常微分方程课程考试A卷

1、中国海洋大学 2008-2009 学年第一学期期末考试试卷学院常微分方程课程试题 (A 卷 )共 页 第 1 页考试说明 ：本课程为闭卷考试，可携带计算器、圆规、直尺、半圆仪文具，满分为：臣存高 师教课授题号一二三四五总分得分100 分.名姓订装-订 装 号学 级60 学科算计与息信 级年业专选2、方程 M (x,y)dx N(x,y)dy 0有只与y 有关的积分因子的充要条件为下面哪一个() (A)1M (N ) (y) ；(B)1(M (Nx ) (y)；NyxMyx(C)1M (N) (y) ；(D)NM (N ) (y).NyxMyx一、选择题(本题共 10 分)1、微分方程 dy f

2、 (x,y) 的( ) 称之为微分方程的积分曲线 dx(A) 斜率 f (x, y)； (B) 解曲线 y ( x) ； (C) y的微分 f(x,y)dx； (D)(A)(B)(C) 都不对3、对于一阶微分方程 dy f(x,y)，R= x x0 a， y y0 b作皮卡序列 dx0(x) y0x,n(x) y0 x f (x, n 1(x)dx,(x0, y0) R决定 n(x) 一致收敛的条件是 ( )(A) f(x,y)在R上连续； (B) f(x,y)在R上关于 y 满足李普希茨条件；(C) f(x,y)在R上关于 x 满足李普希茨条件； (D) f(x,y)在R上关于 y 连续42

3、 d x d x4、方程4 2 2 x 0 的通解为().dt 4 dt 2t 2t(A) x (c1 c2t)et (c3 c4t)e2t ；t 2t( B ) x c1e c2e ；(C) x (c1 c2t) cost (c3 c4t)sint ；(D) x c1 cost c2 sint5、给定常系数线性微分方程组 x Ax ，如果 A 的特征值的实部都是负的，则它的 任一解当 t 时，都趋于( )(A) 零； (B) 一个固定的常数； (C) 无穷大； (D) 保持有界二、判断题(本题共 10 分)1、形式为 y(n) f(x,y,y, , y(n) )的方程称为 n阶常微分方程 (

4、 )2、方程 dy f( a1x b1y c1 )可化为变量分离方程 ( )dxa2x b2 y c23、若函数 f (x,y)在区间 R: x x0 a， y y0 b上关 y偏导数 fy (x,y) 连续，则 f (x, y)在 R上必关于 y 满足李普希茨条件 .( )4、若函数 x1(t), ,xn(t) 在区间 a t b上线性相关，则在 a t b上它们的伏朗 斯基行列式恒等于零 ( )5、方程组 x A(t)x 一定存在 n个线性无关的解 ( )三、填空题(本题共 10 分)1、如果函数 y ( x)代入方程 F (x, y, y, ,y(n) 0后，能使它变为恒等式 ( ) ，

5、则称 ( ) 为方程 F(x,y,y, ,y(n) 0的解2、形如 () 的方程称为齐次方程，其中( )函数 3、方程 dy2y x 的解的存在且唯一的区域为( ) .dxd3x4、方程 d 3x x 0 的通解为()dt35、 x A(t )x 的()称为 x A(t )x的一个基本解组 . 显然， x A(t)x 具有( )个不同的基本解组四、简答题(本题共 40 分)31、求方程 (x3 2y)dx (x 1)dy 0 的积分因子，并求解方程2、已知 f(x,y)在R: x x0 a, y y0 b(a 0,b 0)上连续，且关于 y 满足李y0 , n 0 普希兹条件又 yn (x)x

6、n y0 x f(t,yn 1(t)dt, n 1,2,3,当 x x0 h时 yn(x) 连续求证： yn(x) 在 x x0 h上一致收敛3、求方程 y y 2y cos2x的通解 .4、设 x1(t),x2(t), ,xn 1(t)是方程 x A(t)x f(t) 的n 1个线性无关解，其中，f (t) 0，求证方程组的任何解 x(t) 恒可表示成x(t) a1x1(t) a2x2(t)an 1xn 1(t)其中 a1,a2, ,an 1是常数，且满足关系式a1 a2an 1 1 反之，满足式的函数也必是方程组的解五、综合题(本题共 30 分)1火车沿水平的道路运动，火车的重量是p ，机车的牵引力是 F，运动时的阻力a bv ，其中 a , b是常数，而 v 是火车的速度； s 是走过的路程试确定火车的 运动规律，设 t 0时， s