带电粒子在有界磁场中运动临界问题

1、带电粒子在有界磁场中运动的临界问题的解题技巧带电粒子（质量 m、电量 q 确定）在有界磁场中运动时，涉及的可能变化的参量有入射点、入射速度大小、入射方向、出射点、出射方向 、磁感应强度大小、磁场方向等，其中磁感应强度大小与入射速 度大小影响的都是轨道半径的大小，可归并为同一因素（以“入射速度大小”代表） ，磁场方向在一般问 题中不改变，若改变，也只需将已讨论情况按反方向偏转再分析一下即可。在具体问题中，这五个参量一般都是已知两个，剩下其他参量不确定（但知道变化范围）或待定，按 已知参数可将问题分为如下 10类（ C25 ），并可归并为 6 大类型。入射点入射方向入射速度大出射点出射方向类型已知

2、参量类型一入射点、入射方向；出射点、出射方向类型二入射点、速度大小；出射点、速度大小类型三入射点、出射点类型四入射方向、出射方向类型五入射方向、速度大小；出射方向、速度大小；类型六入射点、出射方向；出射点，入射方向分析】粒子初速度方向已知，故不同速度大小的粒子轨迹圆圆心均在垂直初速度的直线上如图甲），所有这些问题，其通用解法是：第一步，找准轨迹圆圆心可能的位置，第二步，按一定顺序 尽可能多地作不同圆心对应的轨迹圆（一般至少5 画个轨迹圆） ，第三步，根据所作的图和题设条件，找出临界轨迹圆，从而抓住解题的关键点。即轨道半径不确定）类型一：已知入射点和入射速度方向，但入射速度大小不确定这类问题的特

3、点是：所有轨迹圆圆心均在过入射点、垂直入射速度的同一条直线上。【例 1】如图所示，长为 L 的水平极板间有垂直于纸面向内的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为 L ，板不带电现有质量为 m、电荷量为 q 的带正电粒子 （不计重力 ），从左边极板间中点处垂直磁感线以速度 v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是 A 使粒子的速度 v54BmqLC使粒子的速度 vBmqLD 使粒子的速度 B4qmLv54BmqL时粒子能从右边穿出粒子擦着上板从左边穿出时，圆心在O点，有 r2L4 由r2mv2 ，得 v2BqL ，所以 vBqL 时粒子能从左边穿出Bq 4m 4m类型二：已知入射点

4、和入射速度大小 （即轨道半径大小） ，但入射速度方向不确定，是指以入射点为这类问题的特点是：所有轨迹圆的圆心均在一个“圆心圆”上所谓“圆心圆”圆心，以 r mv 为半径的圆。 qB例 2】如图所示， 在 0 xa、0 ya 范围内有垂直手 xy 平面向外的匀强磁场， 磁感应强度大小为 B 。 2坐标原点 O 处有一个粒子源， 在某时刻发射大量质量为 m、电荷量为 q 的带 正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在 xOy 平面内，与 y 轴正方向 的夹角分布在 0 900范围内。己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a/2到 a 之间， 从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中

5、 做圆周运动周期的四分之一。求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的（1）速度的大小；（2）速度方向与 y 轴正方向夹角的正弦。【分析】本题给定的情形是粒子轨道半径 r 大小确定但初速度方向不确定，所有粒子的轨迹圆都要经过入射点 O，入射点 O 到任一圆心的距离均为 r ，故所有轨迹圆的圆心均在一个“圆心圆” 以入射点图甲图乙O 为圆心、 r 为半径的圆周上（如图甲） 。考虑到粒子是向右偏转，我们从最左边的轨迹圆画起 取“圆 心圆”上不同点为圆心、 r 为半径作出一系列圆，如图乙所示；其中，轨迹对应弦长大于轨迹对应弦 长 半径一定、圆心角都较小时（均小于 180），弦长越长，圆心角越大，粒子在磁场

6、中运动时间越长 故轨迹对应圆心角为 90。解答】设粒子的发射速度为 v，粒子做圆周运动的轨道半径为2vmvqvB m ， 解得： RRqB当 a/2Ra 时，在磁场中运动的时间最长的粒子，其轨迹是圆 心为 C 的圆弧，圆弧与磁场的边界相切，如图所示，设该粒子在磁 场中运动的时间为 t，依题意， t=T/4 时， OCA =/2设最后离开磁场的粒子的发射方向与y 轴正方向的夹角为 ，由几何关系得：aRsin R，Rsina Rcos ，222且sin2cos216 6 aqB 6- 6解得： R （2）a，v （2 ）， sin =2 2 m 10这类题作图要讲一个小技巧 按粒子偏转方向移动圆心

7、作图 。【练习 2】如图所示，在正方形区域 abcd 内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为 B 的匀强磁场。 在 t=0 时刻，一位于 ad 边中点 O 的粒子源在 abcd 平面内发射出大量的同种带电粒子，所有粒子的初速度 大小相同，方向与 Od 边的夹角分布在 0 180范围内。已知沿 Od 方向发射的粒子在 t=t0时刻刚好从磁场 边界 cd 上的 p 点离开磁场，粒子在磁场中做圆周运动的半径恰好等于正方形边长L，粒子重力不计，求：（ 1）粒子的比荷 q/m；（ 2）假设粒子源发射的粒子在 0180 范围内均匀分布， 此时刻仍在磁场中的粒子数与粒子源发射的 总粒子数之比；3）从粒子发射

8、到全部粒子离开磁场所用的时间。Oabd p c图甲a图乙【分析】以 L 为半径、 O 点为圆心作“圆心圆” （如图甲）；由于粒子逆时针偏转，从最下面的轨迹开始画 起（轨迹），在“圆心圆 ”取不同点为圆心、以 L为半径作出一系列圆（如图乙） ；其中轨迹与轨迹对 称，在磁场中运动时间相同；轨迹并不经过 c 点，轨迹对应弦长短于轨迹对应弦长即沿轨迹 运动的粒子最后离开磁场。【解答】（ 1）初速度沿 Od 方向发射的粒子在磁场中运动的轨迹如图，其圆心为n，由几何关系有：TOnp , t06 0 12粒子做圆周运动的向心力由洛仑兹力提供，根据牛顿第二定律得Bqv m(2 )2 R ，2RvTm 6Bt0

9、（2）依题意，同一时刻仍在磁场中的粒子到 O 点距离相等。在 t0 时刻仍在磁场中的粒子应位于以O为园心， Op 为半径的弧 pw 上。5由图知 pOw6 此时刻仍在磁场中的粒子数与总粒子数之比为 5/6 （3）在磁场中运动时间最长的粒子的轨迹应该与磁场边界5 粒子运动轨迹对应的圆心角为 ，则 sin24Yab 点相交， 设此12 arcsin在磁场中运动的最长时间 t T 4 t02012 5所以从粒子发射到全部离开所用时间为 t （ arcsin ）t0 。4 类型三：已知入射点和出射点，但未知初速度大小 （即未知半径大小） 和方向 这类问题的特点是：所有轨迹圆圆心均在入射点和出射点连线的

10、中垂线上。【例 3】如图所示，无重力空间中有一恒定的匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于xOy 平面向外，大小为 B ，沿 x 轴放置一个垂直于 xOy 平面的较大的荧光屏， P 点位于荧光屏上，在 y 轴上的 A 点放置一放 射源，可以不断地沿平面内的不同方向以大小不等的速度放射出质量为m、电荷量 +q的同种粒子， 这些粒子打到荧光屏上能在屏上形成一条亮线， P 点处在亮线上，已知 OAOPl ，求：（1）若能打到 P 点，则粒子速度的最小值为多少？（2）若能打到 P 点，则粒子在磁场中运动的最长时间为多少？【分析】粒子既经过 A 点又经过 P 点，因此 AP 连线为粒子轨迹圆的一条弦，圆心必在

11、该弦的中垂线OM 上（如图甲） 。在 OM 上取不同点为圆心、以圆心和 A 点连线长度为半径 由小到大作出一系列圆 （如 图乙），其中轨迹对应半径最小，而轨迹对应粒子是O1 点上方轨道半径最大的，由图可知其对应圆心角也最大。解答】（1）粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，设粒子的速度大小为v 时，其在磁场中的运222 动半径为 R，则由牛顿第二定律有：qBv m vR若粒子以最小的速度到达 P点时，其轨迹一定是以 AP 为直径的圆（如图中圆 O1所示）由几何关系知：则粒子的最小速度v 2qBl2m（ 2）粒子在磁场中的运动周期 T 2m qBm 设粒子在磁场中运动时其轨迹所对应的圆心角为 ，

12、则粒子在磁场中的运动时间为： t T2 qB 由图可知， 在磁场中运动时间最长的粒子的运动轨迹如图中圆O2所示， 此时粒子的初速度方向竖直向3上，则由几何关系有： 32 则粒子在磁场中运动的最长时间： t 3m2qB类型四：已知初、末速度的方向（所在直线） ，但未知初速度大小 （即未知轨道半径大小）这类问题的特点是：所有轨迹圆的圆心均在初、末速度延长线形成的角的角平分线上。【例 4】在 xOy平面上的某圆形区域内，存在一垂直纸面向里的匀强磁 场，磁感应强度大小为 B.一个质量为 m、带电量为 +q的带电粒子，由原点 O 开始沿 x正方向运动，进入该磁场区域后又射出该磁场；后来，粒子经过y轴上的

13、 P点，此时速度方向与 y轴的夹角为 30（如图所示） ，已知 P到O的距 离为 L ，不计重力的影响。 （1）若磁场区域的大小可根据需要而改变，试求粒子速度的最大可能值；2）若粒子速度大小为 v qBL ，试求该圆形磁场区域的最小面积。6m分析】 初、末速度所在直线必定与粒子的轨迹圆相切， 轨迹圆圆心到两条直线的距离 （即轨道半径）相等，因此，圆心必位于初、末速度延长线形成的角的角平分线QC上（如图甲）；在角平分线 QC 上取不同的点为圆心， 由小到大作出一系列轨迹圆 的，其对应的粒子速度也最大。如图乙），其中以 C点为圆心轨迹是可能的轨迹圆中半径最大图解答】过 P点作末速度所在直线，交x轴

14、于 Q点，经分析可知，粒子在磁场中作圆周运动的轨迹的圆心必在 OPQ 的角平分线 QC 上，如图甲所示。 设粒子在磁场中作匀速圆周运动的轨道半径为r，则由牛顿第2二定律，有 qvB mv则 r mv r qB由此可知粒子速度越大，其轨道半径越大，由图乙可知，速度 最大的粒子在磁场中运动轨迹的圆心是 y轴上的 C点。（ 1）如图丙所示，速度最大时粒子的轨迹圆过O点、且与 PQ相切于 A点。由几何关系有 OQ Ltan 30，r1 OQ tan 30 ，可得 r1 L 由、求得 v qBL 3 3m图丙2）将 v qBL 代入式，可得6mr2 L ，粒子的运动轨迹是如图丁所示的轨迹圆，该轨迹圆与6

15、轴相切于 D 点、与 PQ 相切于 E 点。连接 DE，由几何关系可知DE 3r2由于 D 点、 E点必须在磁场内，即线段 DE 在磁场内，故可知磁场面积最小时必定是以DE 为直径（如图丁中所示）。即面积最小的磁场半径为则磁场的最小面积为1R D E2s R2 ( 3 L)212L248Ov D类型五：已知初速度的大小这类问题的特点是：所有轨迹圆的圆心均在将 入射点组成的边界 沿垂直入射速度方向平移一个半径距即已知轨道半径大小）和方向，但入射点不确定图丁离的曲线上。例 5】如图所示，长方形 abcd 的长 ad=0.6m，宽 ab=0.3m，O、e分别是 ad、bc 的中点，以 e为圆 （eb

16、 边界上无 的带正电粒子以速度 ）心 eb 为半径的圆弧和以 O 为圆心 Od 为半径的圆弧组成的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场磁场 ）磁感应强度 B=0.25T 。一群不计重力、质量 m=310-7kg、电荷量 q=+210-3C v=5l02m/s 沿垂直 ad 方向且垂直于磁场射入磁场区域，则下列判断正确的是（DOa 边ab 边A.B.C.D.从 Od 边射入的粒子， 从 aO 边射入的粒子， 从 Od 边射入的粒子， 从 ad 边射人的粒子，出射点全部分布在 出射点全部分布在 出射点分布在 出射点全部通过ab 边b点分析】dOb 线上，将该曲线垂直速度向上平移所有进入磁场的粒子的入射点

17、均在一个半径 r mv 后得到曲线 Oaf，此即所有粒子在磁场中做圆周运动的圆心所在曲 qBmvr 为半径作一系列轨迹圆，其中为从qB迹（圆心在 O 点），为从 O 点射入粒子的轨迹（圆心在 a 点），为从 a 点射入粒子的轨迹，从 d、O 之 间入射粒子在磁场中转过 1/4圆周后沿 eb 边界作直线运动最终汇聚于 线运动再进入磁场做圆周运动，由作图易知这些粒子也汇聚于b 点。线， 在该曲线上从下到上取点作为圆心d 点射入粒子的轨b点，从 O、a 之间入射粒子先作直f【练习 5】如图所示，在 xOy平面内有一半径为 R、与 x轴相切于原点的圆形区域，该区域内有垂直于xOy平面的匀强磁场。在圆的

18、左边 0y0)和初速度 v的带电微粒沿 x轴正方向射向该区域， 其中沿半径 AO方向进入磁场区域的带电微粒经磁场偏转后，从坐标原点 O沿 y轴负方向离开。(1)求磁感应强度 B的大小和方向。 (2)请指出这束带电微粒与 x 轴相交的区域，并说明理由。【分析】(1)从 A 点进入磁场区域的微粒轨迹圆心在A 点正下方相距 R 的 C 处，微粒轨迹如图所示，可知微粒轨迹半径为 R mv ；( 2)所有这些微粒进入磁场后做圆周运动的圆心均在如图所示半圆虚线qBDDOCD 上，在该曲线上由上到下取点作为圆心 、以 R 为半径作一系列轨迹圆，易由图可知这些微粒均与 x 轴相交于原点因为圆心所在曲线半圆 OCD 的圆心是原点 O 。答案】 (1) B mv ，方向垂直 xOy 平面向外； ( 2)这束微粒均与 x 轴相交于原点。 qR类型六：已知初速度方向 (所在直线) 和出射点，但入射点不确定这类问题的特点是： 所有轨迹圆的圆心均在 “以初速度所在直线为准线、 出射点为焦点的抛物线” 上。【例 6】如图所示，现有一质量为 m、电量为 e的电子从 y轴上的 P（0，a）点以初速度 v0平行于 x 轴 射出，在