平面向量、三角形“四心”与三角形面积的关系及其证明

1、1、2、知识要点O 为 ABC 内一点，mOA nOB rOC 0 S OAB:SOAC:SOBC r:n:mO 为 ABC 的重心，S OAB S OAC S OBC1S ABCABC3 ABC3、若 O 为ABC的垂心，则 S OAB:SOAC :SOBCtan C : tan B : tan A ，故 tanC OCtan B OB tanA OA4、若 O 为ABC的内心，则 S OAB:SOAC :SOBCc:b:a，故 c OC b OB a OA 05、若 O 为 ABC 的外心，S OAB : S OAC: S OBCsin AOB : sin AOC : sin BOC si

2、n 2C : sin 2B :sin 2 A故 sin 2C OCsin 2B OB sin 2 A OA、要点证明1、若O为 ABC内一点，则 mOA nOB rOC 0 S OAB:SOAC:SOBC r:n:m 证明：先证充分性，即已知 mOA nOB rOC 0，求证 S OAB : S OAC :S OBC r:n:m 如图所示，分别在射线 OA，OB上去点 A1， B1 ，使得 OA1 mOA，OB1 n OB ，并以 OA1, OB1为邻边作平行四边形 OA1DB1，连接 OD， A1B1S，故OD OA1 OB1 mOA nOBr OC ，因此 OD rOC 。设 SOA1DB

3、12S ，则 SOA1DSODB1SOA1B1SA1DB1所以 S OAB : SOAC : S OBCr:n:mSmrSOAB1OAOB sin AOB 1OA1OB1 sin A1OB1S ，同理SOBCS ,SOAC2 2 mnmnnr再证必要性，即已知则 S OAB :S OAC :S OBC r:n:m求证 mOA nOB r OC 0 如图所示分别在射线 OA，OB上去点 A1，B1，使得 OA1 mOA，OB1 n OB ，并以OA1,OB1 为邻边作平行四边形OA1DB1 ，连接OD ， A1B1 ，再作OD1 r OC 。设SOA1DB12S，则 SOA1DSODB1SOA1

4、B1SA1 DB1S 。由充分性的证明易知 SOAB SOA1B1S，SOBCSOB1D1 , S, SOACSOA1D1。mnmnnrmr结 合 S OAB :S:OAC :SOBCr :n :m 知SSOB1D1OA1D1S，所以1OB1 OD1sinB1OD1 1OA1 OD1 sin A1OD1故OB1sinB1OD1 OA1 sin A1OD122且SOA1D1B1 2S SOA1DB1，故SA1D1B1 SA1DB1 ，因此 D到 A1B1的距离与 D1到 A1B1的距离相 等，故 DD1/ A1B1 。又因为 SOB1D1 SOA1D1 S SOB1D ，所以 OD 与 OD1重

5、合。故ODOD1r OC 因此， mOAnOBr OC 0。2、若O为ABC 的重心，则 S OABSOAC S OBC1S ABC证明：如图ABC， O为重心，故OD1 OC 。33 ABC分别过 O,C 作 AB的垂线， h1, h2 ，则 h1 OD 11 2h2 OC 3所以 SOAB1S3ABC 。 同理可证 SOAC1 SABC ， SOBC3 ABC OBC1S3ABC 。3、若 O为 ABC的垂心，则 S OAB :S OAC :S OBC tanC:tanB: tanA，故 tanC OC tan B OB tanA OA 0 证明：如图 ABC， O为垂心，则11 SOAB

6、OA BE ， SOACOA CE22因此 SOABBESOACCEBEAEtanCAECEtan B同理可证 SOACtan B。所以S OAB : S OAC : S OBC tan C : tan B : tan A 。由定理 1 知SOBCtan AtanC OC tan B OBtanAOA 0 。4、若 O为 ABC的内心，则 S OAB :S OAC : S OBC c:b:a，故 c OC b OB a OA 0证明：如图，内切圆与AB,BC, AC 的切点分别为D,E, F ，则SOAB1AB OD ，21SOBCBC OE ， SOAC21AC OF ，故2S OAB: S

7、 OAC : S OBCAB : AC : BC c:b: a。5、若 O 为 ABC 的外心，S OAB : S OAC : S OBC sin AOB : sin AOC : sin BOCsin 2C :sin 2B :sin 2A故 sin 2C OC sin 2B OB sin 2A OA 0S OAB : S OAC : S证明：OBC1 OA OB11sin AOB : OA OC sin AOC : OB OC sin BOC2 2 2sin 2C :sin 2B:sin 2A二、典例分析PAB例题 1： ABC所在平面上一点 P满足， PA PC mAB （ m 0，且为常数 ） ，若 的面积为 6，则 ABC 的面积为 。m的分析：此问题中 PA PC mAB（ m 0，且为常数 ） 仅仅表示与共线且方向相同，与值无关，以 PA, PC为邻边作平行四边形 PADC ，则 AB/ PD ，再用平面几何求解。解：