圆锥曲线题型解题通法

1、圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型：(1) 中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法(点差法)：设曲线上两点为(小，儿)， 匕2，)，2)，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式(当然在这里也要注意 斜率不存在的请款讨论)，消去四个参数。V2 y2如：(1) + = (ab0)与直线相交于A、B,设弦AB中点为M(xo,yo),则有 a b纹+孕=0。a- r22(2) 亠一二= l(d0“0)与直线I相交于A、B,设弦AB中点为M(xo,y。)则有 cr lr算-*0cr(3) y2=2px (p0)与直线 I 相交于 A、B 设弦 AB 中点为 M(xo,yo),则有 2

2、yk=2p,即 yok=p.2典型例题 给定双曲线冷_=1。过A(2, i)的直线与双曲线交于两点片 及乙， 求线段片乙的中点P的轨迹方程。(2) 焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P,与两个焦点片、&构成的三角形问题，常用正、余弦泄理搭 桥。2 2典型例题 设P(xzy)为椭圆二r +亠=1上任一点，斤(C,0),只(C,0)为焦点，crZPF F2 = a , F、= 0 a(1) 求证离心率=+:sin + sin (3(2) 求IPFf + P巧|3的最值。(3)直线与圆锥曲线位置关系问j直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判 别式、根与系数的关系、

3、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观 性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的左义去解。典型例题(1) 求证：直线与抛物线总有两个不同交点(2) 设直线与抛物线的交点为A、B,且0A丄0B,求p关于t的函数f(t)的表达式。(4) 圆锥曲线的相关最值(范围)问题圆锥曲线中的有关最值(范用)问题，常用代数法和几何法解决。若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数(通常利用二次函 数，三角函数，均值不等式)求最值。(1),可以设法得到关于a的不等式，通过解不等式求出a的范用，即：“求范

4、围，找不 等式”。或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求岀a的范囤：对于(2)首 先要把ANAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值，即：“最值问题，函数思 想”。最值问题的处理思路：1、建立目标函数。用坐标表示距离，用方程消参转化为一元二次函数的最值问题，关 键是由方程求x、y的范围：2、数形结合，用化曲为直的转化思想：3、利用判别式，对于二次函数求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式求最值:4、借助均值不等式求最值。典型例题已知抛物线y2=2px(p0),过M (a,0)且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B,|AB|W2p(1)求a的取值范弗h (2)若线

5、段AB的垂直平分线交x轴于点N,求ANAB面积的最大值。(5) 求曲线的方程问题1.曲线的形状已知这类问题一般可用待定系数法解决。典型例题已知直线L过原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。若点A (-1, 0)和点B (0, 8)关于L的对称点都在Ct,求直线L和抛物线C的方程。2.曲线的形状未知一求轨迹方程典型例题已知直角坐标平而上点Q (2, 0)和圆C: x2+y2=l,动 点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数几(兄0), 求动点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线。(6) 存在两点关于直线对称问题在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线, 求

6、这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。(当然也可以利用韦达定理并结合判別式来 解决)2 2典型例题 已知椭圆c的方程+ =1 ,试确定m的取值范用，使得对于直线43y = 4x + m，椭圆C上有不同两点关于直线对称(7) 两线段垂直问题圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用来处理或用向量的坐标运算来处理。典型例题已知直线/的斜率为k ,且过点P（-2,0）,抛物线直线I与 抛物线C有两个不同的交点（如图九（1）求k的取值范围：（2）直线/的倾斜角&为何值时，A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直。四、解题的技巧方面：在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的讣算疑较大。事实上，如果我们能够充分利用 几何

7、图形、韦达左理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。 下面举例说明：（1）充分利用几何图形解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代 数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算呈:。典型例题设直线与圆相交于P、Q两点，0为 坐标原点，若OP1OQ,求加的值。（2）充分利用韦达定理及“设而不求”的策略我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达立理求解，这种方法在有关斜率、中 点等问题中常常用到。典型例题 已知中心在原点0,焦点在y轴上的椭圆与直线y = x+ 1相交于P、Q两点，且丄吩字，求此椭圆方程。（3）充分

8、利用曲线系方程利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少il算。典型例题 求经过两已知圆和交点，且圆心在直线/ : _上的圆的方程Q（4）充分利用椭圆的参数方程椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题.这 也是我们常说的三角代换法。典型例题P为椭圆4 + = 1上一动点，A为长轴的右端点，B为短轴的上端点，求四 CT /?边形OAPB而枳的最大值及此时点P的坐标。（5）线段长的几种简便计算方法 充分利用现成结果，减少运算过程一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是：耙宜线方程y = kx + h代入圆锥曲线方程中，得到型如一的方程，方程的两根

9、设为X” % 判别式为,VA,若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。例 求直线x - y + 1 = 0被椭圆所截得的线段AB的长。 结合图形的特姝位宜关系，减少运算在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的左义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线 的泄义，可回避复杂运算。例 仟、耳是椭圆寻+冷-=1的两个焦点，AB是经过歼的弦，若1/151=8,求值FA + F,B 二 利用圆锥曲线的定义.把到焦点的距离转化为到准线的距离例 点A （3, 2）为圧点，点F是抛物线y，=4%的焦点，点P任抛物线=4x上移动，若PAMPF取得最小值，求点P的坐标El锥曲线解题方法技巧归纳第一、知识储备：1. 直

10、线方程的形式(1) 直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、 一般式。(2) 与直线相关的重要内容 倾斜角与斜率k = tan a, a e 0, k) 点到直线的距离d=心严*夹角公式：y/A2 + B2kk.tan a =L|1+如(3) 弦长公式直线y = kx+b上两点43，必),3(吃,力)间的距离：|A3| = Jl+f R -x2|=丁(1 + /)(丹+花)一4斗花 或IAB| = J1 +右 |开 一2|(4) 两条直线的位置关系厶丄/22=-1 人厶0他=爲且片工乞2、圆锥曲线方程及性质、椭圆的方程的形式有几种？(三种形式)2 2标准方程： + = 1(加 0

11、, n 0且加H n)m n距离式方程：Jd + cF+b + J(x_c)+y2 =2a参数方程：x = acos 0,y = bsn0(2)、双曲线的方程的形式有两种标准方程：+ = l(/H-77 F共线解决之。若有向量的关系，则寻 找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线 为y = loc+b ,就意味着k存在。例1、已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆4/+5尸=80上，且点A 是椭圆短轴的一个端点(点A在y轴正半轴上).(1) 若三角形AEC的重心是椭圆的右焦点，试求直线EC的方程；(2) 若角A为90。，AD垂直BC于D,试求点D的轨迹方程.分析：第一问抓住“重心”

12、，利用点差法及重心坐标公式可求出中点 弦EC的斜率，从而写出直线EC的方程。第二问抓住角A为90。可得 出AB丄AC,从而得AjX, + y,y2 -14( + -2) +16 = 0 ,然后利用联立消元 法及交轨法求出点D的轨迹方程；解:(1)设 B (坷，儿),C( x2 , y2 ),BC 中点为(s),F(2,0)则有缶+話T务+話两式作差有(+)(“7)+ -儿心+儿)=020 16F(2,0)为三角形重心，所以由土二2 = 2,得x0=3,由：f 汀 J得 wZ凡=-2，代入(1)得k=直线BC的方程为6x-5y-28 = 02)由 AB丄AC 得xlx2 + yly2 -14(

13、+y2) + 16 =0(2)设直线 BC 方程为 y = b+b,代入4 x2+5y2=80, 得(4 + 5k2 )x2 + 0bkx+ 5, 一 80 = 0一10肋2存5/异-804 + 5/Ek 存恥=4庆-80&24 + 5戸代入（2）式得16解得“4(舍)或 =一4 + 5L94 ay * a直线过定点（），-兰），设D （ x,y ）,则x = -1 ,即 9x X9y2+9x2-32y-16=0所以所求点D的轨迹方程是F+0-），=（晋）y工4）。4.设而不求法 例2、如图，已知梯形ABCD中AB = 2CD ,点E分有向线段走所 成的比为兄，双曲线过C、D、E三点,且以A、

14、E为焦点当討W时, 求双曲线离心率的取值范围。分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建 立直角坐标系Ry,如图，若设C0,代入密-召=1，求得, 进而求得压=,）厂，再代入-寻“，建立目标函数 /（“上説）=0,整理y（e,2）=0,此运算量可见是难上加难我们对可采取设而不求的解题策略， 建立目标函数/（小5 = 0 ,整理f（e9A） = 0,化繁为简.解法一：如图，以AB为垂直平分线为y轴，直线AB为x轴,建立直角坐标系xOy，则CD丄y轴因为双曲线经过点C、D,且以A、B为焦点，曲双曲线的对称性知C. D关于y轴

15、对称依题意，庁己A（c,o）, c（，/ 2 ）E(x(),yo),其中c = AB为双曲线的半焦距，是梯形的高，由定比分点坐标公式得Y + ?U-2X-期X = HT = WO,设双曲线的方程为匚一匚=1,则离心率e = a lra由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和e = 代入双曲线方 a程得/ _/?24 b半-2口 A 2=14 U + 1J U + 1J/22由式得厂亍5将式代入式，整理得2-（4-42）=1 + 22 ,故兄=1e + 由题设討得，1-|343旷+24解得V7 e/7,Vio分析：考虑|A|,|Aq为焦半径,可用焦半径公式，M环|AC|用EC的横坐 标表示，回避

16、的计算，达到设而不求的解题策略.解法二：建系同解法一,AE = -a+exE）,AC = a+exc ,1 + A(A-2)c2(2 + 1)又凹=丄AC 1 + 2代入整理心一完1由题设*兄丐得,解得所以双曲线的离心率的取值范围为厲.应5、判别式法例3已知双曲线c：2i一匸=1,直线/过点A（2,o）,斜率为匕当0 kl2 2时，双曲线的上支上有且仅有一点E到直线/的距离为运，试求k的 值及此时点E的坐标。分析1:解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因 此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段.从“有且仅有” 这个微观入手，对照草图，不难想到：过点B作与/平行的直线，必 与双曲

17、线C相切.而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式 = 0由此出发，可设计如下解题思路:/: y = k（x-y/2）（01）直线f在/的上方且到直线/的距离为y!2厂：、, = Ry+匡醪/披程代入双曲线方程，消去y，令判别式 =（）解得R的值解题过程略.分析2:如釆从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点E到直线/的距离为血”，相当于化归的方程有唯一解.据此设计出如下解题思路:问题ITJ2 + + _冋关干X的方程=近（0k）有唯一Q转化为一元二次方程根的问题简解：设点M（xj2 + x2）为双曲线C上支上任一点，则点M到直 线/的距离为：心右 _、列=迈（0

18、 |a| kx ?从而有kx-yjl + x1、伍彳=-kx+ J2 + /+、弘于是关于X的方程g) _ kx+ yj2 + x2 + &2k = J2伙+1）。；（j2 + x* = （J2伙2+1）_ 41k + kx） y/2（k2+Y） -2k + kx0。怡2 _忖 + 2R（j2W+i）-血）y +（J2W+1）-朋 _2 = 0. 丁2伙? + 1） - J2k + kx 0.由0 v vl可知：方程 2_1才+2 （j2伙 bl）-迈k +（J2伙 2+1）_ 岳 j _ 2 = 0 的二根同 正，故J2伙，+ D-迈k +kx0恒成立，于是（*）等价于（k1 -l）x2 +

19、 2和2伙?+1） -41kx +（J2伙hi） _、閔 _2 = 0.由如上关于兀的方程有唯一解，得其判别式4 = 0,就可解得2-75点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了 全局观念与整体思维的优越性.例4已知椭圆C:x2 +2y2 =8和点P (4, 1),过P作直线交椭圆于 A、E两点，在线段AE上取点Q,使咯=_咯,求动点Q的轨迹所 在曲线的方程.分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解.因 此，首先是选定参数，然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表 达，最后通过消参可达到解题的目的.由于点Q(

20、x, y)的变化是由直线AE的变化引起的，自然可选择直线 ATB的斜率k作为参数，如何将圮)，与k联系起来？ 一方面利用点Q在 直线AE上；另一方面就是运用题目条件：需=-磐 来转化由A、B、Pd QBP、Q四点共线，不难得到am ,要建立x与k的关系，只需8-(心+心)将直线AE的方程代入椭圆C的方程，利用韦达定理即可.通过这样的分析，可以看出，歩然我们还没有开始解题，但对于 如何解决本题，已经做到心中有数.利用点Q满足直线AB的方程：y=k(x4)+l,消去参数k点Q的轨迹方程在得到x = f(k)之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得到关于的方程(不含幻，则可由y =

21、 k(x-4) + 1解得 k = ,直接代入x = f(k)即可得到轨迹方程。从而简化消去参的过 x-4程。简解:设心皿小5刃，则由炉囁可得:三迸,解之得：v=4(.yi+A2)-2A-,x2(1)8 (Xj +x2)设直线AE的方程为：y = k(x-4) + ,代入椭圆C的方程，消去y 得出关于x的一元二次方程：(2k2 + l)r2 + 4k(l - 4k)x + 2(1-4Z:)2-8 = 0(2)4R(4R I)2(1 - 4防一84k+ 3x =k + 2W 2宀代 入 (1), 化 简 得：与)，=心-4) + 1 联立，消去k 得:(2x +y-4)(x-4) =0.结合(3

22、)在(2)中，由 = -64/+64k + 240 ,解得 2-、而廿 2+、，币，44可求得 16-270 v 164-21099-故知点Q的轨迹方程为：2x + y-4 = 0(】6-2、0的情 形.当0 时，廿-276、*-5 ,27f莎如+4J 加+4所以竺一- + 2严齐18PB 小 9R + 2j9L_5弘+ 2 加 $ _ 59 + 2由 A = (-54A:)2 - 180(9jt2 +4) 0,解得 k1 | ,所以 _ii一兰T9 + 2/9-妃* LAP 1示 1 0,可得k2 |,从而有炜I，所以42 + 1 + 2,解得A 5-2 PQ 丄 MF,MP 丄 F0y =

23、 x m乂 2 +2)2 = 2p 3x2 + 4/?tv + 2m2-2 = 0两根之和，两根之积k MPFQ = O得岀关于 m的方程解出m由 AFFB = 1, pF(d + c)(d-c) = l t C = 写出椭圆方程(I)解题过程：2 2(I )如图建系，设椭圆方程为二+匚=1(。方0),则C = 1 cr Zr又/ AF 而=1 艮卩(d + c)(d c) = l = a2c2/. a2 =22故椭圆方程为牛+护=1(U)假设存在直线/交椭圆于EQ两点，且F恰为AP0M的垂心, 则设P(xlylQ(x2,y2), T M(O,1),F(1,O),故kPQ = 1 ,于是设直线

24、/为 y = x + m ,由，；得，Q +2厂=23x2 + 4jwc + 2nr -2 = 0.丽.尸 = 0 = X(兀2 _ 1) + 旳 T)又)；=Xi + m(i = 1,2)得 X (x2 -1) + (x2 + w?)(x, + m -1) = 0 即2召吃+(召+ x2)(/?-1) + nr -m = 0 由韦达定理得2/W 2 4/”i2 + m -/w = 03 34 4解得加=_ 或m= (舍)经检验m =-符合条件.点石成金：垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边，然后转化为两向量乘积为零.例7、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过(3A(2,0)、3(

25、2,0八 C -三点.I 2丿(I )求椭圆E的方程：(H)若点Q为椭圆上不同于A、B的任意一点,F(-l,0),H(l,0),当/内切圆的面积最大时，求DFH内心的坐标；设方程为nvc- + ny2 = 1得到7,”的方程由椭圆经过A、B、C三点思维流程：(II)由MFR内切圆而枳最大转化为山阳而积最大转化为点D的纵坐标的绝对值最大最大ADFH面积最大值为、你得出点坐标为D为椭圆短轴端点SADFH =|X周长 Oji 0)，将 人(-2,0)、3(2,0)、C(h-)代入椭圆的方程，得24? = 1,220,(1)则6k?“、由线段AB中点的横坐标是-得宁 =-二=-解得土半，符合题意。所以

26、直线AB的方程为x-V3y + l = 0 ,或x + /3y + = 0.(II)解：假设在x轴上存在点M(”0),使莎屈为常数. 当直线A3与兀轴不垂直时，由(I )知6k23疋一5 心厂-丽TF ”乔7?所以MA-MB = (x( -/?7)(x2 -fn) + yly2 = (a, -m)(x2 /?) + /:2(x, + l)(x2 + 1)=伙，+ 1)兀宀+伙一加)(兀】+x2) + k2 +m2.将代入,整理得(6也-1)疋-53疋+1+ ?2 =(2m-)(3k2+)-2m 3/+1+ m2=m2 + 2m362 + 143(3/+l)注意到莎祈是与无关的常数，从而有6m

27、+ 14 = 0, in =，止匕日寸此时点A 3的坐标分别为当直线A3与x轴垂直时亦有 M/C Mg = *.综上，在兀轴上存在定点M -？,0*使莎诙为常数.点石成金:顾區黑晋+屛一*)(3疋+1) 2加一3疋+1+ I 3丿=c 16/n + 14=nr + 2m:3 3(3宀1)例9、已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2 倍且经过点M(2, 1),平行于OM的直线/在y轴上的截距为m (m HO), /交椭圆于A、B两个不同点。(I)求椭圆的方程；(H)求m的取值范围；(皿)求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.思维流程：77解:(I)设椭圆方程为”心0)则a = 2b41亠b1解得2(C =8.椭圆方程为扌(U) 直线/平行于OM,且在y轴上的截距为m又 k0,解得一 2 v 0,即3+4疋一亦 0,Smk3 + 4A-4( m2 -3)3 + 4X3（加2一4疋）3+ 4疋又 V|2 = (g + m)(kx2 +ni) = k2xx2 +mk(xx +x2) + m2因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2,0）,=-1 yy2 + xKx2 一2(召 + x2) + 4 = 0 .3（一4，）4（一3）15mkr 夕 让？彳八 c ；+ + +4 = 0 7nr +6mk+4k =0 .