平面向量测试1苏教4

1、平面向量、选择题：1在 ABC中, a 5,b 8,C 60 ,则BC CA的值为 （ ）A 20 B 20 C 20 3 D 20 3 错误分析:错误认为 BC,CA C 60 ,从而出错 .答案 : B略解 : 由题意可知 BC,CA 120 ,1 故BC CA= BC CA cos BC,CA 5 8 20.22关于非零向量 a 和 b ，有下列四个命题：（1）“ abab ”的充要条件是“ a和b 的方向相同”；（2）“ abab ” 的充要条件是“a和b 的方向相反”；（3）“ abab ” 的充要条件是“a和b 有相等的模”；（4）“ abab ” 的充要条件是“a和b 的方向相同

2、”；其中真命题的个数是 （ ）A 1 B 2 C 3 D 4 错误分析 : 对不等式 a b a b a b 的认识不清 . 答案 : B.3已知 O、A、B三点的坐标分别为 O（0,0） ，A（3，0），B（0，3），是 P线段 AB 上且 AP=t AB （0 t 1）则OAOP 的最大值为 （ ）A 3B6C9D12正确答案： C 错因：学生不能借助数形结合直观得到当 OPcos 最大时，OA OP 即为最大。4若向量 a =（cos ,sin ） ， b= cos ,sin ， a与b 不共线，则 a与b一 定满足（ ）A a与b 的夹角等于 -BabC（ a+b） （ a- b）D

3、ab正确答案： C 错因：学生不能把 a 、b 的终点看成是上单位圆上的点，用 四边形法则来处理问题。5已知向量 a =(2cos ，2sin )， ( , )， b =(0,-1) ，则 a与 b 的夹角 为( )A 2 -B +C -D3 2 2正确答案： A 错因：学生忽略考虑 a 与 b夹角的取值范围在 0 ， 。6 O 为平 面 上的 定点， A、 B、C 是 平面上 不共 线 的三 点 ，若 ( OB- OC)(OB+OC-2 OA )=0 ，则 ABC是()A以 AB为底边的等腰三角形B以 BC为底边的等腰三角形C以 AB为斜边的直角三角形D以 BC为斜边的直角三角形正确答案：

4、B 错因：学生对题中给出向量关系式不能转化：2OA 不能拆成( OA+OA) 。7已知向量 M= a a =(1,2)+ (3,4)R， N= a a =(-2,2)+ (4,5)R ，则 M N=( )A ( 1， 2) B (1,2),( 2, 2) C ( 2, 2) D 正确答案： C 错因：学生看不懂题意，对题意理解错误。8已知 k Z ， AB (k,1),AC (2,4) ，若 AB10 ，则 ABC是直角三角形的概率是( CA 17分析：由 AB 10及k Z 知k 3, 2, 1,0,1 ,2,3 ，若AB (k,1)与AC (2,4)垂直，则2k 3 0 k 2；若BC A

5、B AC k ( 2, 3)与 AB (k,1)垂直，则 k2 2k 3 0 k 1或3 ，所以 ABC是直角三角形的概率是 3 .79设 a0为单位向量，( 1)若 a为平面内的某个向量， 则 a=|a|a0;(2)若 a与 a0平行，则 a=|a|a0； (3)若 a与 a0平行且 |a|=1，则 a=a0。上述命题中，假命题个数是()A.0 B.1 C.2 D.3 正确答案： D。 错误原因：向量的概念较多，且容易混淆，注意区分共线向量、平行向量、同向向量等概念。10已知| a|=3,|b|=5 ，如果 ab，则 ab=。正确答案：。 15。错误原因：容易忽视平行向量的概念。 a、b的夹

6、角为 0、 180。11 O 是平面上一定点 ,A,B,C 是平面上不共线的三个点 , 动点 P 满足AB ACOP OA ( ), 0, ),则 P的轨迹一定通过 ABC的( ) | AB | | AC |(A) 外心 (B) 内心 (C) 重心 (D) 垂心 正确答案： B。ABACAB错误原因：对OP OA ( AB AC ), 0, ) 理解不够。不清楚 AB |AB | | AC |AB |ACAC 与 BAC的角平分线有关。| AC |12 如 果 a b a c,且a 0 ， 那 么 （ ）Ab c B b c C b c D b,c在 a 方向上的投影相正确答案： D。 错误原

7、因：对向量数量积的性质理解不够。13向量 AB （3，4）按向量 a=（1,2） 平移后为 （ ） A、（ 4， 6） B 、（2，2） C 、（ 3，4） D 、（ 3， 8） 正确答案： C错因：向量平移不改变。14已知向量 OB （2,0）, OC （2,2）, CA （ 2 cosa, 2sin a）则向量 OA,OB的夹角范围是（ ）A、/12，5/12B、0，/4 C 、/4，5/12 D 、 5/12 ，/2正确答案： A错因：不注意数形结合在解题中的应用。15将函数 y=2x 的图象按向量 a 平移后得到 y=2x+6的图象，给出以下四个命题： a的坐标可以是（ -3，0） a

8、的坐标可以是（ -3 ，0）和（ 0， 6） a的坐 标可以是（ 0，6） a的坐标可 以有无数 种情况，其 中真命 题的个数是 （）A、1B 、 2 C、3正确答案： D错因：不注意数形结合或不懂得问题的实质。16 过 ABC 的 重 心 作 一 直 线 分 别 交 AB,AC 于 D,E, 若 AD xAB,11AE yAC,（ xy 0）, 则 1 1 的值为（ ）xyA 4 B 3 C 2 D 1正确答案： A 错因：不注意运用特殊情况快速得到答案。17设平面向量 a =（ 2，1） ，b=（，1），若 a与b的夹角为钝角，则 的取值范围是( )1A、 ( 1,2) (2, )21C、

9、 ( , )2 答案：A、 (2, )点评：易误选 C，错因：忽视 a 与b反向的情况。18设 a=（x1，y1） ， b=（x2，y2） ，则下列 a与 b共线的充要条件的有（） 存在一个实数，使a = b或b = a ； | ab|=| a| | b| ； x1 y1 ； ( a +b )/( x2 y2ab)A、1 个B、2个C、3 个D、4个答案：C点评：正确，易错选 D。19以原点 O及点 A（5，2）为顶点作等腰直角三角形OAB，使 A 90 ，则 AB的坐标为（ ）。A、（2，-5 ）C 、（ -2，5） 正解： BB、（ -2 ，5）或（ 2，-5）D、（ 7，-3 ）或（ 3

10、，7）设 AB (x, y) ，则由| OA | | AB |52 22x2 y2 而又由 OA AB得 5x 2y 0 由联立得 x 2,y 5或x 2, y 5AB (2, 5)或( 2，5)误解： 公式记忆不清，或未考虑到联立方程组解)条件20设向量 a (x1 , y1), b (x2,y2) ，则 x1 y1 是a/b的( x2 y2、必要不充分、既不充分也不必要A、充要BC 、充分不必要 D 正解：C若 x1 y1 则x1y2 x2y1 0, a / b ，若a / b，有可能 x2或y2为 0，故选 x2 y2误解： a / b x1y2 x2y1 0 x1 y1 ，此式是否成立

11、，未考虑，选 A。 x2 y221在 OAB中，OA (2cos ,2sin ),OB (5cos ,5sin )，若OA OB 5=-5，则S OAB=(53A、 3 B 正解： D。OA OB5|OA| |OB| cosV5(LV为OA与OB 的夹角)cosV 52cos 2 (2sin )2 (5cos )2 5sin 2误解：C。将面积公式记错，误记为 S OAB |OA| |OB| sinV cosV1sinV 3 S OAB 1|OA| |OB| sinV 5 32 2 2 222在 ABC 中， AB a，BC b，有 a b 0，则 ABC 的形状是(D) A、锐角三角形 B

12、、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、不能确定 错解：C错因：忽视 a b 0中 a与b的夹角是 ABC 的补角 正解： D23设平面向量 a ( 2,1)，b ( , 1)，( R) ，若 a与b 的夹角为钝角，则 的取 值范围是(A)1 11A、（ ，2） （2， ） B 、（2，+ ） C 、（ ， ） D 、（- ， ）2 22错解：C错因：忽视使用 a b 0 时，其中包含了两向量反向的情况正解： A24已知 A（3，7），B（5，2），向量 AB按a （1，2） 平移后所得向量是。A 、（2，-5 ）， B 、（ 3， -3 ）， C 、（ 1，-7 ） D 、以上都不是 答案：A

13、 错解：B错因：将向量平移当作点平移。25已知 ABC中 AB BC 0,则 ABC 中，。A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、不能确 定答案：C错解：A或D 错因：对向量夹角定义理解不清26正三角形 ABC的边长为 1，设 AB a,BC b, AC c，那么 a b b c c a 的 值是 （）A、 23B、 12C 、 32D 、 12正确答案： （B） 错误原因：不认真审题，且对向量的数量积及两个向量的夹角的定义模糊不清。27 已 知 a c b c a b c 0 ， 且 a和 b不 垂 直， 则 a b与 a b c （）A、相等B 、方向相同 C 、方向

14、相反 D 、方向相同或相反正确答案： （D）错误原因：受已知条件的影响，不去认真思考 a b 可正可负，易选成 B。28已知 a x2 b x c 0 是关于x 的一元二次方程，其中 a,b,c 是非零向量，向量a和b共线，则该方程（A、C、至多有一根、有无数个互不相同的根）至少有一根有两个不等的根 正确答案： （B） 错误原因：找不到解题思路。29设 a,b,c 是任意的非零平面向量且互不共线，以下四个命题： (a b) c c a b 0 a b a b b c a c a b不与c垂直若a b,则a b与c不平行其中正确命题的个数是() A、1个 B 、2个C 、3个D、4 个正确答案：

15、 (B) 错误原因：本题所述问题不能全部搞清。二填空题：1若向量 a= x,2x ，b= 3x,2 ，且 a ， b的夹角为钝角，则 x的取值范围 是.错误分析：只由 a,b的夹角为钝角得到 a b 0,而忽视了 a b 0 不是 a,b夹 角为钝角的充要条件 ,因为a,b的夹角为180 时也有 a b 0,从而扩大 x的范围, 导致错误 .正确解法 : a，b 的夹角为钝角 ,a b x 3x 2x 2 3x化为关于 cosx的二次函数在 0,1 的最值问题 , 不知对对称轴 4x 0解得 x 0 或 x 4 (1)31又由a,b 共线且反向可得 x 1 (2)3由(1),(2) 得 x 的

16、范围是, 1 1,04,333答案:, 1 1,04,.3332有两个向量 e1 (1,0) ， e2 (0,1) ，今有动点 P，从 P0( 1,2)开始沿着与向量 e1 e2 相同的方向作匀速直线运动，速度为 |e1 e2 |；另一动点 Q，从Q0( 2, 1)开始沿着 与向量 3e1 2e2相同的方向作匀速直线运动， 速度为 |3e1 2e2 |设P 、Q在时刻 t 0 秒时分别在 P0 、 Q0处，则当 PQ P0Q0时， t秒正确答案： 2薛中)1、设平面向量 a ( 2,1),b ( , 1),若a与b的夹角是钝角， 则 的范围答案：1( ,2) (2, )2错解：1 ( , )2

17、错因：“ a b 0”与“ a和b的夹角为钝角”不是充要条件。3 a,b 是任意向量，给出：1 a b,2 a b ，3 a与b 方向相反，4是a与b 共线的充分不必a 0或b 0,5 a,b 都是单位向量，其中 要条件。错因：忽略 0 方向的任意性，从而漏选。4若a 2,3,b 4,7 ,a c 0,则c在b方向上的投影为正确答案： 65 5 错误原因：投影的概念不清楚。5已知 o 为坐标原点， om 1,1 , nm 5,5 ,集合 A or| rn 2 , op, oq A, 且 mp mq R,且 0 ，则 mp mq 。 正确答案： 46错误原因：看不懂题意，未曾想到数形结合的思想。

18、三、解答题：1已知向量a cos3x,sin3x ,b cosx, sinx ,且x2 2 2 2(1) a b 及 a b ; 3(2) 若 f x a b 2 a b 的最小值是 3 , 求实数 的值.2增加难度 ;(2)错误分析 :(1) 求出 a b = 2 2cos2x 后, 而不知进一步化为 2cosx, 人为 *方程讨论 .答案: (1) 易求 a b cos2x , a b =2cosx ;(2)2f x a b 2 a b =cos2x 2 2cosx=2cos x 4 cosx 12 cosx2 2 2 1cosx 0,1从而:当0时, f x min 1 与题意矛盾 ,

19、0 不合题意;当 0 1时, f x min 2 1 3,1 ;22 当 1时, f x min 1 43, 解得5 , 不满足min 2 81; 综合可得: 实数 的值为 1.22在 ABC中,已知 AB 2,3,AC 1,k ,且 ABC的一个内角为直角 ,求实数 k 的值.错误分析 : 是自以为是 ,凭直觉认为某个角度是直角 , 而忽视对诸情况的讨 论.答案: (1) 若 BAC 90 ,即 AB AC,2 故 AB AC 0, 从而 2 3k 0, 解得 k;3(2) 若 BCA 90 , 即 BC AC , 也 就 是 BC AC 0 , 而BC AC AB 1,k 3 , 故 1

20、k k 3 0 , 解 得3 13 k 3 213 ;(3) 若 ABC 90 , 即 BC AB , 也 就 是 BC AB 0, 而 11BC 1,k 3 ,故 2 3k 3 0,解得 k 11.3 综合上面讨论可知 , k2或k 3 13 或 k 11.3233已知向量 m=(1,1) ，向量 n 与向量 m夹角为 3 ，且 m n =-1 ，4(1) 求向量 n ；(2) 若向量 n与向量 q =(1,0) 的夹角为 ，向量 p =(cosA,2cos 2c )，其中 A、C为22ABC的内角，且 A、B、C依次成等差数列，试求 n + p 的取值范围。解：(1) 设 n =(x,y)

21、则由=3 得： cos= m n =x y =2得n q=0若n =(1,0) 则 n q=-1 0故 n (-1,0) n =(0,-1)2B=A+C，A+B+C= m n 4 m n m n 2 x2 y22由m n=-1 得 x+y=-1 联立两式得x0或y1x1y0n =(0,-1)或(-1,0)B=3C=23 A2cn + p =(cosA,2cos1)2c=(cosA,cosC) n + p = cos2 A cos2 C =1 cos2A 1 cos2C = cos2A cos2C 1cos2A cos( 2A)312cos2A 3cos2A sin2A2 2 1213 cos2

22、A sin2A2 2 12cos(2 A )3120A2302A432A 53 3 3 -1cos(2A+ )042当 m0时， 2mcos2 0，即 f( a b )f( c d )当 m0时， 2mcos2 0，即 f( a b )f( c d )5已知 A、 B、 C为 ABC的内角，且 f(A 、B)=sin 22A+cos22B- 3 sin2A-cos2B+2(1) 当 f(A 、B) 取最小值时，求 C(2) 当 A+B= 时，将函数 f(A 、B)按向量 p 平移后得到函数 f(A)=2cos2A 求 p 2解： (1) f(A 、B)=(sin 22A- 3 sin2A+ 3

23、 )+(cos 22B-cos2B+1 )+1 44=(sin2A-3 ) 2+(sin2B- 1 ) 2+122当 sin2A= 3 ,sin2B= 1 时取得最小值，22A=30 或 60 ，2B=60 或 120 C=180 -B-A=120 或 90(2) f(A、B)=sin 22A+cos22( 2 A)- 3sin2A cos2(2 A) 2sin2 2A cos2 2A 3sin2A cos2A 22 cos(2 A ) 3 2cos(2A 3) 333p =( 2k ,3)36已知向量 a (mx2, 1),b ( 1 , x)(m为常数)，且 a, b 不共线，若向量 a, b mx 1的夹角落 为锐角，求实数 x 的取值范围 .解：要满足 为锐角只须 a b 0 且 a b ( R )2mxa b = xmx 122 = mx mx xmx 1mx 1x (mx-1) 0 当 m 0 时1x0 或 x m2m0时x ( -mx+1) 0x