平面向量的数量积练习题

1、平面向量的数量积、选择题c (a + 2b)=()1 .若向量a, b, c满足a / b且a丄c,则A. 4C. 2解析:由 a/b 及 a丄c，得 bc,(a + 2b) = c a+ 2c b = 0.答案:2.若向量a与b不共线，a b工0,且c = a-a a寸 b,则向量a与c的夹角为（A. 0解析：ac = aa黔b2=a a a 2 2r a b = a 一 a = 0, a bc工0,. ac , a, c2，故选D.答案 D3.设向量a= (1.cos )与 b = (-1 ,2 cos ）垂直，贝U cos2等于 （C .0解析Q a0,2cos20, cos2 2cos

2、210.正确的是C.答案C4 .已知| a|=6, |b|=3, a b= 12,则向量a在向量b方向上的投影是（A. 4C. 2D. 2解析 设a与b的夹角为0 ,v a b为向量b的模与向量a在向量b方向上的投影的乘积,而 cos 0a b=| a| b| =23,I a|cos 0=4.答案 A5.若 a, b,c 均为单位向量，且 a b = 0, (a c) ( b c) w 0,则 | a + b c|的最大值为().1B . 1D. 2解析 由已知条件，向量a, b, c都是单位向量可以求出，a2 = 1, b2= 1, c2= 1, 由 a b = 0,及(a c)( b c)

3、 c2= 1,因为 | a+ b c| = a + b + c + 2a b 2a c 2b c，所以有 |a+ b c| = 3 2( a c + b c) 1,故| a+ b c| 0,即 a b va| , v cosa, ba b=I all bl，|a|= _ 3|b| ,a cos a,bv122|a| 其I a| b| - 2，v 0n,a*v a, bWn.6答案 D7.如图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6,下列向量的数量积中最大的是（）.-P1P4RF52n 解析由于RP2丄P1P5,故其数量积是0,可排除C; PP2与RP6的夹角是可,故其数量积小于零，可排除 D;设

4、正六边形的边长是a,TTTTTTTT3 则 P1F2 PF3= | P1F2H Puleos 30 =, P1P2 卩1只=| P1P2II P1 F4|cos 60 = a答案 A二、填空题&已知向量a,b均为单位向量，若它们的夹角是60,则|a 3b|等于.解析v |a 3b|2= a2 6a b+ 9b2 = 10 6X cos60= 7,二 | a 3b| = 7.答案.79.已知向量a (3, 2) , a (3m 1,4 m),若a b，则m的值为.r br ard(332)X17答案110.已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a+ b与向量ka b 垂直，则k =.

5、解析设a与b夹角为0 ,由题意知|a| = 1, |b| = 1, 8工0且8工冗.由a+ b 与向量ka b垂直，得(a+ b) (ka b) = 0,即 k| a|2+ (k 1)| a| b|cos 0 | b| 2= 0, (k 1)(1 + cos 0 ) = 0.又 1 + cos 0 工0,二 k 1= 0, k = 1.答案12n11 .已知e1, e2是夹角为3的两个单位向量，a = e1 2e2, b= ke1+ e2.若a b =0,则实数k的值为.5化简可求得k=4.解析 由题意知：a b = (e1 2e2) ( ke1+ e2)= 0,即 ke1 + e1e2 2k

6、e1e2 2e2= 0,即 k + cos2 2kcos2n_ 2= 0,答案54uuu12. 在等腰直角三角形ABC中, D是斜边BC的中点，如果AB的长为2,则(ABuuuruuu+ AC ) AD的值为.uuu 2uuu 2uur2uur1uuuruuuuuruuuuuu解析：|BC |2 = |AB |2+ | AC|2= 8, |AD |=空1BC | , AB + AC = 2 AD , ( ABuuuruuu uuuruuur1uur2+ AC ) AD =2 AD AD =空1BC |2= 4.答案：4三、解答题13. 已知向量 a= (1,2) , b= (2 , - 2).

7、设 c = 4a+ b, 求(b c) a；若a+入b与a垂直，求入的值； 求向量a在b方向上的投影.解析：(1) : a= (1,2) , b= (2 , - 2), c= 4a + b= (4,8) + (2 , - 2) = (6,6).b c= 2x 6 2x 6= 0,(b c) a = Oa = 0.(2) a + 入 b= (1,2) + 入(2 , 2) = (2 入+ 1,2 2 入),由于a+入b与a垂直,5 2 入 + 1+ 2(2 2 入)=0, 入=3设向量a与b的夹角为9 ,向量a在b方向上的投影为| a|cos 9 .a b 1x 2+ 2x ? 2?2 lalc

8、os 9 =両=22+ ? 2?2 = 2,2= 亍 14. 如图所示，A吐(6,1) , BC= (x , y), CD= ( 2, 3). (1)若BC/ DA求x与y之间的关系式； 在(1)条件下,若ACL BD,求x , y的值及四边形ABCD勺面积. 解析 (1) T AD= AB+ BC+ CD= (x+ 4 , y 2) , DA= AD= ( x 4,2 y).又BC/ DA且BC= (x, y)，x(2 y) y( x 4) = 0, 即 x + 2y= 0.TTTTTTT T(2)由于AC= AB+ BC= (x + 6, y + 1) , BD= BCCD= (x-2,

9、y 3)，又AC丄BD，T TAC* BD= 0.即(x + 6)( x 2) + (y + 1)( y 3) = 0,联立化简，得,一2y 3= 0,.y= 3或 y = 1.TT故当 y = 3 时，x = 6,此时 AC= (0,4) , BD= ( 8,0),TT1.Sbc= 2丨 AC *丨 BD = 16;TT当 y = 1 时，x = 2,此时 AC= (8,0) , BD= (0， 4),TT1 .Sabcd= ql Aq 丨 BD = 16.TTTT T T T15. 已知平面上三点 A, B, C满足| AB = 3, | Bq = 4, |CA = 5,求AB- BC B

10、C- CAT T+ CA- AB的值.T T解析 由题意知厶ABC为直角三角形，AB丄BCT T3AB BC= 0, cos / BAC= _,5COS/ BC/= 4,T T4.BC和CA夹角的余弦值为-,5T T3CAW AB夹角的余弦值为-,5 AB- BC+ BC CA CA AB43=20X + i5X = 25.5516. 设两向量ei, e2满足| ei| = 2, d = 1, ei, e?的夹角为60,若向量2tei+ 7e?与向量ei +1 e?的夹角为钝角，求实数t的取值范围.思路分析转化为(2tei + 7氏)(ei +1 e?) v0且 2t ei+ 7e?工入(ei + te?)(入 v 0).解析 由已知得 ei = 4, e2= i, ei -氏=2X i x cos 60 = i.(21 ei + 7e2) ( ei+1 e2)= 2t ei + (21 + 7)