （, = 1,2,）,cai这样就实现矛盾方程组向正规方程组的转换.二、曲线拟合1. 一元线性拟合设变量y与x成线性关系，即y = t/0 + rv.现在已知加个实验点兀,x（心1,2,求两个未知参数a%方法一由最小二乘法原理，参数应使加

7、昭“)=工()e/I取得极小值根据极小值的求法，q和应满足= -2工（牙_勺_“內）=0 叫 苗=一2 -勺一5兀兀=0inmtnQ（）工齐+务工x；=y兀儿/-if-i/-I这就是含有两个未知数和两个方程的正规方程组.从中解得仆即mm叫=（为衲- 阿）/ （工%； 一 mx2）（-1i-i.5 =歹_绚工其中mm线性相关系数R = /n, /血7二,式中mm“rg =工兀X -阿人=工才一加亍如=工孑一F /-I/-II相关系数是用来衡量实验点的线性特性.方法二将x （f = 12,代入y = q + y得矛盾方程组y =m+gy2=aQ+alx2则（2）式可写成则有A18 = A（）W 所

8、以其中A称为结构矩阵，B称为数据矩阵，A，A称为信息矩阵，屮3称为常数矩阵.为了定量地给出y = q +与实验数据之间线性关系的符合程度，可以用相关系数，来衡量它定义为tnmm/-ij-ii-im另# -工r-1r-1r值在0|r|l中值越接近1, x与y的线性关系越好.r为正时，直线斜率 为正,称为正相关；r为负时，直线斜率为负,称为负相关.r接近于0时，测量数据 点分散或之间为非线性.不论测量数据好坏都能求出心和，所以我们必须有一种 判断测量数据好坏的方法，用来判断什么样的测量数据不宜拟合，判断的方法是 |厂|心，则尤和y具有 线性关系，可求回归直线；否则反之.2. 多元线性拟合设变量y与

9、个变量%间存在线性关系，=绳+设变量巧的第f次测j-i量值为州，对应的函数值为;（/ = 1,2,则偏差平方和mmns（5,仆厲）=工（x - y）2 =工（y, -山一工內），为使s取极小值，得正规方程组为:6sin11+工工列幻=2J-11-1/ntn f mEE；=（） /=!= 一2（X _工gjxij）xi = 0 0/=!6s”7 = 一2（y 厂 q _ 工。內 K = Can/=!戶 1niz-Im,R = l,2,n j-ij-i （-17j-1将实验数据馆J）代入上述正规方程组中，即得出未知参数兔4,厲.3. 多顶式拟合对于“次多项式尸幻卫，令0 =兀/ = 0,1,2,屮

10、），则可转化为线性形式7-0）=绳+ 吶这是曲线化直.对于i = 1,2,m个实验点有 = X；，代入多元线性 y-i拟合的正规方程:mmn mma j =22沁）+工=工（召川）,i=l /牙 X X X0 兀斤 E-E-E-E 一 -式中代表。这是一个具有n+1个参数心和+1个方程的线性方程 1=1组,可用高斯迭代法求出这些未知参数，得出回归方程.4. 非线性最小二乘法拟合将非线性关系y = /(州*2,，兀妇上”)直接代入偏差平方和表达式中，采 用极小值的求法得出b血，匕的数值，此方法常常较为繁琐.为此，先将函数展开 成泰勒级数，忽略高次项，化成线性形式后按线性拟合的方法求出参数，经多次

11、逼 近可得到满足精度要求的结果.计算步骤：(1) 设所求参数真值为巧心= 1,2,另取初值曙，其差值b严bj-曙,故 b. =/?； +7厂(2) 将函数(旺宀,% 如在b处展开成泰勒级数.山于初值妨)与真值W应当很接近，故可以略去函数的泰 勒展开式高次项，取得一阶近似展开式：/ = /fz - ZT，,九- fm）7，则上式成为:(5)以高斯消元法或其它方法求解正规方程，即可得出幻即勺，求出 bj =b；)+s，此式是一个近似式，因而得出的/y也是一个近似值.将首次求出的巧 值赋给0；)作为新的初值，重复上述过程，再求出新的5值，从而得到新的初值，反 复迭代，直到得出足够精度的巧为止.5.

12、多项式回归的高精度快速算法多项式回归分析在回归分析方法中具有特别重要的地位.在多项式回归分析 的矩阵运算中，解决数字病态问题则成为重要问题之一.为此采取两个措施：笫一， 因为正规方程的条件数是矛盾方程组的平方倍，所以首先采用镜像影射法解矛盾 方程组，不解正规方程组；第二，采用切比雪夫多项式,使矛盾方程组系数矩阵正交 化,使条件数进一步减小.釆用这两种有效方法后，多项式逐次分析的运算工作就 容易了，并且提高了精度.算法原理：(1) 运用切比雪夫多项式降低矛盾方程的条件数.对矛盾方程组的系数矩阵 向量严)，严，,0”的线性相关程度与X矩阵的条件数有密切关系.当系数矩 阵为正交向量时条件数最小.因此

13、，如果将多项式回归转化成切比雪夫多项式回归, 就能将条件数降低到尽可能小的程度.(2) 将测量数据化为-1,1区间的数据儿.将一般多项式的测量数据召 5 线性影射到-1,1内，就能把一般多项式的回归问题转化成切比雪夫回归问题.(3) 对数据兀拟合切比雪夫多项式.对y = a()+alTl(x2) + a:J2(x2) + -用切比雪夫多项式拟合数据(心,片)，k = l,2,，“，并经过模型方次和参数的最小 二乘估计，算出，i = l,2,(4) III切比雪夫多项式还原成普通多项式.这种算法能在一次输入实验数据 后，系统自动根据残差平方和的F检验快速确定方次并求出参数例如，某振动 筒式压力传

14、感器的静态标定数据，在95%的置信带内，运行建模程疗;得到静态频率- 压力特性为二次多项式；f (“)= 6850.41 +16000.21/?-141.781/?三、应用最小二乘法的几个问题最小二乘法虽然在数据处理方面具有显著的效果，但如果使用不当会导致很 大的误差，甚至错误的结果.因此，在应用时必须注意以下儿个问题：（1）慎重选择拟合关系式在实际问题中，适当选择拟合关系式是一项十分谨慎的工作，它将直接影响计 算的工作量和结论.（2）自变量的选择在实际工作中，对一组实验（片,开）数据按不同的拟合形式,结果会不一样.特 别注意当两个变量都有一定误差时，应当使用双变量最小二乘法进行处理，否则可

15、以使用单变量最小二乘法.（3）加权最小二乘法此法是应用于实验测量值X非等精度的悄况下的拟合方法.它不同程度的消 除误差因素，结果更准确可靠.设拟合函数为y = /，当x值取托时y的实测值为儿，取5=|必-/3）|.加 权偏差平方和5= 叫（一 /（兀），/-Ir-l式中宓为i个实验点的权重因子.选取合适的权重因子叫可获得高精度的拟合参 数.四、程序设计原理1. 线性拟合程序的设计原理对于给定的实验数据（”开）=1,2,.“，求作拟合直线y = a + bx,使总误差。=工）1 一（+加JF为最小r-i再山数学中极值求法得LS公式：b = $ U - 內，设变量的第,次测量值为，对应的函数值J-

16、IX（i = l,2,m）偏差平方和mnin“）=工（X-y）2 =工（牙-q-工內） r=l;=l=）求其极小值得正规方程组ft inm叫）+工（工岛）幻=工；-1 -1i-Inn ntm工心勺+工（工心）勺二工心）伙=12川），=17=1 /=!1=1式中：加为实验点数，为未知参数个数，x（m）为变量a/j = 1,2,.,/7）在第i （, = 1,2,?）次测量中的取值 ； y（加）为函数第f次测量值片，c（”M + l）为正规加加tnm方程组的系数丫”和乞乂汽,第 + 1列存放牙和； a（n）为存放未知参r-lJ-11-1r-13. Shehata方程“=尹+単的拟合程序设计原理K+

17、S k2+s将方程考虑为匕的函数，将du _ 丁 du _5-dk 伙+s）， dk2 伙2+3），代入正规方程即得结果.结束语最小二乘法是一个比较古老的方法，早在十八世纪，就山首先创立并成功地应 用于天文观测和大地测量工作中此后近三白年来，它己广泛应用于科学实验与工 程技术中.最小二乘法能将从实验中得出的一大堆看上去杂乱无章的数据中找出 一定规律，拟合成一条曲线来反映所给数据点总趋势，以消除其局部波动.它为科 研工作者提供了一种非常方便实效的数据处理方法随着现代电子计算机的普及 与发展，这个占老的方法更加显示出其强大的生命力.参考文献：1 李庆扬，王能超，易大义数值分析（第4版）M.北京:淸华大学出版社,2001.2 黄俊钦.静动态数学模型的实用建模方法M.北京:机械工业岀版社,1988.3 宋文臣主