圆锥曲线常见题型归纳

1、优质资料 欢迎下载圆锥曲线常见题型归纳一、基础题 涉及圆锥曲线的基本概念、几何性质， 如求圆锥曲线的标准方 a,b,c,e, p 程，求准线或渐近线 方程，求顶点或焦点坐标，求与有关的值，求与焦半 径或长（短）轴或实（虚）轴有关的角和三角形面积。 此类题在考试中最常见，解此类题应注意：（1）熟练掌握圆锥曲线的图形结构， 充分利用图形来 解题；注意离心率与曲线形状的关系；（2）如未指明焦点位置，应考虑焦点在 x轴和 y轴的 两种（或四种）情况；（3）注意 a,2a,a2，b,2b,b2，c,2c,c2，2p,p, p 2的区别及其几 何背景、出现位置的不同， 椭圆中 c2 a2 b2 ，双曲线中

2、 c2 a2 b 2 ，离心率 e c a ，准线方程 x a2 c ；二、定义题 对圆锥曲线的两个定义的考查， 与动点 到定点的距离（焦半径）和动点到定直线（准线）的 距离有关，有时要用到圆的几何性质。此类题常用 平 面几何 的方法来解决，需要对圆锥曲线的（两个）定 义有深入、细致、全面的理解和掌握。常用到的平面 几何知识有：中垂线、角平分线的性质，勾股定理， 圆的性质，解三角形（正弦余弦定理、三角形面积公 式），当条件是用向量的形式给出时， 应由 向量的几何 形式而用平面几何知识 ；涉及圆的解析几何题多用平优质资料 欢迎下载面几何方法处理；三、直线与圆锥曲线的关系题（1）写直线方程时，先考

3、虑斜率 k 存在，把直线方程 设为 y kx b 的形式，但随后应对斜率 k 不存在的情况作 出相应说明， 因为 k 不存在的情况很特殊， 一般是验证 前面的结论此时是否成立；（2）联立直线方程和圆锥曲线方程，消去 x 或消去 y ， 得到方程 ax 2 bx c 0 或 ay 2 by c 0 ，此方程是后一切计算的基础， 应确 保不出错。（3）当方程或的二次项系数 a 0 时, 方程是一次 方程，只有唯一解，不能用判别式，这种情况是直线 与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平 行；（过抛物线外一点作与抛物线只有一个公共点的直 线有三条，过双曲线含中心的区域内一点（不在渐近 线上）作与

4、双曲线只有一个公共点的直线有四条； ）（4）当方程或的二次项系数 a 0时，判别式 0 、 0 、 0 ，与之相对应的是，直线与圆锥曲线分别 相离、相切、相交。如直线与圆锥曲线有公共点，应 用 0来求斜率 k 的范围；（5）直线与圆锥曲线相交成弦（前提 a 0 ， 0 ）， 记为 AB，其中 A（x1,y1） ，B（x2, y2） ，AB 的坐标可由方程或优质资料欢迎下载求得，一般是由方程求出 x1, x2，再代入直线方程求 y1 , y2 ，或由方程求出 y1,y2 ，再代入直线方程求 x1,x26)涉及弦长问题，可用韦达定理 ，由方程 ax2 bx c 0求出x1 x2 , x1 x2A(

5、x1,y1) ， B(x2,y2) 在 直 线 y kx b 上 ， y1 kx1 b ，y2 kx2 b ，2 2 2 2y1 y2 k(x1x2) , AB(x1x2)(y1y2) (1 k )(x1 x2)(1 k )( x1x2 ) 4 x1x2(1k2)。请注意 ，如果联立直a线和圆锥曲线方程，消去 x，得到 ay2 by c 0 ，继x1 x21 ( y1 y2) ,k而 用韦达 定理 ，求出 y1 y2,y1y2 ，AB(x1 x2)2 (y1 y2)2(1 k12 )( y1 y2)2(1 k 2 )( y1 y 2 ) 4 y1 y 2 (1 k 2 ) a ；( 7)涉 及

6、弦 中点问 题， 可用 韦 达 定 理，由 方 程 ax2 bx c 0 求出 x1 x2 ，设弦 A(x1,y1) B(x2,y2)的中点为 M(x0,y0) ，则 x0 x1 2x2 ， M 点也在直线 y kx b 上， y0 kx0 b。如果问题 仅仅与弦中点和弦的斜率 k 有关， 而不涉及弦长， 则可把弦 AB的坐标 (x1, y1)，(x2,y2)直接代 入曲线方程，然后相减，因式分解，所得的式子中只 有(x1 x2)、(x1 x2)、(y1 y2) 、(y1 y2) ，这些都与弦中点坐 标和弦的斜率 k 有关。优质资料 欢迎下载8）弦 AB满足有关的向量的条件 ，如OA OB 0

7、（O为原 点 ）， 则 x1x2 y1 y2 0 ，y1 kx1 b ， y2 kx2 b ，22 x1x2 （kx1 b）（kx2 b） （1 k2 ）x1x2 kb（x1 x2） b2 0.又如过椭圆 x2 2y2 2的右焦点 F1的直线 l 与该椭圆交于 M,N 两点，且 F1M F2M 2 26 3，求直线 l 的方程。四、关于圆锥曲线的最值 （1）圆锥曲线上的动点到一个定点的距离的最值。 设 动点的坐标 M（x0,y0），用两点间的距离公式表示距离 d ， 利用点 M 的坐标 （x0,y0 ）满足圆锥曲线方程，消去 y0 （或 消去x0），把d 2表示成 x0（或 y0）的二次函数，

8、因为 x0（或 y0 ）有一个取值范围（闭区间或半开半闭区间） ，所以 问题转化为：求二次函数在闭区间上的最值。有时须 针对二次函数的对称轴与闭区间的关系进行分类讨 论。（2）圆锥曲线上的动点到一条定直线的距离的最值。 作圆锥曲线与定直线平行的切线， 切点即为所求的点， 切线与定直线的距离即为所求最值。五、求动点的轨迹方程（1）待定系数法。适用于已知曲线的类型的情况， （2）五步法（求曲线的基本方法）优质资料欢迎下载（3）定义法（只求轨迹，不求方程，用几何性质及圆锥曲线定义）（4）相关点法（ 5）交轨法（ 6）参数方程法 47、熟悉定比分点的传统定义、 向量定义、 坐标公式、 在空间坐标系中的应用；48 、 不 重 合 的 两 条 直 线 1 :