弹性力学基本概念和考点汇总情况

1、实用标准基本概念： （ 1） 面力、体力与应力、应变、位移的概念及正负号规定（ 2） 切应力互等定理：作用在两个互相垂直的面上， 并且垂直于改两面交线的切应力是互等的 （大 小相等，正负号也相同） 。（ 3） 弹性力学的基本假定：连续性、完全弹性、均匀性、各向同性和小变形。（ 4） 平面应力与平面应变；设有很薄的等厚度薄板， 只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面 力或约束。同时，体力也平行与板面并且不沿厚度方向变化。这时， z 0, zx 0, zy 0 ，由切应力互等， z 0, xz 0, yz 0 ，这样只剩下平行于 xy 面的三个平面应力分量， 即 x, y, xy yx ，所

2、以这种问题称为平面应力问题。设有很长的柱形体， 它的横截面不沿长度变化， 在柱面上受有平行于横截面 且不沿长度变化的面力或约束， 同时，体力也平行于横截面且不沿长度变化， 由 对称性可知， zx 0, zy 0 ，根据切应力互等， xz 0, yz 0 。由胡克定律， zx 0, zy 0，又由于 z 方向的位移 w 处处为零，即 z 0 。因此，只剩下平行 于 xy 面的三个应变分量， 即 x , y , xy ，所以这种问题习惯上称为平面应变问题。5） 一点的应力状态；过一个点所有平面上应力情况的集合，称为一点的应力状态。6） 圣维南原理；（提边界条件）如果把物体的一小部分边界上的面力，变

3、换为分布不同但静力等效的面力主失相同，主矩也相同） ，那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处文档实用标准所受到的影响可以忽略不计 （ 7） 轴对称； 在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束情况，以及所受的外力作用，都是 对称于某一轴（通过该轴的任一平面都是对称面） ，则所有的应力、变形和位移 也就对称于这一轴。这种问题称为空间轴对称问题。一、 平衡微分方程：x yx xyxy yxy（1） 平面问题的平衡微分方程；x0（记）y0（2） 平面问题的平衡微分方程（极坐标） ；1、平衡方程仅反映物体内部的平衡，当应力分量满足平衡方程，则物体内部是平衡的。2、平衡方程也反映了应力分量与体力（自

4、重或惯性力）的关系。二、几何方程；（1）平面问题的几何方程；uxxyv （记）yvuxyxy2） 平面问题的几何方程（极坐标）文档实用标准u12u 1 v12v u v121、几何方程反映了位移和应变之间的关系。2、当位移完全确定时，应变也确定；反之，当应变完全确定时，位移并不能确 定。（刚体位移）三、 物理方程；1）平面应力的物理方程；1 xEx （记）xy1 yE21xy2）平面应变的物理方程；1xE12y E y 121xy Exy1 G3） 极坐标的物理方程（平面应力） ；)2(1 )E4） 极坐标的物理方程（平面应变） ；文档实用标准1E2(1E2(2(1 )E四、边界条件；1) 几

5、何边界条件；平面问题：在 su 上；2) 应力边界条件；l平面问题：yxl xyx(记) fy3) 接触条件；光滑接触：为接触面的法线方向非光滑接触：n 为接触面的法线方向unun4)位移单值条件；u25)对称性条件：在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束情况，都是对称于某一轴(通过该轴的任一平面都是对称面)以及所受的外力作用，则所有的应力、变形和位移也就对称于这一轴。这种问题称为空间轴对称问题。概念1 弹性力学，也称弹性理论，是固体力学学科的一个分支 。文档实用标准2.固体力学包括理论力学、材料力学、结构力学、塑性力学、振动理论、断裂力学、复合材 料力学。3 基本任务：研究由于受外力、边界

6、约束或温度改变等原因，在弹性体内部所产生的应力、 形变和位移及其分布情况等。 .4 研究对象是完全弹性体，包括杆件、板和三维弹性体，比材料力学和结构力学的研究范围 更为广泛5.弹性力学基本方法：差分法、变分法、有限元法、实验法.6 弹性力学研究问题，在弹性体内严格考虑静力学、几何学和物理学 三方面条件，在边界 上考虑边界条件，求解微分方程得出较精确的解答； .7. 弹性力学中的基本假定：连续性、完全弹性、均匀性、各向同性、小变形假定。8. 几何方程反映的是形变分量与位移分量之间的关系。9. 物理方程反映的是应力分量与形变分量之间的关系。10. 平衡微分方程反映的是应力分量与体力分量之间的关系。

7、11 当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定。反之，当形变分量完全确定时， 位移分量却不能完全确定。12. 边界条件表示在边界上位移与约束、或应力与面力之间的关系式。它可以分为位移边界 条件、应力边界条件和混合边界条件。13 圣维南原理主要内容：如果把物体表面一小部分边界上作用的外力力系，变换为分布 不同但静力等效的力系（主失量相同，对同一点的主矩也相同） ，那么只在作用边界近处的 应力有显著的改变，而在距离外力作用点较远处，其影响可以忽略不计 。14. 圣维南原理的推广： 如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系 （主失量和主矩都 等于零），那么，这个面力就只会使近处产生显著的应力

8、，而远处的应力可以不计。这是因文档实用标准为主失量和主矩都等于零的面力， 与无面力状态是静力等效的， 只能在近处产生显著的应力。15. 求解平面问题的两种基本方法：位移法、应力法。16. 弹性力学的基本原理：解的唯一性原理解的叠加原理圣维南原理。 会推导两种平衡微分方程17. 逆解法步骤： (1)先假设一满足相容方程 (2-25) 的应力函数( 2)由式 (2-24) ，根据应力函数求得应力分量( 3 )在确定的坐标系下，考察具有确定的几何尺寸和形状的弹性体，根据主要边界上的面力边界条件 (2-15) 或次要边界上的积分边界条件 , 分 析这些应力分量对应于边界上什么样的面力， 从而得知所选取

9、的应力函 数可以解决什么样的问题。 (或者根据已知面力确定应力函数或应力分 量表达式中的待定系数18. 半逆解法步骤： (1)对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的几何形状、受力特征和变形 的特点或已知的一些简单结论，如材料力学得到的初等结论，假设部 分或全部应力分量的函数形式(2) 按式(2-24) ，由应力推出应力函数 f 的一般形式(含待定函数项) ；(3) 将应力函数 f 代入相容方程进行校核， 进而求得应力函数 f 的具体表达 形式；(4) 将应力函数 f 代入式 (2-24) ，由应力函数求得应力分量(5) 根据边界条件确定未知函数中的待定系数；考察应力分量是否满足全5.平面问题的应

10、力边界条件为填空( xlxym)s f x(s)( xylym)s f y (s)文档实用标准7.圣维南原理的三个积分式h/2h/ 2 (x)xl dy 1h/2h/2 fx( y)dy 1算h/2h/2h/ 2 (x)xl ydy 1h/2 fx (y)ydy 1理h/2h/ 2 (xy ) xl dy 1h/2fy (y)dy 1 h /2 y解如果给出单位宽度上面力的主矢量和主矩，则三个积分边界条件变为h/2h/2(x)xl dy 1FNh/2h/2(x)xl ydy 1Mh/2h/2(xy)xl dy 1Fs2 (x, y)2 (x, y)2 (x, y)x2f xx,y2fy y,

11、xyyxxy文档实用标准8.艾里应力函数计算文档实用标准、单项选择题 （按题意将正确答案的编号填在括弧中， 每小题 2 分，共 10 分）1、弹性力学建立的基本方程多是偏微分方程，还必须结合（C ）求解这些微分方程，以求得具体问题的应力、应变、位移。A相容方程B近似方法C边界条件D附加假定2、根据圣维南原理，作用在物体一小部分边界上的力系可以用（B ）的力系代替，则仅在近处应力分布有改变，而在远处所受的影响可以不 计。A几何上等效 B静力上等效C平衡D任意3、弹性力学平面问题的求解中，平面应力问题与平面应变问题的三类基本 方程不完全相同，其比较关系为（ B ）。A平衡方程、几何方程、物理方程完

12、全相同B平衡方程、几何方程相同，物理方程不同C平衡方程、物理方程相同，几何方程不同D平衡方程相同，物理方程、几何方程不同在研究方法方面： 材力考虑有限体 V 的平衡，结果是近似的；弹力考虑微 分体 dV 的平，结果比较精确。4444 、常体力情况下， 用应力函数表示的相容方程形式为4 2 22 4 0，x4x2 y2 y42 3 2 36、设有函数q4x4 hy3 3hy 1 q5y 2hy3 hy ，4 h h 5 h h1 ）判断该函数可否作为应力函数？（ 3 分）文档实用标准2）选择该函数为应力函数时，考察其在图中所示的矩形板和坐标系 （见题九图）中能解决什么问题（ l h ）。（15

13、分）解：41）将代入相容方程 4x2 24 222x2 y244 0，显然满足。因此，该函数可以作为应 y4Oh/2h/2力函数。y2）应力分量的表达式：6qx 2y4qy 32y22h3h33qy3h文档y2x34y33yhxyxyh3 4考察边界条件：在主要边界q4y33y 1hy y h2 2h3q4y33y 1hy y h2 2h36qxyh2qh2h32y2yh/2 上，应精确满足应力边界条件y h2xyy h26qx h2h3 40 y h2在次要边界x0 上，应用圣维南原理，可列出三个积分的应力边界条件：h/2h/20dy hh/22 4hq3y33qhy dy 0 （奇函数）实

14、用标准3h/2 h/2 4qy3 3qyx ydy 3 ydy 0 h/2 x x 0 h/ 2 h3 3hh/2h/2xyx 0 dy在次要边界 xl 上，应用圣维南原理，可列出三个积分的应力边界条件：h/2x dyh/ 26ql2y4qy33qy dy 0（奇函数 ）h/2h/233xlh3h33hh/2x x l ydyh/26ql2y4qy33qy qlh/2h/ 2h3h3ydy3h 2h/2h/2xy x l dyh/2h/22 6ql h2 h3 42 yql对于如图所示的矩形板和坐标系，结合边界上面力与应力的关系，当板内发 生上述应力时，由主边界和次边界上的应力边界条件可知，左

15、边、下边无面力； 而上边界上受有向下的均布压力； 右边界上有按线性变化的水平面力合成为一力 偶和铅直面力。所以 ,能够解决右端为固定端约束的悬臂梁在上边界受均布荷载q 的问题2009 2010 学年第 二 学期期末考试试卷 （ A ）卷一 名词解释（共 10 分，每小题 5 分）1. 弹性力学：研究弹性体由于受外力作用或温度改变等原因而发生的应力、应变和位移。2. 圣维南原理：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力 （主矢量相同，对于同一点的主矩也相同） ，那么近处的应力分布将有显著的改变，但是远 处所受的影响可以不计。应力符号的规定为： 正面正向、负面负向为正，反之

16、为负 。 4. 弹性力学中，正面 是指 外法向方向沿坐标轴正向 的面，负面是指 外法向方向沿坐标轴负向 的 面。1. （8 分）弹性力学平面问题包括哪两类问题？分别对应哪类弹性体？两类平面问题各有 哪些特征？答：弹性力学平面问题包括平面应力问题和平面应变问题两类， 两类问题分别对应的弹 性体和特征分别为：文档实用标准平面应力问题：所对应的弹性体主要为等厚薄板，其特征是：面力、体力的作用面平行于 xy 平面， 外力沿板厚均匀分布， 只有平面应力分量 x , y , xy 存在， 且仅为 x,y 的函数。平面应变问题：所对应的弹性体主要为长截面柱体，其特征为：面力、体力的作用面平行于 xy 平面，

17、 外力沿 z 轴无变化， 只有平面应变分量 x , y , xy 存在， 且仅为 x,y 的函数。2. （8 分）常体力情况下，按应力求解平面问题可进一步简化为按应力函数 求解，应力 函数 必须满足哪些条件？答：（1 ）相容方程： 4 0（2）应 力 边 界 条 件 （ 假 定 全 部 为 应 力 边 界 条 件 ， s s ）：lxmyx sfxyx sx在 s s 上m y lxy s f y（ 3 ）若为多连体，还须满足位移单值条件。问答题 （36）1. （12 分）试列出图 5-1 的全部边界条件，在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个 积分的应力边界条件。 （板厚1 ）图 5-1解：

18、在主要边界 yh 2 上，应精确满足下列边界条件：qx l ， yx y h 2 0 ；y y h 2 0 ， yx y h 2q1在次要边界 x 0 上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件，当板厚1时，h2h2x x 0dyh 2 h 2FN ， h 2 x x 0 ydy M ， h 2 xy x 0dy FS在次要边界 x l 上，有位移边界条件： u x l 0 ， v x l 0。这两个位移边界条 件可以改用三个积分的应力边界条件代替：文档实用标准h2h2x x 0dyh2h 2 xy x 0dyFNFSq1lql2h2h2x x 0 ydyFSlql 2 qlh6232. （

19、10 分）试考察应力函数cxy（ 14 分）设有矩形截面的长竖柱，密度为， c 0 ，能满足相容方程，并求出应力分量（不计体力），画出图 5-2 所示矩形体边界上的面力分布，并在次要边界上表示出面力的主 矢和主矩。444解：（ 1 ）相容条件：将3cxy3 代入相容方程4 2 2 24 0 ，显然满足。xxyy22（2 ）应力分量表达式：x 2 6cxy ， y 0， xy3cy2y（3）边界条件：在主要边界 y h 上，即上下边，面力为 y y h 2 3chx ， 2 y h 2 xy3ch2xy y h 24ch在次要边界 x 0,x l 上，面力的主失和主矩为h2h2x x 0dy0h

20、2h2x x 0 ydy0h2h 2 2c3h2xy x 0dyh23cy2dyh34h2h2h2xx l dyh 2 6cly dy 0h2h 2 2clh3h2xx l ydyh 26cly2dy2h2h 2 2c3h2xyx 0dyh 23cy2dyh34弹性体边界上的面力分布及在次要边界x 0,x l 上面力的主失量和主矩如解图所示。，在一边侧面上受均布剪力 q, 如图 5-3所示，试求应力分量。 （提示：采用半逆解法，因为在材料力学弯曲的基本公式中，假文档实用标准设材料符合简单的胡克定律，故可认为矩形截面竖柱的纵向纤维间无挤压，即可设应力 分量 x 0 )解：采用半逆解法， 因为在材

21、料力学弯曲的基本公式中， 假设材料符合简单的胡克定律， 故可认为矩形截面竖柱的纵向纤维间无挤压，即可设应力分量 x 0 ，(1) 假设应力分量的函数形式。x0(2) 推求应力函数的形式。22有y力公式此时，体力分量为2x 0, fyg 。将 x 0 代入应2 0对 x 积分，得 y2yx，b)其中 f x ，x 都是 x 的待定函数。a)yf x f1 x 。0，y d4 f xy dx4dx4d4 f1 x这是 y 的一次方程，相容方程要求它有无数多的根(全部竖柱内的 d4 f x dx4足)，可见它的系数和自由项都必须等于零。yd4 f1 x0 ，14dx值都应该满0，两个方程要求f x

22、Ax3 Bx2Cx ， f1 x Dx 3 Ex2(c)的表达式f x 中的常数项， f1 x 中的一次和常数项已被略去，因为这三项在文档实用标准中成为 y 的一次和常数项，不影响应力分量。得应力函数32y Ax3 Bx 2CxDx34）由应力函数求应力分量。2x2y2xfx0，2y 2 yf y 6Axy x2By6Dx2xyxy3Ax2（5） 考察边界条件。利用边界条件确定待定系数2Ex2(d)(e)2E gy ，(f)2Bx C .(g)先来考虑左右两边 x b 2 的主要边界条件：0，xy x b 20，xy x b 2 q 。将应力分量式 （e） 和（g） 代入，这些边界条件要求：0

23、，自然满足；32xy x b 2Ab2 Bb C 0 ( h )4xy x b234 Ab2 Bb C q(i)由（ h ）（i ） 得2bj）考察次要边界 y件为0 的边界条件，应用圣维南原理，三个积分的应力边界条b 2 b2b2 y y 0dx b2 6Dx 2Edx 2Eb 0；得 E 0b2b2xdx6Dx 2Exdxb2yy0b2b2xyydxb223Ax2qxb20b2b由（h）（j）（k）得Db30，得D02Ab3C dxbC0（k）4Aq,2,Cqb24将所得 A 、B、C、D、E 代入式（ e）（f ）（ g ）得应力分量为：文档6 bq2 xybqb ygy ，bxyb2x

24、2q x qb4实用标准填空题（每个 1 分，共 10 1=10 分）。1 弹性力学的研究方法是在弹性区域内部，考虑静力学、几何学和物理学方面建立三 套方程，即 方程、 方程以及 方程；在弹性体的边界上， 还要建立边界条件，即 边界条件和 边界条件。2 弹性力学基本假定包括 假定、 假定、 假定、 假定和 假定。1平衡微分 几何 物理 应力 位移2连续 均匀 各向同性 完全弹性 小变形一、单项选择题（每个 2 分，共 5 2=10 分）。1. 关于弹性力学的正确认识是 A 。A. 弹性力学在工程结构设计中的作用日益重要。B. 弹性力学从微分单元体入手分析弹性体，因此与材料力学不同，不需要对问题

25、 作假设。C. 任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象。D. 弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析。2. 所谓“完全弹性体”是指 B 。A. 材料应力应变关系满足胡克定律。B. 材料的应力应变关系与加载时间历史无关。C. 本构关系为非线性弹性关系。D. 应力应变关系满足线性弹性关系。3. 所谓“应力状态”是指 B 。文档实用标准A. 斜截面应力矢量与横截面应力矢量不同。B. 一点不同截面的应力随着截面方位变化而改变。C. 3 个主应力作用平面相互垂直。D. 不同截面的应力不同，因此应力矢量是不可确定的。4弹性力学的基本未知量没有 C 。A. 应变分量。B. 位移分量。C. 面力分量。D. 应力分量。5下列关于圣维南原理的正确叙述是DA. 边界等效力系替换不影响弹性体内部的应力分布。B. 等效力系替换将不影响弹性体的变形。C. 圣维南原理说明弹性体的作用载荷可以任意 平移。D. 等效力系替换主要影响载荷作用区附近的应 力分布， 对于远离边界的弹性体内部的影响 比较小。、计算题（共 15 分）如图所示的三角形截面水坝， 其左侧作用着比重为的液体， 右侧为自由表面。试写出以应