恒成立问题常见类型及解法[行业使用]

1、恒成立问题恒成立问题 常见类型及解法常见类型及解法 1应用分析 5 5、不等式恒成立问题不等式恒成立问题 高考命题中，不等式恒成立问题往往结合函数与导数高考命题中，不等式恒成立问题往往结合函数与导数 同题考查，单独考查的较少，结合函数与导数的题目难度大、同题考查，单独考查的较少，结合函数与导数的题目难度大、 分值高，要引起我们的足够重视。分值高，要引起我们的足够重视。 6 6、不等式与其他知识的结合不等式与其他知识的结合 细解命题特点 2应用分析 转化思想转化思想解答不等式恒成立问题解答不等式恒成立问题 求解不等式恒成立问题的常用方法：求解不等式恒成立问题的常用方法： (1) (1)分离参数法

2、：通过分离参数，转化为不含参数的函分离参数法：通过分离参数，转化为不含参数的函 数的最值问题求解数的最值问题求解. . (2) (2)函数思想：转化为求含参数的函数的最值问题求解函数思想：转化为求含参数的函数的最值问题求解. . (3) (3)数形结合思想：转化为两熟悉函数图象间的上下关数形结合思想：转化为两熟悉函数图象间的上下关 系求解系求解. . 3应用分析 解答过程中应注意的问题：解答过程中应注意的问题： (1) (1)分离参数时应注意系数符号对不等号的影响分离参数时应注意系数符号对不等号的影响. . (2) (2)应用函数方法求解时，所使用的函数一般为二次函应用函数方法求解时，所使用的

3、函数一般为二次函 数数. . (3) (3)应用数形结合法求解时，应注意图象最高点或最低应用数形结合法求解时，应注意图象最高点或最低 点处函数值的大小关系点处函数值的大小关系. . 4应用分析 在高三复习中经常遇到不等式恒成立问题。这类问在高三复习中经常遇到不等式恒成立问题。这类问 题求解的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基题求解的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基 本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合法本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合法 等解题方法求解。解题过程本身等解题方法求解。解题过程本身渗透着换元、化归、数渗透着换元、化归、数 形结合、函数与方程等思

4、想方法，另外不等式恒成立问形结合、函数与方程等思想方法，另外不等式恒成立问 题大多要利用到一次函数、二次函数的图象和性质。题大多要利用到一次函数、二次函数的图象和性质。 5应用分析 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种 类型：类型： （1 1）一次函数型；）一次函数型； （2 2）二次函数型；）二次函数型； （3 3）变量分离型；）变量分离型； （4 4）利用函数的性质求解；）利用函数的性质求解； （5 5）直接根据函数的图象求解；）直接根据函数的图象求解； （6 6）反证法求解。）反证法求解。 下面分别举例示之。下面分别举例示之。 6应用分析 一、

5、一次函数型一、一次函数型 7应用分析 典例导悟 8应用分析 二、二次函数型二、二次函数型 9应用分析 典例导悟 10应用分析 11应用分析 三、变量分离型三、变量分离型 【理论阐释】【理论阐释】 若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量 的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒 等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可 将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。 12应用分析 典例导悟 13应用分析 1

6、4应用分析 【理论阐释】【理论阐释】 若函数若函数f(x)f(x)是奇是奇( (偶偶) )函数，则对一切定义域中的函数，则对一切定义域中的x,f(-x)= x,f(-x)= f(x)f(x)，(f(-x)=f(x)(f(-x)=f(x)恒成立；若函数恒成立；若函数y=f(x)y=f(x)的周期为的周期为T T，则对，则对 一切定义域中的一切定义域中的x,x,有有f(x)=f(x+T)f(x)=f(x+T)恒成立；若函数图象平移前后恒成立；若函数图象平移前后 互相重合，则函数解析式相等。互相重合，则函数解析式相等。 四、利用函数的性质解决恒成立问题四、利用函数的性质解决恒成立问题 15应用分析

7、典例导悟 16应用分析 17应用分析 五、五、 把不等式恒成立问题转化为函数图象问题把不等式恒成立问题转化为函数图象问题 【理论阐释】【理论阐释】 若把不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出不等若把不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出不等 号两边对应函数的图象，这样就把一个很难解决的不等式的号两边对应函数的图象，这样就把一个很难解决的不等式的 问题转化为利用函数图象解决的问题，然后从图象中寻找条问题转化为利用函数图象解决的问题，然后从图象中寻找条 件，就能解决问题。件，就能解决问题。 18应用分析 典例导悟 19应用分析 20应用分析 21应用分析 六、采用逆向思维，考虑使用反证法六、采

8、用逆向思维，考虑使用反证法 【理论阐释】【理论阐释】 恒成立问题有时候从正面很难入手，这时如果考虑恒成立问题有时候从正面很难入手，这时如果考虑 问题的反面，有时会有问题的反面，有时会有“柳暗花明又一村柳暗花明又一村”的效果，所的效果，所 谓谓“正难则反正难则反”就是这个道理。就是这个道理。 22应用分析 典例导悟 23应用分析 24应用分析 【典例】设函数【典例】设函数 对任意对任意xx1,+),1,+), f(mx)+mf(x)f(mx)+mf(x)0 0恒成立，则实数恒成立，则实数m m的取值范围是的取值范围是_._. 【解题指导】【解题指导】转化为具体不等式后，再通分转化为整式不等转化为

9、具体不等式后，再通分转化为整式不等 式，最后分类讨论式，最后分类讨论. . 【规范解答】【规范解答】 x x1,+),1,+), f(mx)+mf(x)f(mx)+mf(x)0,0, 即即mxmx2m2m2 2x x2 2-(1+m-(1+m2 2) )0.0. 1 f xx, x 11 mxm(x) 0, mxx 1m 2mx0, mxx 1 f xx x ， 25应用分析 由由f(mx)+mf(x)f(mx)+mf(x)0 0在在xx1,+)1,+)上恒成立知，上恒成立知， mxmx2m2m2 2x x2 2-(1+m-(1+m2 2) )0 0在在xx1,+)1,+)上恒成立上恒成立,

10、, m0.m0. 当当m m0 0时，只要时，只要2m2m2 2x x2 2-(1+m-(1+m2 2) )0 0恒成立即可恒成立即可, , 即即 xx1,+),1,+), 2 2 2 1m x, 2m 2 2 1m 1, 2m 26应用分析 mm2 21,m1,m-1.-1. 当当m m0 0时，只要时，只要2m2m2 2x x2 2-(1+m-(1+m2 2) )0 0恒成立即可恒成立即可, , 即即 x x1,+),1,+), 不恒成立不恒成立. . 综上，实数综上，实数m m的取值范围为的取值范围为(-,-1).(-,-1). 答案：答案：(-,-1)(-,-1) 2 2 2 1m x

11、. 2m 2 2 2 1m x 2m 27应用分析 7 7（20102010山东高考）若对任意山东高考）若对任意x x0, 0, 恒成立，恒成立， 则则a a的取值范围是的取值范围是_ 【解题提示】【解题提示】将恒成立问题转化为最值问题将恒成立问题转化为最值问题. . 【解析】【解析】因为因为x x0 0 ，所以，所以 （当且仅当（当且仅当x=1x=1时取等时取等 号），所以有号），所以有 即即 的最大值为的最大值为 故故aa 答案答案: : ) ) 2 x a x3x1 1 x2 x 2 x111 1 x3x1235 x3 x ， 2 x x3x1 1 5， 1 . 5 1 , 5 28应用

12、分析 【方法技巧】【方法技巧】不等式恒成立问题的解题方法不等式恒成立问题的解题方法 1.1.不等式的恒成立问题与函数最值有密切的关系，解决不等不等式的恒成立问题与函数最值有密切的关系，解决不等 式恒成立问题，通常先分离参数，再转化为最值问题来解：式恒成立问题，通常先分离参数，再转化为最值问题来解： cf(x)cf(x)恒成立恒成立 cf(x)cf(x)max max; ; cf(x)cf(x)恒成立恒成立 cf(x)cf(x)min min. . 2.2.高次函数或非基本初等函数的最值问题，通常采用导数法高次函数或非基本初等函数的最值问题，通常采用导数法 解决解决. . 29应用分析 【例【例

13、3 3】设函数】设函数f(x)=axf(x)=ax2 2-2x+2,-2x+2,对于满足对于满足1 1x x4 4的一切的一切x x值都值都 有有f(x)f(x)0,0,求实数求实数a a的取值范围的取值范围. . 【解题指南】【解题指南】解答本题可以有两条途径：解答本题可以有两条途径：(1)(1)分分a a0,a0,a0,a=00,a=0 三种情况三种情况, ,求出求出f(x)f(x)在在(1,4)(1,4)上的最小值上的最小值f(x)f(x)min min, ,再令 再令f(x)f(x)min min 0,0, 从而求出从而求出a a的取值范围；的取值范围； (2)(2)将参数将参数a a

14、分离得分离得 然后求然后求 的最大的最大 值即可值即可. . 2 22 a, xx 2 22 g x xx 30应用分析 【规范解答】【规范解答】方法一：当方法一：当a a0 0时时, , 由由f(x)f(x)0,x(1,4)0,x(1,4)得：得： 或或 或或 或或 或或 2 11 f xa(x)2, aa 1 1 a f(1)a220 1 14 a 11 f( )20 aa 1 4 a, f 416a820 a1 a0 1 a 1 4 1 a 2 1 a 4 , 3 a 8 11 a1a 1,a, 22 或 或即 31应用分析 当当a a0 0时时, , 解得解得aa ; ; 当当a=0a

15、=0时时,f(x)=-2x+2,f(1)=0,f(4)=-6,f(x)=-2x+2,f(1)=0,f(4)=-6,不合题意不合题意. . 综上可得综上可得, ,实数实数a a的取值范围是的取值范围是 方法二：由方法二：由f(x)f(x)0,0,即即axax2 2-2x+2-2x+20,x(1,4),0,x(1,4),得得 在在(1,4)(1,4)上恒成立上恒成立. . 令令 g(x)g(x)max max=g(2)= , =g(2)= , 所以要使所以要使f(x)f(x)0 0在在(1,4)(1,4)上恒成立上恒成立, ,只要只要a a 即可即可. . f 1a220 , f 416a820

16、1 a. 2 2 22 a xx 2 2 22111 11 g x2(),( ,1), xxx22 x4 1 2 1 2 32应用分析 【反思【反思感悟】感悟】1.1.一元二次不等式问题及一元二次方程解的确一元二次不等式问题及一元二次方程解的确 定与应用问题常转化为二次函数图象和性质的应用问题求解，定与应用问题常转化为二次函数图象和性质的应用问题求解， 但要注意讨论但要注意讨论. . 2.2.关于不等式的恒成立问题关于不等式的恒成立问题, ,能用分离参数法，尽量用能用分离参数法，尽量用. .因为该因为该 法可以避开频繁地对参数的讨论法可以避开频繁地对参数的讨论. . 33应用分析 4.(201

17、04.(2010新课标全国卷新课标全国卷) )设函数设函数f(x)=ef(x)=ex x-1-x-ax-1-x-ax2 2. . (1)(1)若若a=0a=0，求，求f(x)f(x)的单调区间；的单调区间； (2)(2)若当若当x0 x0时时f(x)0f(x)0，求，求a a的取值范围的取值范围 【解题提示】【解题提示】在第在第(1)(1)问中先把问中先把a=0a=0代入，然后通过求导判断代入，然后通过求导判断 导数正负求得单调区间，解决第导数正负求得单调区间，解决第(2)(2)问的关键是从当问的关键是从当x0 x0时时 f(x)0f(x)0入手，结合函数的解析式联合求解，通过判断导数入手，结

18、合函数的解析式联合求解，通过判断导数 的正负找到分界点进行讨论的正负找到分界点进行讨论. . 34应用分析 【解析】【解析】(1)a=0(1)a=0时，时，f(x)=ef(x)=ex x-1-x-1-x，f(x)=ef(x)=ex x-1.-1.当当xx (-,0)(-,0)时，时，f(x)f(x)0 0；当；当x(0,+)x(0,+)时，时，f(x)f(x)0.0.故故 f(x)f(x)在在(-,0)(-,0)单调减少，在单调减少，在(0,+)(0,+)单调增加单调增加. . (2)f(x)=e(2)f(x)=ex x-1-2ax-1-2ax，由，由(1)(1)知知e ex x1+x1+x，当且仅当，当且仅当x=0 x=0时等号时等号 成立成立. .故故f(x)x-2ax=(1-2a)x,f(x)x-2ax=(1-2a)x, 从而当从而当1-2a01-2a0，即，即a a 时，时，f(x)0(x0)f(x)0(x0)， 而而f(0)=0f(0)=0，于是当，于是当x0 x0时，时，f(x)0.f(x)0. 由由e ex x1+x(x0)1