微分几何陈维桓习题答案2

1、p. 58 习题 3.12. 在球面 S2 ( x,y,z)|x2 y2 平面上的任意一点 p (u, v,0) ， 唯一的交点，记为 p .习题答案 22z2 1 上，命 N (0,0,1) ， S (0,0, 1). 对于赤道 可以作为一的一条直线经过 N,p 两点，它与球面有(1) 证明：点 p 的坐标是2u x22 u v 1 并且它给出了球面上去掉北极 N 的剩余部分的正则参数表示；2v22uv122uv12 2 ，uv1(2)求球面上去掉南极 S 的剩余部分的类似的正则参数表示；(3)求上面两种正则参数表示在公共部分的参数变换；(4)证明球面是可定向曲面 .uuuv证明 . (1)

2、 设 rv(u,v) Op由于 Ouupuv得 t 2/(uuuuv 2uuvON ， Op1). 从而. 如图， N, p,p 三点共线，故有 t R使得 uuuvOp2 vuuvtOp (1 uuuv uuuv Op ONuuuvt)ON0，t(1)0 ，取上式两边的模长平方，(x,y,z)uuuvOp222uv2u22uv1(u,v,0)12v22uv12u2u2u2uv2 12 (0,0,1) v12v2 1 ，(u,v) R2 .(2)v1由(1)可知又 dtt2(uduv uuuv r Op vdv) ，所以uuuvtNpuuuvON t(u,v, 1) (0,0,1)(tu,tv

3、,1 t) ，v 2 v 2 ru t2u(u,v, 1) t(1,0,0) ， rvt2v(u,v,v v 3 3 2 rvu rvvt3u(1,0,u) t3v(0,1,v) t2 (0,0,1)2 2 2 2t2 (tu,tv,t(u2 v2) 1) t2 ( tu, tv,1 因此 rv rv(u,v)给出了 S2 N 的正则参数表示 .(2)令q1) t(0,1,0) ，t)t2rv 0v.(3). 同理，有222 v 2 1)，2v，(u,v)1t (0,1,0) ，(u,v,0) 是S,p 两点连线与赤道平面的交点 uuuv uuv Op tOq (1 uuuv(x,y,z) O

4、puuuvt )OS (t u,t v,t 1)， t 2u , 2v,1u2 v2 1,u2 v2 1,u2 2 v 2 rut2u(u,v,1) t (1,0,0) ，rvvt 2v(u,v,1)v v3 3 2rvu rvvt 3u( 1,0,u) t 3v(0, 1,v) t 2(0,0,1)t 2(t u,t v,1 t(u2 因此 (4)给出了 S2 S 的正则参数表示(3) 由(2) 和(4)式可得 (u2 v2)(u2 部分 S2 N,S 上的参数变换公式为由(3)和(5)可知(u,v) (u,v)v2)2v)u22uv2/(u2u2vR2.(4)2t 2(t u,t v,t1

5、) t 2rv 0v.(5)1，从而上面两种正则参数表示在公共v2 2 .uv(6)t2t2所以参数变换是可允许的，并且是改变定向的参数变换22 (u v22 (u v1)222 1 2 2 0.2 2 2 21)2(u2 v2)2注. 如果采用复坐标，令 z u iv,w u iv ，则上面的参数变换可写成 w 1/z. 这就是广义复平面上的共形变换 .(4) 在S2 N 上采用(1)式给出的正则参数表示，在S2 S 上采用正则参数表示 v 2u% 2v% 1 u%2 v%2 r (u%, v%)u%2 v%2 1 u%2 v%2 则在公共部分的参数变换公式为1 u%2 v%2 1u% 2

6、u 2 ， v% uv 由于 S2 N,S2 S 构成 S2的开覆盖，并且v2 2 .uv(4)所以 S2 是可定向的 .25 写出单叶双曲面 x2ab2程.v2u22uv(u2v2)2(u2 v2 )22uvv2 u2(u2v2)2(u2 v2 )2(u2(u%,v%)(u,v)z2 1 和双曲抛物面 c解. (1) 对单叶双曲面，取腰椭圆va(u) (acosu,bsinu,0) ，122v2)20，22z ax2au (0,2y2 作为直纹面的参数方 b为准线 . 设直母线的方向向量为 lv(u) aX(u),bY(u),cZ(u) . 则直纹面的参数方程 为v v vr(u,v) a(

7、u) vl (u) a(cosu vX (u), b(sin u vY(u),cvZ(u) .由于 rv(u,v) 的分量满足单叶双曲面的方程，可得2 2 2(cosu vX(u)2 (sinu vY(u)2 (vZ(u)2 1， v R .由 v 得任意性得到cosuX(u) sin uY (u) 0， X2(u) Y2(u) Z2(u).v因此 X(u):Y(u): Z(u) sinu:cosu: 1. 取l (u) asinu,bcosu,c 得rv(u,v) a(cosu v sin u ), b(sin u vcosu),cv ， (u,v) (0,2 ) R.(2) 对双曲抛物面，

8、 令 x a(u v)，y b(u v)，则 z 2uv. 曲面的参数方程为 rv(u,v) a(u v),b(u v ),2 uv2(au ,bu,0) v(a, b,2u) (av, bv,0) u(a,b,2v) ，(u,v) R2.p. 94 习题 3.21. 证明：一个正则参数曲面 S 是球面 它的所有法线都经过一个固定点 . 证明. “ ”设 S是球面，参数方程为 rv(u,v)，球心为 av，半径为 R. 则有22(r(u,v) a)2 R2 ， u,v D .(1)微分可得v v v v v v ru(r a) 0， rv(r a) 0.(2)所以 (rv av) / rvur

9、vv ，从而 rv avrvu rvv ，即有函数(u,v)使得av rv(u,v) (u,v)rvu(u,v) rvv(u,v) .(3)这说明球心 av 在它的所有法线上“ ” 设S的所有法线都经过一个固定点 av. 则有函数 (u,v) 使得(3)式成 立，即有 rv av rvu rvv. 分别用 rvu ,rvv 作内积，可得(2). 这说明 d(rv av)2 0 ，从而(1) 式成立，其中 R 0(否则 S只是一个点，不是正则曲面 )是常数. 因此 S是以av为球心， 以 R 为半径的球面，或球面的一部分 . 3. 证明：一个正则参数曲面 S 是旋转面 它的所有法线都与一条固定直

10、线相交 .证明. “ ”设 S是旋转面，旋转轴 L 为 z轴. 它的参数方程为rv(u,v) f (v)cos u, f(v)sinu,g(v) ，(f (v) 0).因为 rvu f (v) sin u,cosu,0 ，rvv f (v)cos u, f (v)sin u,g (v) ，rvu rvv f (v) g (v)cosu,g (v)sin u, f (v) ，所以 S上任意一点 rv(u,v)处u的uv法线 N 的参数方程为X(t) rv(u,v) trvu(u,v) rvv(u,v) .uv v由于 z轴的参数方程为 Y(s) s(0,0,1) sk ，并且f (v)cosug

11、 (v)cosu 0 所以 L 与 N 共面 . 如果 L 与 N 处处平行， 则 (rvu g(v) c. 所以当 S不是垂直于 z 轴的平面时，旋转面 S的所有法线都与rv,rvu rvv,kvf (v)f (v)sin ug (v)sin u0rvv )/ k ，从而g(v)f (v)1g (v) 0. 此时 S是垂直于 z0，轴的平面 z z 轴相交 .通过选取坐标系，不妨设固定直线为 z轴. 设 S的参数方程为 vr(u,v) (x(u,v), y(u,v),z(u,v) ，(u,v) D .由条件， S的所有法线都与 z轴相交，所以法线不能与 z 轴平行，即(y,z), (x,z)

12、, (x,y)(u,v) (u,v) (u,v)(x,z)(u,v)/ (0,0,1) ， (u0,v0) D . (u0 ,v0)因此 (uy,vz)(u0,v0 )不能全为零 .(u0,v0 )不妨设在 (u0,v0)点邻近 (y,z)(u,v)0. 通过参数变换，曲面的参数方程可以写成rv(u,v)(x(u,v),u,v)， (u,v) D .(1)于是rvu xu ,1,0 ， 因为所有法线都与 z 轴相交， 仅仅依赖于 v 的函数 . 设r,ruxv,0,1 ， ru rv 1, xu, xv . rvv,k 0，即有 xxu u 0. 这说明u2是一个其中 f (v) 0. 作参数

13、变换 u 程(1)可以改写为22 xu f (v)cos ,vf 2(v) ，v . 由上式得 x f (v)sin， S 的参数方这是一个旋转面，由rv( ,v) ( f (v)sin yOz 平面上的母线 y, f (v)cos ,v) .f (z) 绕 z 轴旋转而得 .5. 设 S是圆锥面 rv将曲线 C 的切向量用 rvu ,rvv的线性组合表示出来； 证明： C 的切向量平分了 rvu 和 rvv 的夹角 .(v cosu,v sin u, v) ，C :u 2t,v et 是 S上的一条曲线 .(1)(2)(1) 解. C 的参数方程为rv et cos( 2t ), et si

14、n( 2t),et e cos( 2t),sin( 2t),1 C 的切向量为rv e cos( 2t),sin( 2t),1 2e sin( 2t),cos ( 2t),0 2rvu ( 2t,et) et rvv ( 2t,et).(2) 证明 . 因为vv ru ( v sin u,v cosu,0), rv (cosu,sin u,1) ， 在曲线 C 上每一点 t处，rvu( 2t,e ) e sin( 2t ),cos( 2t),0 ， rvv( 2t,e ) cos( 2t),sin( 2t),1 由上可知 rv 2et . 所以cos (r ,ru )cos (r,rv) rv

15、 rvvrv rvu2et2et 22e2t2e2t1，2，vv(rv , rvu )1，2，vv(rv,rvv)(rv,rvu). p. 104 习题 3.32. 设球面的参数方程是2au 2av2 2 2 , 2 2 2u v a u v a222uva222 uva求它的第一基本形式解. 记t 2/(u2 v2 a2). 则 v2 r at(u,v, a) (0,0,1) ，tuut2 ，tvvv ru atu(u,v, a) at(1,0,0) ， rv atv(u,v, a)所以vt2， at(0,1,0) .Ev ru2 2 2 22 a2tu2(u22 va2)22a2ttuua

16、2t2a2t2v F ruv rva2tutv(u22 va2)2a ttuv a2ttvu0，Gv rv2 2 2 22 a2tv2(u22 va2)2a2ttvva2t2a2t2(u24a22 2 2 v a )4a22 2 2 2(u v a )从而22I Edu2 Gdv2(u24a22 2 2 v a )(du2dv2) .5. 设在曲面上一点 (u,v)，由微分 du,dv 的二次方程P(u,v)du2 2Q(u,v)dudv R(u,v)dv 2 0 (1) 确定了在该点的两个切方向 . 证明：这两个切方向彼此正交 函数 P,Q,R 满足 ER 2FQ GP 0 ，其中 E,F,

17、G 是曲面的第一基本形式 .证明. 由条件，二次方程 (1)有两个互异的实根 du:dv和 u: v ，因此可以分解 为两个一次因子的乘积：22Pdu2 2Qdudv Rdv2 (A1du B1dv)( A2du B2dv).(2)其中 A1,B1,A2,B2是关于变量 (u,v)的函数 . 因为上式是关于文字 du,dv的二次多项 式，比较两边的系数，得P A1 A2 ， 2Q A1B2 A2B1 ， R B1B2 .(3)由(2)可知(1)所确定两个切方向为du:dvB1 : A1， u: v B2 :A2 .(4)这两个切方向彼此正交(由(4)式)(由(3)式)Edu u F(du v

18、dv u) Gdv v 0 (课本 (3.18)EB1B2 F(B1A2 A1B2 ) GA1A2 0ER 2FQ GP 0.8. 已知曲面的第一基本形式为 I du2 (u2 a2)dv2.(1) 求曲线 C1:u v 0与C2 :u v 0的交角；(2) 求曲线 C1:u av2，C2 :u av2和C3:v 1所围成的曲边三角形的各个边长 和各个内角 .(3) 求曲线 C1 :u av ，C2 :uav和C3:v 1所围成的曲边三角形的面积解. (1) 已知 E 1,F 0,G u2对于C1， du dv；对于 C2， ua2 . 因为交点为 (u,v) (0,0) . 在交点处 G a

19、2. v. 所以它们的切方向 drv, rv 满足cos (drv, rv)drv rv drv rvdu u a2dv v2 2 2 2 2 2 du a dv u a v1 a2 .1 a2 .于是它们的交角为1 arccos12a2aarccos 2a2 1(2) 不妨设常数 a 0. 如图，在曲纹坐标下， C1与C2的交点为 O(0,0) ，C1与C3 的交点为 A( a,1) ， C2与C3的交点为 B( a,1).因为是计算内角，在O点 du2avdv0, dv 0. 同理，u 0, v 0 ，所以内角 O 0.在 A 点 du2avdv2adv 0 ，u 0,v 0 ，所以cos

20、 Adrv rvdu u2.drv rvdu2(u2 a2 )dv2 u26.在B 点 du2avdv2adv0 ， u0, v 0 ，cos Bdrv rvdu u2.drv rvdu2(u2 a2 )dv2 u26.所以 O0 ， AB arccos 2/3曲线 C1，C2，C3 的弧长分别为注.L(C1)(3)p. 110L(C1) C du2L(C3)在 90 版中，本题为C1du因为 dd AOB1a2a2 lnvln习题 3.4(u2 a2)dv2C3 duC1 : u(u2 a 2 )dv2a 4v0v41dv L(C2) ，(u2 a2)dv2a2a2 v ， C2 :u1a

21、0 v2 41 v4 1dvL(C3) C du2 (u2 a2)dv2C3adua2a.a22 v ，1a2 (220a/2du a/ 2C3 : v 1v2)dva.，故76 a L(C2)，u2 a2 dudv ，所以曲边三角形的面积1 av 20 av u21 (au )21 v22 1 ava dudv 2 u00avdv0u a21 v2222 a2 dudvu21ln v0v 1 v2 dv13 1v23/ 2a2 ln122231. 设空间曲线 rv rv(s)以弧长 s为参数，曲率是 使得相应的参数曲线构成正交曲线网 .写出它的切线曲面的参数方程，解. 设曲线 rv(s) 的

22、 Frenet 标架是 rv; v, v,vuv v v R(s,t) r(s) t (s).uv vRt v 可得它的第一基本形式I (1 t2 2(s)ds2 2dsdt dt 2. 0 的正交轨线的微分方程为 则逆变换为 s u ， uv R(u,v)由 uRvs v t v ，直母线 (即 t-曲线 ) 变换 u s， v sst.tv v r(u)则它的切线曲面参数方程可写为(1) ds dt 0，即 d(s t) 0 . 为此，作参数 u ，切线曲面的参数方程为(v u) v(u).在新参数下，uv vRu (u,v) v(u)第一基本形式化为v(u)(vu)v(u)(u) (v

23、u) (u) v(u) ，uRvv(u,v) v(u).所以参数曲线构成正交曲线网I 1 (v u)2 2(v也可将 s(u)du2 2du(dv du) (dvu)22(u)du2u， t vdv2.u 直接代入 (1) 式得到上式：2 2 2 2 2du)2 (v u)2 2(u)du2 dv2 .3. 求曲线 rv (vcosu k sin u, v sin u k cosu, ku)的参数曲线的正交轨线， 其中 k 0是 常数.解. rvu ( vsinu k cosu, v cosu ksinu,k)， rvv (cosu,sin u,0) . 第一基本形式为2 2 2 2I (v2

24、 2k2)du2 kdudv dv2.u-曲线 v 0的正交轨线的微分方程为 Edu Fdv 0 ，即 (v2 2k2)du kdv 0.解这个微分方程：kdv 1 1 v 1 vdu 2 2 2 d d arctan ，v2 2k22 v2k 2 1 2k 2 2k得到 u -曲线的过 (u0,v0) 的正交轨线为v 2ktan 2(u u0) v0 .v-曲线 u 0的正交轨线的微分方程为 Fdu Gdv 0 ，即kdu dv. 过 (u0,v0)的 正交轨线为 v k(u u0) v0 .p. 110 习题 3.5 1. 证明：在悬链面vr (acoshtcos ,a cosht sin

25、 ,at) ，(t, ) R (0,2 ) 与正螺面vr (vcosu,vsinu,au)， (u,v) (0,2 ) R 之间存在保长对应 .证明 . 悬链面的第一基本形式为I1 a2 (sinh tcos dt cosht sin d )2a2 cosh2 t( dt2 d 2).正螺面的第一基本形式为I 2 ( v sin udu cosudv)2 (vcosudu2dv .2 2 .v2 2 2(a2 v2) du2对正螺面作参数变换， 令 u,v asinh t .(sinh t sinsinudv)2则 (u,v)(t, )dtcosht cos d )2 dt2 a2du2 (a

26、2 v2)du2 dv2a cosh t 0 ，参数变换是可允许的 . 由于du d , dv正螺面的第一基本形式化为a coshtdta1sinh2 tdta2v2dt，dv22 av根据定理 5.3 ，在悬链面与正螺面之间存在保长对应 u ,v a sinh t .I2 (a2 v2) du2a2 cosh2 t(d 2dt2) I1. 对应关系式为p. 110 习题 3.5 1. 判断下列曲面中哪些是可展曲面？说明理由 .(1) rv u2 v3,2u3 uv,u4 2u32v ；(2) rv cosv (u v)sin v,sin v (u v)cosv,u 2v ；(3) rv a(

27、u v),b(u v),2 uv ； (4) rv u cosv, u sin v,sin 2v解. (1) rv u2,2u3,u4 v3 1,3u,2u2 av(u) 6vu av ( u) .所以它是可展曲面，因为它是正则曲线 av(u) u2,2u3,u4 (u 0 )的切线面 .(2) rv cosv,sin v, v (u v) sin v,cos v,1 av(v) uav(v)， 其中 av(v) cosv,sin v,v 是圆柱螺线， u u v. 所以它是可展曲面 .(3) 令 vv a(u) au,bu,0 ， l (u) a, b,2u .则 rv av(u) vl (

28、u) ，直接计算得 av(u),lv(u),lv(u)2ab.当ab 0时，它是马鞍面， av(u),lv(u),lv(u) 0，所以不是可展曲面 . 当a 0或 b 0时，它是平面，所以是可展曲面 .当a 0且 b 0时，它不是正则曲面 .v v v v v(4) 令 a(v) 0,0,sin 2v ，l (v) cosv,sin v,0 . 则 r a(v) ul (v). 由于 av , lv, lv 2cos2v 0， 它不是可展曲面 . 32. 考虑双参数直线族 x uz v ， y vz u ，其中 u,v 是直线族的参数 . 3(1) 求参数 u 和v之间的关系，使得由此得到的单参数直线族是一个可展曲面的直母 线族；(2) 确定相应的可展曲面的类型 .解. (1) 对于固定的参数 u,v ，该双参数直线族中的一条直线 L(u, v)可以写成点 向式：L(u,v): x v y (u /3) z.u v 1设所求的函数关系为 vf (u).