层次分析法--多目标决策解析

1、多目标决策单目标与多目标决策决策的标准根据一个指标来决定，这样的 决策称为单冃标决策，例如，是否兼并一 家公司，决策的依据是这家公司的净资产; 是否投资某一个项目，决策的依据是这个 项目的投资回报指标；许多决策方法都是建立在单目标决策的基 础上的，例如线性规划模型就是，典型的 单目标决策模型单目标与多目标决策这些指标往律是互相冲突的,即个 W他噤齡叡l间辎綸然而，决策的标准是要考虑多个指标，这样的决策称为 多日标决策。例如，购买家用轿乍，就有价格、品牌、 动力、经济、安全、舒适等多个冃标；挑选住房，也要 謹勰谄叡翩i列輕服务、付款方式等因素。在多目标决策中,養案独號黑“貂并案応關决麴爼隸關器蹣

2、性对决策者,从而多目标决策的线性加权法解决多鬥标决策问题的一种常用方法是将 多冃标分解为单冃标问题，然后线性加权 求和的方法。例子iii商品住宅选择问题。有三套住宅 可供选择，选择的目标包括面积、单价、 朝向、地段和楼层五个因素。三套住宅、 五个目标的数据如下商品住宅选择的多目标决策问题面积（平单价（元.r， 方米）/平方米）刖冋地段楼层住宅A2004800 南丙四层住宅B1805500 西甲七层住宅C1504000 东乙三层商品住宅选择的多目标决策问题耍在这三套住宅中选择一套最埋想的住宅。 这是一个典型的多冃标决策问题。这五个 目标有的是数值。有的是属性，数值的单 位也不尽相同。为了使这五个

3、目标相互之 间具有可比性，需要把各目标进行归化 处理，最理想的值为1,最不理想的值为0, 将各决策的实际目标值转化为01之间的值, 如下表所示商品住宅选择的多目标决策问题为了将五个指标转化为一个目标，需要确 定各冃标对决策者的重要性，即各冃标的 权重。然后用相应的权重对各指标的归 化值进行线性加权求和。根据决策者对五个目标的偏好，设定目标 重要性由人到小依次排列为：单价面积 地段朝向楼层。设五个目标的权重为入、人、入、人、入、其中入+易+入+久4+入=1 Xj 3 x4 X5 0.商品住宅选择的多目标决策问题给出符合以上条件的一组权重值：单价的 权重恥03.,面积的权重护,地段的权 重恥0讥朝

4、向的权重S0.I,楼层的权B=0.1fto将各指标的归一化值乘以目标的权重，计 算各套住宅的评价值（如表11.3所示），评 价值最高的为最优值。线性加权法求各方案的评价值商品住宅选择的多目标决策问题根据评价值，选择住宅C是最优方案。多冃标决策的线性加权法简单易行，可操 作性好。线性加权法的不足是各I标的权 重完全是主观确定，随意性较大。而权重 的选取对决策结果起着卜分关键的作用。 从上表可以看出住宅A和住宅C的评价值相 差不大，即使权重选収顺序不变，只要权 重的大小稍有变化，决策的结果就町能发 生变花。二、层次分析法简介层次分析法(Analytic Hierarchy Process,简称AH

5、P) 是美国匹兹堡大学教授A. L. Saaty于20世纪70年代提岀的一 种系统分析方法。他模仿人的决策思维过程，开发一种综合 定性的定!相结合的分析方法，主要解决多因索复杂系统， 特别是难以定描述的社会系统的分析方法。1977年第一届国际数学建模会议上，Saaty发表了无结 构决策问题的建模一层次分析理论，开始引起人们注意。 1980年后陆续出版相关的专著和文章，其理论逐步走向成熟. 1982年引入我国，天津大学许树柏等发表我国第一篇介绍AHP 的论文，此后在我国得到广泛的应用。1988年专门在天津召 开国际AHP学术研讨会，使得在我国得到广泛运用。一、建立层次结构模型将所包含的因索分组设

6、层.并标明各层因素之间的关系. 如对决策问題，可构造出下图所示的层次结构横型.二、基本思路先分解垢综合的系统思想：ti先将所要分析的问題层次化：用据问题的性质和要达到的总F1标，将刑题分解成 不同的组成冈索按照因忒间的相互关系及余属关系.按不同肚次聚集组含.形成 一个女层分析姑构模乜，最终归給为金低层（方案、抹施 折标雪）相对于故岛层 （总冃标）相对申.要聊度的权備或相对优劣次序的问題。递阶层次结构判别矩阵ZCC2C3 Cu5aXla!2ai3 am6l/g22a23 a2nc3/ul/a3 % cl/alnl/2n/a3n 禺in三、基本步骤1、建立系统的递阶层次结构曲画（分析系统中各个因素

7、的关系2、构造两两比较剋断矩陸（正互反矩阵）（如图）（对次的各元素关于上一层次中簾一准则的氯要性进行两两比较）3、层次单排序及一致性检验根拯判斷矩陈计被比絞元素对于该准则的相对权并性检鲨）4、层次总排序及一致性检验（计算各层元素对JR统目标的合成权亶.并进行排序、检验）“选择旅游地”思维过程的归纳将决策问题分为3个层次：LI标层0,准则层C, 方案层P;每层有若干元素，各层元素间的关系用 相连的直线表示。通过相互比较确定各准则对LI标的权重，及各方 案对每一准则的权重。将上述两组权巫进行综合，确定各方案对口标的 权重。层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完 成以上步骤，给出决策问题的定量结果

8、。成对比扌交阵 和权向量层次分析法的基本步骤元索之间两两对比，对比采用相对尺度选择旅游地121/214 =1/41/71/31/51/31/5C,：C/743375511/21/3211311人成对比较阵A是正互反阵设要比较各准则CPC2/., Cn对目标0的重要性要由A确定, Cn对O的权向屋成对比较阵和权向量成对比较的不一致情况4= q产1/2(CCJ 一致比较 心(g)允许不一致，但要确定不一致的允许范围考察完全一致的悄况甲5.叫W(= 1)= 叫叫令叫=wt / w;A =1(kVpVV2,-VV )7 权向量叫叫.叫成对比较阵和权向量成对比较完全一致的情况 满足勺严稣，iJ,R =

9、12s 的正互反阵A称致阵，如A的秩为1,人的唯一非零特征根为门 A的任一列向量是对应于门的特征向量 4的归一化特征向量可作为权向量对于不一致(但在允许范围内)的成对比较阵儿 建议用对应于最大特征根2 Aw=Aw 的特征向量作为权向量w,即成对比较阵和权向量Saaty等人提出IT尺度取值比较尺度切1,2，9及其互反数1,1/2，1/9便于定定的转化:尺度勺325 47 69 8C :C/的重要性相同稍强强明显强绝对强。疔1,1/2.1/9 CC的重要性与上面相反 心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个二 用 13,15,.117,.,严9珥卩=2,3,4,5), d+0.W+0.9 123,4

10、)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较 阵，算出权向量，与实际对比发现，19尺度较优。一致性检验对&确定不一致的允许范围己知：/7阶一致阵的唯一非零特征根为可证：门阶正互反阵最人特征根且2初时为一致阵 定义一致性指标：CI =兄一C/越人，不一致越严反n 1为衡疑C/的大小，引入随机一致性指标RI一一随机模拟 得到切，形成A,计算C/即得刖。Saaty的结果如下n123456 7 8 9 10 11RI000.580.901.121.241.321.411.451,491.51定义致性比CRCI/RI当C&0.1时.通过一致性检验“选择旅游地”中准则层对目标的成对比较阵准则层对目标的权11/

11、2433向量及一致性检验217554 =1/41/711/21/31/31/5211般大特征根2=5.0731/31/5311权向量(特征向量)w =(0.263/0.475/0.055/0.090/0.110)T致性指标-畔皿通过一致 性检验随机一致性指标Rl=1.12 （杳表）致性比率 C/?=0.018/1.12=0.0160 , b,; = 1, by = 1/bjj, i, j = 1, 2,因此，对于这样的判断矩阵来说，作n(n-1)/2 次两两判断就可以了。判断过程中的问题1、合理选择咨询对象；（专长及熟悉的领域）2、创造适合于咨询工作的良好环境；（介绍AHP方法, 提供信患，独

12、立思考）3、正确的咨询方法；（通过咨询确定递阶层次结构， 设计好表格）4、及时分析专家咨询信患，必要时要逬行反馈及多轮 次咨询5、专家数量根据实际情况确定，一般为20-50位4层次总排序及其一致性检验确定某层所有因素对于总目标相对重要性的排序权 值过程，称为层次总排序。这一过程是最高层次到最低 层次逐层进行的。对于最高层下面的第二层，若上一层 次A包含m个因素.A, A2,其层次总排序权值分别为a2,a.,下一层次B包含n个元素，B2,Bnf 它们对于因素爲的层次单排序权值分别为b. bi?,b*（当B占打无联系时，”=0）,此时B层次总排序权值由下 表给岀。At 切人层幻、6逐 2B.bjV

13、) b：比 bjb；i11:8. b； b：显然.Asl Js|层次总排序的一致性检验在(1)式中，CI为层次总排序的一致性指标，Clj为与巧对应 的B层次中判断矩阵的一致性指标；在式中，RI为层次总排 序的随机一致性指标 RI为与巧对应的B层次中判断矩阵的随 机一致性指标；在(3)式中，CR为层次总排序的随机一致性比例。同样当CRWO. 10时，我们认为层次总排序的计算结果具有 满意的一致性。计算方法 AHP计算的根本问题是计算判断矩阵的最大特征根入ma及其对应的特征向W三种常用的计算方法：幕法、和积法、 方根法-幕法:计算机进行，可得到任意精确度的 最大特征根几心及其相应的特征向和积法:近

14、似算法.-方根法:近似算法。一幕法计算步骤如下:（1）取与判断矩阵B同阶的正规化的初值向量W。计算旷F“二0122I0 = 22叭W=专炉匕k = 02；. ia, p4）仏Ls瑙度当 |比初一 W 1工叱=0.31 7+1.900+ 0.78 1= 2.998 /=!所敦特征向flh WJ61| /=!/-I412.99广如二和积法(4)计算判斷矩阵的量大特征根.于(BW)” :叽召 j if nWt二和积法本例有：1 1/5 1/3BW=5133 1/310.1060.6340.261(BW)X(BW),(BW),(BW)产 1 x 0.106 1/5 x 0.634 1/3 x 0.26

15、1= 0.320(BW)2= 5 x 0.106 41 x 0.634 3 x 0.261 = 1.941(BW),= 3 x 0.106 1/3 x 0.634 lx 0.261 = 0.785二和积法f (叫naxii/tr nW.n叱 w2r 0.320L9410.785=+/30,1600.634().2613.036二和积法一致性检验（检验该矩阵是否具有満意的一致性）n 3.036 3致性拒标 CI 一-0.01S 1“ 2査表.三阶矩阵的平均随机一致性指标RI = 0. 58 ；由于该矩阵的随机一致性比例a 0.018CfU 0.03 03 =|49三.方根法（2）所儒的II积分别开n次方 本例有*h, =V（）.067 = 0.405Uy = Vl 5 = 2.466= VT = I三.方根法（3）将方權向正规化.即所求特征向_0.405 _ = 0405 = 0050.405+2.466+13.871= 1 = 0.6373.871% = 3.871= 0.258W 0.105. 0.637. 0.258|T三.方根法（3）将方權向正規化.8P所求特征向0.4050405匚2466+10.4053.871= 0.105W- (0.105 . 0.637. 0.258T三.方根法（4）计算判矩淬量大特征權此处与和积法