归纳综合数列知识点归纳

1、第二 章 数 列 （ 复 习 1）一 、 等差数列知识点1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2 项起， 那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，公差通常用字母 d 表示。用递推公式表 示为 an an 1 d（n 2）或an 1 an d（n 1）。2、等差数列的通项公式： an a1 （n 1）d ；说明：等差数列 的单调性： 为数列当 为常数列， 为递减数列。3、等差中项的概念：定义：如果 a， A ， b成等差数列，那么 A叫做 a与b的等差 其中 Aa， A，b 成等差数列。4、等差数列的前 n 和的求和公式：。5、等差数列的性质：（1）在等差数列 an 中，从第 2

2、 项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（ 2）在等差数列 an 中，相隔等距离的项组成的数列是 AP ，如： a1， a3 ， a5 ， a7 ，； a3， a8 ， a13 ， a18 ，；（3）在等差数列 an 中，对任意 m，n N ，an， d （m n）；（2）Sn最值的求法：若已知 Sn ，可用二次函数最值的求法（ n N ）；若已知 an ，则 Sn 最 值时 n 的值（ n N ）可如下确定 an 0 或 an 0 。an 1 0 an 1 0变式训练1， 根据各题的条件，求等差数列an 的前 n项和 Sn ，（1） a1 2,d 5,n 10（ 2） a12,an 6,n 1

3、23) a102,d 5,n 82. 在 1 和 15 之间插入 25 个数，使得所得到的的 27 个数成等差数列。求插入的 25 个数的和 ?3,等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，已知 S9 0,S10 0 ，则此等差数列的前 n 项和中， n 是多少的（4）在等差数列 an 中，若 m，n， p，q N 且 m n p q，则 说明：设数列 an 是等差数列，且公差为 d ，）若项数为偶数，设共有2n项，则 S奇 S偶 nd ； S奇an ；S偶an 1）若项数为奇数，设共有2n 1项，则 S 偶 S 奇 an a中 ；S奇nS偶 n 16、数列最值（1） a1 0，d 0时， S

4、n有最大值； a1 0， d 0时， Sn有最小值；时取最小值？4设数列 an 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是4，在等差数列 an 中，已知 a3 a11 6, 求 S13 =？5（06 全国 II）设 Sn 是等差数列an的前 n 项和，若 S3S613，则 SS162 3（02 京）若一个等差数列前 3 项的和为 34，最后 3 项的和为 146，且所有项的和为 390，则这个 数列有 项5，已知 f（x） x 1 x 2 x 3 x 20,x N 且1 x 20（1）分别计算 f （1）, f （5）, f（20）（ 2）当 x 为何值时， f （x）

5、取得最小值？最小值是多少？6（00 全国）设 an为等差数列， Sn为数列 an的前 n 项和，已知 S77，S1575，Tn为数列 S n 的前 n 项和，求 Tn 。n7（02 上海）设 an（nN*）是等差数列， Sn是其前 n 项的和，且 S5 S8，则下列结论错误的是（）A.d S5 D.S6与 S7均为 Sn 的最大值8（94 全国）等差数列 an的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，则它的前 3m项和为巩固提高1（01天津理， 2）设 Sn是数列 an的前 n项和，且 Sn=n2，则 an是数列2设an是公差为正数的等差数列，若a1a2a315，a1a2a380，则

6、a11a12a13二、等比数列知识清单1等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起 ，数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫 ；公比通常用字母 q表示 （q 0） ， 即： an 1： an q（q 0）数列（注意： “从第二项起” 、“常数” q 、等比数列的公比和项都不为零）2等比数列通项公式为： an a1 qn 1（a1 q 0） 。说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比q 1 时该数列既是等比数列也是等差数列；2）等比数列的通项公式知：若an 为等比数列，则ammn173）已知 q ，s5 3 ，求a1与a4284）已知a34，a4 6，求 q与S5an3等比中项如果在

7、 a与b中间插入一个数 G，使 a,G, b成等比数列，那么 G叫做 a与b的（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项） 。4等比数列前 n 项和公式一般地，设等比数列 a1, a2 , a3, ,an , 的前 n 项和是 Sn a1 a2 a3an ，当 q 1时， 或；当 q=1 时， Sn na1 （错位相减法） 。说明：（ 1） a1,q,n,Sn和 a1,an,q,Sn 各已知三个可求第四个； （2）注意求和公式中是 qn ，通项公式中是 qn 1 不要混淆； （ 3）应用求和公式时 q 1，必要时应讨论 q 1的情况。5等比数列的性质等比数列任意两项间的关系： 如果 an是等比

8、数列的第 n项， am是等差数列的第 m项，且 m n， 公比为 q ，则有 an；2，三个数成等比，它们的和是14，它们的积是 64.求这个数列？3, 三个不同数成等差数列，它们的和是6，如果将 3 这个 数重新排列，它们又成等比。求这个等差数列？4，等比数列 an 的公比为 q ，求证n(n 1)a1a2nan a1 q对于等比数列 an ，若 n m u v ，则若数列 an 是等比数列， Sn是其前 n项的和， k N*，那么 ， ， 成等比5，在数列 an 中。 Sn 1 4an 2且a1=1数列。（1）设bn an 1 2an,求证数列 bn 是等比数列 变式训练 1， 等比数列

9、an 中：1） 已知a1 1.5，a4 96，求q与Sn2）已知a1 2，S3 26，求 q与a34在等比数列 an 中, a1和a10是方程 2x2 5x 1 0的两个根 ,则 a4 a72）设cn a2nn ,求证数列 cn 是等差数列5. 在等比数列 an ，已知 a1 5， a9a10 100，求 a18 .6(2006年北京卷)设 f(n) 2 24 27 21023n 10(n N)，则 f(n)等于7在各项都为正数的等比数列 an 中，首项 a1 3，前三项和为 21， 则 a3 a4 a53）求数列 an 的通项公式及前 n 项和的公式？6 教材的 P55 页。自测与评估。巩固

10、提高1在等比数列 an 中,a7 12,q 3 2,则 a19 必修 5第 二 章 数 列 （ 复 习 3 ）2 2 3和2 3 的等比中项为3 在等比数列 an 中， a22， a5 54，求 a8，三、数列通项与求和知识清单、有关通项问题1数列求通项与和an= sn sn 1n2n1an 1 3Sn，n=1，2，3，求 a2，a3， a4 的值1）数列前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系式：s1（2）求通项常用方法 作新数列法。作等差数列与等比数列； 累差叠加法。最基本的形式是：an=（anan1）+（an1+an2）+ +（a2a1）+a1； 累商叠乘法。 倒序相加法 裂项求和 并项

11、求和 错项相消法对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前 n 项和，常用错项相消法。 an bn cn , 其中 bn 是等差数列， cn 是等比数列。课前预习n11已知数列 an 为等差数列，且公差不为 0，首项也不为 0，求和：。i 1 aiai 1S1（n 1）1、利用 an1 求通项 Sn Sn 1 （n 2）例：数列an的前 n项和 Sn n2 1（1）试写出数列的前 5 项；（2）数列 an是等差数列吗？（3）你能写出数列 an 的通项公式吗？变式题 1、设数列 an 的前 n项和为 Sn=2n2，求数列 an 的通项公式；变式题 2、数列 an 的前 n 项和为 Sn，

12、且 a1=1， 及数列 an 的通项公式2求 1 1 1 11212312341 2 3 n,(n N*)。nan，的前 n 项和。233设 a 为常数，求数列 a， 2a2， 3a3，4已知 a0,a1，数列an是首项为a，公比也为a 的等比数列，令bnanlgan（nN），求数列 bn 的前 n项和 Sn 。变 式 题 3 、（ 2005 山 东 卷 ） 已 知 数 列 an 的 首 项 a1 5, 前 n 项 和 为 Sn ， 且 Sn 1 2Sn n 5n（ N* ，）证明数列 an 1 是等比数列2、解方程求通项：例：在等差 数列 an 中，（1）已知 S8 48,S12 168,求

13、a1和d ；2)已知 a6 10,S5 5,求a8和 S8 ； 1典型例题(3) 已知 a3 a15 40,求S17 .2 n 1例：求和： Sn 1 2x 3x2nxn 1变式题 1、an 是首项 a1 1，公差 d 3的等差数列，如果 an 2005，则序号 n等于3、待定系数求通项：例： （2006 年福建卷） 已知数列 an 满足 a1 1 ,an 1 2an 1. 求数列 an 的通项公式；变式题 1、已知数列 an 4n 2和bnn21 ，设 cn an ，求数列 cn 的前 n项和 Tn4bn变式题 2、（ 2007全国 1文 21）设 an是等差数列， bn是各项都为正数的等比数列， 且a1 b1 1， a3 b5 21， a5 b3 13 （）求 an ，bn 的通项公式；a）求数列 n 的前 n 项和 Sn bnn、有关等差、等比数列性质问题例： 一个等比数列前 n项的和为 48，前 2 n项的和为 60，则前 3 n项的和为变式 1、一个等差数列前 n项的和为 48，前 2 n项的和为 60，则前 3 n项的和为。变式 2、等比数列 an 的各项为正数，且 a5a6 a4a7 18,则log3 a1 log 3 a2log3 a10例：（1）已知数列 an 的通项公式为1n(n 1)求前n 项的和；三、数列求和问题2）已