导数结合洛必达法则巧解恒成立问题

1、实用标准导数结合“洛必达法则”巧解恒成立问题第一部分：历届导数高考压轴题1.2006 年全国 2 理设函数 f(x)(x1)ln(x1)，若对所有的 x0，都有 f (x)ax成立，求实数 a 的取值范围2.2006 全国 1 理已知函数 f x 1 xe ax .1x()设 a 0 ，讨论 y f x 的单调性；()若对任意 x 0,1 恒有 f x 1，求 a 的取值范围 .3.2007 全国 1 理设函数 f (x) ex e x ()证明： f(x) 的导数 f (x)2；()若对所有 x0都有 f(x)ax，求 a的取值范围4.2008 全国 2 理设函数 f (x) sinx 2

2、cosx()求 f (x) 的单调区间；()如果对任何 x 0，都有 f (x) ax，求 a 的取值范围5.2008 辽宁理ln x设函数 f (x) ln x ln(x 1). 1x求 f (x) 的单调区间和极值 ;是否存在实数 a ,使得关于 x的不等式 f(x)a的解集为 (0, )?若存在 ,求a的取值范文档实用标准围 ; 若不存在 , 试说明理由 .6.2010 新课标理设函数 f (x) = ex 1 x ax2 .)若 a 0，求 f(x) 的单调区间 ;)若当 x0 时 f (x) 0，求 a 的取值范围7.2010新课标文已知函数f (x) x(ex 1) ax2.)若)

3、当x 0时， f(x) 0，求 a 的取值范围 .8.2010全国大纲理f (x) 在 x 1时有极值，求函数 f (x) 的解析式；设函数 f (x) 1 e)证明：当 x1时，)设当 x 0 时，f(x)f(x)xx1，求 a 的取值范围 .ax9.2011 新课标理aln x已知函数 f (x)x1b ，曲线xf (x) 在点 (1, f (1) 处的切线方程为 x 2y 3 0.)求 a 、b 的值；)如果当x 0 ，且x 1 时，ln x kf (x)， 求 k 的取值范围 .x 1 x10.自编3自编：若不等式 sinx x ax3 对于 x (0, 2) 恒成立，求 a的取值范围

4、 .第二部分：新课标高考命题趋势及方法1. 新课标高考命题趋势近年来的高考数学试题逐步做到科学化、 规范化， 坚持了稳中求改、稳中创新的原则， 充分文档实用标准发挥数学作为基础学科的作用， 既重视考查中学数学基础知识的掌握程度， 又注重考查进入 高校继续学习的潜能。 为此， 高考数学试题常与大学数学知识有机接轨， 以高等数学为背景 的命题形式成为了热点 .2. 分类讨论和假设反证许多省市的高考试卷的压轴题都是导数应用问题， 其中求参数的取值范围就是一类重点考查的题型 .这类题目容易让学生想到用分离参数法，一部分题用这种方法很奏效，另一部分题 在高中范围内用分离参数的方法却不能顺利解决，高中阶段

5、解决它只有华山一条路分类讨论和假设反证的方法 .03.洛必达法则 型及 型函 数未定式的一种解法0虽然这些压轴题可以用分类讨论和假设反证的方法求解， 但这种方法往往讨论多样、 过于繁杂，学生掌握起来非常困难 .研究发现利用分离参数的方法不能解决这部分问题的原因是出现了 0 ”型的式子， 而这就是大学数学中的不定式问题， 解决这类问题的有效方法就是 洛必0达法则 .第三部分：洛必达法则及其用法1.洛必达法则洛必达法则：设函数f(x)、 g(x)满足：lxima f (x)3) x ag(x)A( A 可为实数，也可以是).文档lxima f(x) 则 x a g(x)lxima f (x) x

6、a g (x)A.(可连环使用)1)lxima f(x) lximag(x) 0；2 )在U o (a)内，f (x) 和g(x) 都存在，且 g(x) 0；实用标准注意 使用洛必达法则时，是对分子、分母分别求导，而不是对它们的商求导，求导之后再 求极限得最值。2.2011 新课标理的常规解法alnx b已知函数 f(x) ，曲线 y f(x)在点 (1, f (1)处的切线方程为 x 2y 3 0. x 1 x()求 a、 b的值；lnx k ( )如果当 x 0，且 x 1时， f (x) ，求 k的取值范围 .x 1 x ()略解得 a 1， b 1.()方法一：分类讨论、假设反证法2

7、ln x 1 lnx k 1 (k 1)(x 1) 由()知 f (x) ，所以 f(x) ( ) 2 (2ln x ).x 1 x x 1 x 1 x x考虑函数 h(x) 2ln x(k1)(x2x1)(x0) ，则 h(x)(k 1)(x2 1) 2x2x(i)当 k 0时，由 h(x)k(x21) (x 1)22x知，1时，h(x)0.因为 h(1) 0 ，所以当 x(0,1)时， h(x)0，可得12 h(x)1x0；当x(1,)时， h(x) 0 ，可得1ln xkln xk2 h(x)0 ，从而当 x0 且 x1 时， f (x)()0，即 f(x)1 x2x1xx1x(ii )

8、当 0k 1 时，由于当x (1,1) 时， (k1)(x21)2x0 ，故 h(x) 0，而1kh(1) 0，故当 x (1, 1 )时， h(x) 0，可得 1 2 h(x) 0，与题设矛盾1 k 1 x)时 ， h(x) 0 ，可 得iii )当 k 1时， h(x) 0，而 h(1) 0 ， 故当 x (1,11 x2h(x)0，与题设矛盾 .综上可得，k 的取值范围为 (，0.注：分三种情况讨论： k 0；0 k 1；k 1不易想到 .尤其是 0 k 1时，许多考生都停留在此层面， 举反例 x (1, 1 )更难想到 .而这方面根据不同题型涉及的解法 1k也不相同，这是高中阶段公认的

9、难点，即便通过训练也很难提升3. 运用洛必达和导数解 2011 年新课标理文档实用标准当 x 0 ，且 x1时， f (x)也即 kxln x1 xln xx1ln x x1 2xln x 1 x2k ，即 ln xx x 11，记 g(x)1 ln xx x 12xln x1 x2k，x1， x 0 ，且 x 1则 g(x)2(x2221)ln x 2(1 x2) 2(x2 1)22(1 x2)2(1x2)2(lnx12 x2)，x2 1) ，记 h(x)ln x，则 h(x)4x (122从而 h(x) 在 (0,)上单调递增，1+=x+ (1+x2 )2 x(1+x2)222x2)2 0

10、，且h(1) 0，因此当 x (0,1)时， h( x) 0，当 x (1, )时， h( x) 0；当 x (0,1)时， g ( x) 0，当 x(1, )时，g(x) 0，所以 g(x)在(0,1)上单调递减，在(1, ) 上单调递增 .由洛必达法则有lim g(x) lim(x 1 x 12xln x1) 1lim 2xln2x 1x 1 1 x2lim 2ln x 2 0，x 1 2x即当 x 0 ，且 x1时，g(x) 0.因为 k g(x) 恒成立，所以 k 0 .综上所述，当 x0，且 x 1时， f (x)ln x k成立， k 的取值范围为 (x 1 x，0.注：本题由已知

11、很容易想到用分离变量的方法把参数k 分离出来 .然后对分离出来的函2xln x数 g(x) 2xln2x 1求导，研究其单调性、极值1 x2此时遇到了“当 x=1时，函数 g(x) 值没有意义”这一问题，很多考生会陷入困境.如果考前对优秀的学生讲洛必达法则的应用， 再通过强化训练就能掌握解决此类难题的这一有效 方法 .当然这一法则出手的时机： ( 1)所构造的分式型函数在定义域上单调2)是 00型。4.运用洛必达和导数解2010 新课标理设函数 f (x) ex 1 x ax2.)若 a 0，求 f(x) 的单调区间；文档实用标准)当 x 0时， f(x) 0，求 a的取值范围应用洛必达法则和

12、导数()当 x 0时， f(x) 0，即 ex 1 x ax* 2.当 x0 时， aR ；当 x0时， ex1xx2 e 1 x ax1综上所述，当 a 且 x 0时， f (x) 等价于 a2 .x记 g(x)xe 1 xx(0，+ )，则 g (x)(x2)ex x 2 .23.xx记 h(x)x(x 2)exx2x(0，+ ) ，则 h(x) (x 1)ex 1，当 x (0，+ ) 时，h(x) xex 0，所以 h(x) (x 1)ex 1在 (0，+ )上单调递增，且 h(x) h(0) 0， 所以 h(x) (x 2)ex x 2在(0，+ )上单调递增， 且 h(x) h(0

13、) 0，因此当 x (0，+ )时， g(x) h(3x) 0，从而 g(x)x1 x 在 (0，+)上单调递增由洛必达法则有，xxlim g(x) lim e 12 x lim e 1x 0x 0x2 x 0 2xlim1(0，+ ) 时，所以 g(x) ，因此 a20成立.5.运用洛必达和导数解自编题自编：若不等式 sinxx ax3 对于(0, 2) 恒成立，求 a的取值范围 .解：应用洛必达法则和导数当 x (0,2) 时，原不等式等价于 ax sinxx3记 f (x)x sinx3x，则 f (x)3sin x xcosx 2x4x记 g(x) 3sin x xcosx 2x，则

14、g(x) 2cosx xsinx 2 .文档实用标准因为 g (x) xcosx sinx cosx(x tanx)，g(x) xsinx 0，所以 g(x)在 (0, ) 上单调递减，且 g (x) 0， 2所以 g (x)在(0, )上单调递减，且 g(x) 0.因此 g(x)在(0, )上单调递减，22且 g(x) 0 ，故 f (x)g(4x) 0，因此xf (x)x sinxx sinx在(0, 2)上单调递减 .由洛必达法则有lim f(x) lim x s3inxx 0 x 0x31 cosx lim 2 x 0 3x2lim sin xx 0 6xcosx lim x 0 61

15、6，即当 x 0 时， g(x)16 ，即有 f (x)13x (0,2)恒成立 .故 a 16时，不等式 sinx x ax3对于通过以上例题的分析，我们不难发现应用洛必达法则解决的试题应满足： 可以分离变量； 用导数可以确定分离变量后一端新函数的单调性； 出现“ 0 ”型式子 .06.运用洛必达和导数解 2010 年新课标文2010 海南宁夏文( 21 )已知函数f (x) x(ex 1)ax2.()若f (x) 在 x1时有极值，求函数 f (x)的解析式；()当x 0 时，f(x)0，求 a 的取值范围 .解：()略)应用洛必达法则和导数文档实用标准当xx20时， f(x) 0，即 x

16、(ex 1) ax2.当0 时， a R；当0 时， x(ex 1)ax2 等价于 ex 1 ax ，也即 axe1记 g(x)1， x (0, x)，则 g(x) (x 1)ex 1记 h(x)(x 1)ex 1，x(0, ) ，则 h(x) xex 0，因此 h(x)(x1)ex 1在 (0, )上单调递增，且h(x)h(0) 0 ，所以 g(x)x0 ，从而 g(x)1在 (0, )上x单调递增 .由洛必达法则有xe1lxim0 g(x) lxim0 xx e lim x 0 11，即当x 0 时， g(x)所以 g(x) 1 ，即有 a1.综上所述，当 a 1 ， x0时，f(x) 0

17、成立 .7.运用洛必达和导数解2010年大纲理2010 全国大纲理( 22 )设函数 f (x) 1 e x .)证明：当 x 1 时，)设当 x 0时， f(x)f(x) xx1；x1x，求 a 的取值范围 .ax 1解：()略)应用洛必达法则和导数 由题设 x 0 ，此时 f (x) 0.文档实用标准当a 0 时，若 x1，则aax0， f (x)ax当a 0 时，当 x0时，f (x)x ，即 1 ax 1x 不成立；1x；1ax若x0，则 aR；若x0，则 1xax 1等价于x1e，即ax 1xxxe e 1xxe xx 记 g(x) xexe1xxe x，则 g(x)xxx2ex12

18、x 2 e x e x2 (xe x)xe 2 (ex(xex x)x2 2xe ).记 h(x) exx2 2 e x ，则 h(x) ex 2x e， h(x) ex +e x20因此， h(x)ex 2x e x在 (0， )上单调递增，且 h(0) 0 ，所以h(x)0，即 h(x) 在 (0，) 上单调递增，且h(0) 0 ，所以h(x) 0.因此 g (x)= (xexx)xe 2 h(x)0，所以 g(x) 在 (0，) 上单调递增 .由洛必达法则有xx lxim0g(x) lxim0 xexexe x 1limx0xxex xlxim0e xe 1 x 0 2exxe xexxxe1，即当 x 0 时，2g(x) 12 ，即有 g(x) 1222所以 a 1 .综上所述， a 的取值范围是2( ,12.8.运用洛必达和导数解 2008年全国 2 理设函数 f (x) sinx2 cosx)求 f (x) 的单调区间；)如果对任何x 0，都有 f (x) ax，求 a 的取值范围解：() f (x) (2 cos x)cos x sin2 x( sin x) 2cosx 12(