初三数学旋转相似讲义

1、专题：旋转相似 模型：手拉手相似模型，旋转相似成双对。 结论： 、 OCSA OAB 条件： CD/ AB （本质即为 OCDA OAB，将 OCD绕点O旋转到图1和图2的位置。 OA3A OBD即连接对应点所得的一对新三角形相似。 、延长AC交BD于点E,则/ AEBN BOA（用蝴蝶形图证明）（能得到点A、OE、B四点共圆） 模型特例： 共直角顶点的直角三角形相似 I) 当/ AOB=/ COD=90 时，除 、 OCBA OAB 、延长AC交BD于点 E,则/ AEBK BOA=90 （用蝴蝶形图证明） 外，还有结论 心 BD OD OB AC OC OA 、因为ACL BD于点E, t

2、an OCD tan OAB 那么，若连 AD BC,则四边形 ABCD寸角线互相垂直，则 S四边形ABCD 1 -AC BD 2 AD2 BC2 AB2 CD2 例题讲解 例1.已知DEF都是等腰三角形， AB EF的中点均为 0,且顶角/ ACB= EDF. (1) 如图1,若/ ACB=90,探究BF与CD间的数量关系； 3 BF (2) 如图2,若tan / ACB，求币 的值； 4 CD (3) 如图3,若厶ABC中AC=BC=a,将厶DEF绕点0旋转，设直线 CD与直线BF交于点H,则S BCH最大值 为 (用含a的式子表示)。 分析： (1) 连 0C 0D OBF OCD BF

3、=CD BF 0B = =ta n CD OC 熟悉等腰三角形中有关三角函数值的常见处理方法。 (2) 构造手拉手旋转相似。可证0B OFD, ODO OFB 1 -Z ACB 2 3 1 问题转化为已知 tan Z ACB，求tan Z ACB的问题，必须 4 2 11 由右图提示可得tan Z ACB =一 ； 23 (3) 由(2) 0B(O OFD, ODO OFB 蝴蝶形图易得Z CHBZ COB=90 ;又 BC=a，定边定角, 点H在以BC为直径的圆上，易求 S BCH 1 2 例2.如图1,已知在正方形 ABCD正方形BEFG中， 求证：AG= CE 求的值 AG 團1 DAi

4、 的值 分析： 如图 2,证 ABG CBE , AG=CE 如图2，连接BD, BF，DF， BD BF 易证2， DBC FBE 45 ， BC BE Z DBF = Z CBE DBF CBE DF BD 2 CE BC AG = :CE DF DF 2 AG CE AH 0为BC EF中点 求证：AH=DG;(2)求 变式：如图3,正方形 ABCD和EFGH中, CF 分析： 连接OA,OH,OD,OG, 易证： AOH DOG AH DG OE OB 1 2) EH AB 2 ABO HEO, AOB HOE, AOH BOE, OE OH OB OA OBE OAH , AH BE

5、 易证 AO 、.5 BO BOE COF, BE CF, AH CF 5 例 3.如图，/ ACB=Z DCE= 90。，/ ABC=Z CED=Z CAE= 30, AC= 3, AE= 8,求 AD的长。 分析: 连接BE由基本图形易得 可证 ACDh BCE AD= BAE= 90 在Rt ABEf乍，由勾股定理求得 BE= 10 A B C D 则AD=葺 练习 1.如图，点 A是厶 DBC内一点，AB 2 3,BC 8, ABC 60, DAC 1200, AD AC,求 bd 得长。 分析：构造旋转相似，由基本图形可得出以下几种方法，求出BD=10. 练习2.如图，在 ABC中，

6、/ ACB= 90, BC= 2AC, F、G分别为AC BC的中点，将 CFG绕点C顺时针 旋转，直线 AF与直线BG交于点I. (1)求证：AF丄BG 当旋转角小于90时，求2AI BI的值； CI (3)若AC= 4，直接写出 ACI面积的最大值 分析： I轨迹为圆弧。 (3)需分析出I点轨迹，由A、C I、B四点共圆可得/ AIC=Z ABC又AC=4定边定角得练习3 .将等腰Rt ABC和等腰RtA ADE按图1方式放置，/ A = 90 AD边与AB边重合，AB = 2AD = 4 .将 ADE绕点A逆时针旋转(旋转角不超过180 , BD的延长线交直线 CE于点P. (1) 如图

7、2, BD与CE的数量关系是 ，位置关系是 ; (2) 在旋转的过程中，当 AD丄BD时，求CP的长； (3) 当点D落在BA的延长线上时，求点 P所经过的路径的长. 图1 图2 A 分析： (1) BD = CEBD 丄 CE (2) T BD 丄 CE, AD 丄 BD ,二/ ADP = Z DPE = 90 又/ DAE = 90 AD = AE,.四边形 ADPE为正方形 / AB = 2AD = 4 , PE = AD = 2 CE = BD = AB2-AD2 = 2 3 CP = 2 3- 2 (3) 取BC中点0,连接0A、OP 在旋转过程中， BD丄CE， / BPC= 90 1 OP = BC = 2 2 点P的运动路径是以 0为圆心、半径为 2 2的一段圆弧 即厶ABC外接圆的一部分 贝AOP = 2 / ABP 易知点D在以A为圆心、半径为2的半圆上运动 当BP与半圆A相切于点D时，/ ABP最大，从而/ AOP最大 1 T AD = 2AB，/ ABP = 30 AOP = 60 即当 A