圆锥曲线最值问题

1、高考中圆锥曲线最值问题求解方法圆锥曲线最值问题是高考中的一类常见问题，体现了圆锥曲线与三角、函数、不等式、方程、平面向量等代数知识之间的横向联系。解此类问题与解代数中的最值问题方法类似，由于圆锥曲线的最值问题与曲线有关，所以利用曲线性质求解是其特有的方法。下面介绍几种常见求解方法。主要类型：（1）两条线段最值问题。（2）圆锥曲线上点到某条直线的距 离的最值。（3）圆锥曲线上点到x轴（y轴）上某定点的距离的最值。（4）求几何 图形面积的最值等。一、定义法根据圆锥曲线的定义，把所求的最值转化为平面上两点之间的距离、点线之间的距离等, 这是求圆锥曲线最值问题的基本方法。有些问题先利用圆锥曲线定义或性

2、质给出关系式，再 利用几何或代数法求最值，可使题目中数量关系更直观，解法更简捷。例1、已知抛物线寸 4x，定点A（3,1），F是抛物线的焦点，在抛物线上求一点P,使 |AP|+|PF|取最小值，并求的最小值分析：由点A引准线的垂线，垂足 Q贝U |AP|+|PF|=|AP|+|PQ|, 即为最小值。2解：如图，Q y 4x, p 2,焦点F（1,0）。 由点A引准线x= -1的垂线即为最小值垂足 Q,则 |AP|+|PF|=|AP|+|PQ|,y2 4x由y 1,得P（1）为所求点若另取一点 P ,显然 | AP | P F | | AP | P Q | | AP | PQ|点悟利用圆锥曲线性

3、质求最值是一种特殊方法。在利用时技巧性较强，但可以避繁就简，化难为易。又如已知圆锥曲线内一点 A与其上一动点P,求|AP| |PF-1的e最值时，常考虑圆锥曲线第二定义。2 2例2、已知点F是双曲线 乙 1的左焦点，定点 A( 1，4)，P是双曲线右支上动点，412贝V PF PA的最小值为 .解：PR PAPFi PF2 PA PF22a PA PF24 AF292 2例3、已知椭圆 上1的右焦点F,且有定点A(1,1),又点M是椭圆上一动点。问259|MA| |MF |是否有最值，若有，求出最值并指出点M的坐标例4、已知P点为抛物线y2 4x上的点，那么P点到点Q(2, 1)的距离与P点到

4、抛物线焦点的距离之和的最小值为_ ，此时P点坐标为 _二、参数法利用椭圆、双曲线参数方程转化为三角函数问题，或利用直线、抛物线参数方程转化为函数问题求解。2 2例1椭圆2 占 1的切线 与两坐标轴分别交于 A, B两点，求三角形OAB的最小面 a2 b2积。x a cos分析；写出椭圆参数方程 y bsin ，设切点为P(acos ,asin )，可得切线方程。cossin解：设切点为P(acos , asin ), 则切线方程为xy 1 .abab令y=0,得切线与x轴交点A( ,0);令x 0,得切线与y轴交点B(0,)1 , ab , , ab ,S aob |OA| |OB|=| |

5、I ab.Smin ab.2 2sin cos sin 2点悟利用圆锥曲线参数方程转化为求三角函数的最值问题，再利用三角函数的有 界性得出结果。三、二次函数法函数法就是把所求最值的目标表示为关于某个变量的函数，通过研究这个函数求最值，是求各类最值最为普遍的方法 (关键：建立函数关系式，注意变量的定义域)。例1、过动直线x 2y p与定直线2x y a的交点(其中 p (0,3a)的等轴双曲线系2 2x y 中，当p为何值时，达到最大值与最小值？分析：求出交点坐标代入双曲线 ，可得 的二次函数表达式，再利用函数方法求解。x y a解：由x2yp，得 交点Q(丄兰，至工)，将交点Q坐标代入双曲线x

6、 2y P55x22/ py - (2a)2(2p a)21 2= 25( 3p2 8ap3a2)551 r4a、225a：厂3(p)2 P(0,3 a25334a1 2 4a4a 5a,4a ,5aJ p,max-a2,又0 p3a,pJI pI3333333当 p=3a 时，min 0.点悟把所求的最值表示为函数，再寻求函数在给定区间上的最值，但要注意函数的定义域。2 2例2、点A,B分别是椭圆 y 1的长轴的左右端点，F为右焦点，P在椭圆上，位于x轴3620的上方，且PA PF若M为椭圆长轴 AB上一点，M至煩线AP的距离等于| MB |.求椭圆上点到点M的距离的最小值分析：把所求距离表

7、示为椭圆上点的横坐标的函数，然后求这个函数的最小值。解：由已知可得点 A( 6,0)、F(4,0),设点P(x,y)，贝U0uiruirAP (x 6,y), FP(x 4, y) , AFFP6)( x 4)2仝1(xx2Q由6( 1) ( 2)L (1)3 Lx( 2)25、. 3 AP的方程为x ,3y 6 0设M （m,0），则点M到直线AP的距离dm 66 m m 2 2设椭圆上点（心yo）到M距离为d则d2 (X。2)2 yo25 2x 4xo 4 20 9x049 2 (x。)2 15 Q 6 x0 692当 x 9 时，dmax 152四、几何法将圆锥曲线问题转化为平面几何问题

8、，再利用平面几何知识，如对称点、三角形三边关 系、平行间距离（切线法：当所求的最值是圆锥曲线上点到某条直线的距离的最值时，可以 通过作与这条直线平行的圆锥曲线的切线，则两平行线间的距离就是所求的最值，切点就是 曲线上去的最值时的点。）等求解。2 2例1、已知椭圆 x y 1和直线l :x y 9 0，在I上取一点M ，经过点M且以123椭圆的焦点F1,F2为焦点作椭圆，求M在何处时所作椭圆的长轴最短，并求此椭圆方程2 2 2a 45, c 9, b 36所求椭圆方程为2 2x y45361.分析；设F1是F1关于I对称点，可求出F1坐标，过F1 F2的直线方程与x y 90联立得交点 M为所求

9、。2 2解：由椭圆方程 y 1 ，得F( 3,0)i,F2(3,0),设F,是Fi关于I对称点123可求出片坐标为(-9,6)过F1 F2的直线方程：x+2y-3=0与x-y+9=0联立，得交点M(-5,4)，即过M的椭圆长轴最短。由 IMF |MF2 | 2a,得 2a 6 .5 ,点悟:在求圆锥曲线最值问题中，如果用代数方法求解比较复杂，可考虑用几何 知识求解，其中“三角形两边之和大于第三边”是求最值常用的定理。同时，利用平 几知识求解，蕴涵了数形结合的思想。五、不等式法基本不等式法先将所求最值的量用变量表示出来，再利用均值不等式“等号成立”的条件求解。这种方法是求圆锥曲线中最值问题应用最

10、为广泛的一种方法例5、过椭圆2x2寸 2的焦点的直线交椭圆 A,B两点，求 AOB面积的最大值。分析：由过椭圆焦点，写出直线AB方程为y=kx+1，与椭圆方程联立，消去 y，得关于x的一元二次方程，巧妙的利用根与系数的关系，可以起到避繁就简的效果。解：椭圆焦点(0, 1)，设过焦点(0,1)，直线方程为y kx 1与2x2 y2 2联立， 消去y,得(2 k2)x2 2kx 1 0，其中两根x1,x2为A, B横坐标。将三角形AOB看作 AOF与 BOF组合而成，|OF |是公共边，它们在公共边上的冋长为 | x1x2 | . S AOBt|OF | |X1 X2 |,其中 |OF I c 1

11、2S AOB 二 1 X1 X221 21 4k2 4(2 k2)(2 k2)2即当直线为 y 1时,孑当k21 4即k 0时，取等号，得到 AOB的面积最大值为例2、设椭圆中心在坐标原点A(2,0), B(0,1)是它的两个顶点，直线y kx (k 0)与椭圆交于E,F两点，求四边形 AEBF面积的最大值.x2依题意设得椭圆标准方程为4直线AB EF的方程分别为x 2y 0kx (k 0)设 E(X|, kxj F(x2, kx2)(XiX2)2X 2.7 y 1 y kxXi2：n7，X2_2_1 4k2|=2 ,(捲 X2)4X1X2 = 2根据点到直线距离公式及上式，点E F到AB的距离分别为hix-i 2kx-i 22(1 2k 1 4k2)h2x2 2kx2255(1 4k2)2(1 2k .1 4k2),5(1 4k2)1四边形 AFBE的面积为 s -|AB (h1 h2)1g辰尹坐弹竺25(1 4k2). (1 4k2)(1 2k)21 4k221 4k 4k1 4k22