圆的综合复习

1、精锐教育学科教师辅导讲义学员编号：学员姓名：范诗源年级辅导科目攵：初三:数学课时数：3 学科教师：季益鸣授课类型T（同步知识主题）C （专题方法主题）T （学法与能力主题）授课日期及时段2013.12.15教学内容一、同步知识梳理知识点1:圆的有关概念（1）圆心和半径：圆心确定位置，半径确定大小。等圆或同圆的半径都相等。（2）弦：圆上任意两点之间的线段。直径是圆中最长的弦。（3）弧：圆上任意两点之间的部分。完全重合的弧叫做等弧（强调度数相等且长度相等）（4）三角形的外心是三边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。（5）经过不在同一条直线上的三个点唯一确定一个圆。（6）【常作辅助线1】连接圆

2、心和圆上的点，形成半径。知识点2:圆的有关性质（1）圆是中心对称图形，也是轴对称图形。（2）弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中，有一组量相 等，那么它们所对的其余各组量都分别相等。（3）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，也平分弦所对的优弧和劣弧。（4）圆周角的性质：同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于它所对的圆心角的一半；直径所对 的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径。【常作辅助线2】过圆心向弦作垂线，形成垂径定理的条件，构造直角三角形应用勾股定理进行计算。【常作辅助线3】利用直径，构造直角知识点3:与圆有关的位置关系（1）点与圆的位置关系：圆的半径为r，

3、点到圆心的距离为d点在圆内 d r点在圆上内d r点在圆外 d r（2）直线与圆的位置关系圆的半径为r ,直线到圆的距离为d直线与圆相交点在圆内d r直线与圆相切点在圆内d r直线与圆相离点在圆内d r（1）圆与圆的位置关系两圆外离 d R r两圆外切 d R r两圆相交R r d R r两圆内切 d R r两圆内含 0 d R r（2）切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。（3）切线的判定：经过半径的外端点且垂直于该半径的直线是圆的切线。（4） 切线长定义：从圆外一点作圆的切线，该点到切点的距离叫切线长。（补充）（5）切线长定理：从圆外一点作出圆的两条切线，它们的切线长相等，且该点到圆心的

4、连线平分两 切线的夹角。（补充）（6）三角形的内心：是三个角的平分线的交点，它到三边的距离相等。【常作辅助线4】连接圆心和切点得垂直。【常作辅助线5】当直径垂直于圆内一条不是弦的线段时， 延长该线段与圆相交，形成直径垂直于弦。【常作辅助线6】遇三角形的内心时，连接内心和三角形的顶点，形成角平分线。知识点4圆中的计算（1）弧长公式：丨n-R180（2）扇形面积：S n R3601或 S -1R2（3）圆锥的侧面积：S侧rl （r指底面圆的半径,丨指母线长）精选A.变大E.变小C.不变D.不能确定N图12. （2010江苏扬州）如图2, AB为O O直径，点C、D在O O上,已知/ BOC= 70

5、, AD/ OC 则/ AOD=题型1:圆的有关概念1.（ 2006 玉林市、防城港市）如图 1，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，顶点 P在MN错误！未指定书签。上，且不与M , N重合,当P点在MM上移动时，矩形PAOB的形状、大小随之变化，则AB的长度（6.3.如图AB是O O的直径，CD是O O的弦，AB与CD的延长线交于点 E，且AB= 2DE / E= 18，求 / AOC的度数。题型2：圆的有关性质如图3是一个隧道的横截面， 若它的形状是以 O为圆心的圆的一部分,4. （2008白银）高速公路的隧道和桥梁最多.路面AB =10米，净高CD =7米，则此圆的半径 0A=（）A.

6、 5B . 7C . 375377COAD图45BO图71图6A i图5.（2007连云港）如图5，将半径为2cm的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心A. 2cmB. . 3 cmC. 2.3 cmD. 2. 5 cm已知O O的半径为R,弦AB的长也是R,则/ AOB勺度数是精选7. （2008黄石）如图6, AB为O O的直径，点C, D在O O上，BAC 50，贝U ADC 8. （2010 湖北黄石）如图 7 ,O O 中，OAL BC / AOB= 60 ,则/ ADC=.9. （2010黄冈）如图8,O O中，MlAl的度数为320，则圆周角/ MANkB、C,求证：/ BAEK C

7、AD10.如图9,在厶ABC中，ADL BC于D,以AE为直径画圆，经过点图17精选11. （2009年温州）如图10,已知正方形纸片 ABCD的边长为8,0 0的半径为2,圆心在正方形的中心上，将纸片按 图示方式折叠，使 EA恰好与O 0相切于点A （ EFA与O 0除切点外无重叠部分），延长FA交CD边于点G, 则A G的长是题型3：与圆有关的位置关系12. （2006 邵阳市）已知O O的半径为3cm,点P是直线l上一点，OP长为5cm,则直线I与O O的位置关系为（）A.相交B.相切 C.相离D.相交、相切、相离都有可能13. （2010山东淄博）如图11 , D是半径为R的O O上一

8、点，过点 D作O O的切线交直径 AB的延长线于点 C下列四个条件：AD= CD/ A= 30 ;/ ADC= 120;DC= J3 R其中，使得BC= R的有（A. B. C.D.C14. （2009仙桃）如图12, AB为O O的直径，D是O O上的一点，过 O点作AB的垂线交AD于点E,交BD的延长线 于点C, F为CE上一点，且FD= FE（1）请探究FD与O O的位置关系，并说明理由； 若O O的半径为2, BD= 3，求BC的长.15.如图13, P是/ BAC的平分线上一点，PD丄AC垂足为D. AB与以P为圆心、PD为半径的圆相切吗？为什么?16.已知如图14,A ABC内接于

9、O O AD是O O的直径，CE丄AD,点E为垂足，CE的延长线交 AB于点F。求证:AC2 AB AF17.如图15, AB（中, I为内心，AI交边BC于点。，交厶ABC勺外接圆于点E,连结BE试说明：BE=EC=IE18. （2010湖南长沙）已知O O、OO的半径分别是r, 2、r24,若两圆相交,A、2 B则圆心距OO可能取的值是).题型4:圆中的计算19. （2006 宿迁市）如图16,在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能 一个圆锥模型.若圆的半径为r，扇形的半径为 R,扇形的圆心角等于 120,则之间的关系是（）A. R= 2rB . R=r C . R= 3rD. R

10、= 4r围成 r与R20.一个扇形的圆心角为90.半径为2，则这个扇形的弧长为 .（结果保留）21. （2010浙江宁波）如图,AB是O O的直径，弦 DE垂直平分半径DF与半径OB相交于点P,连结 EF EO 若 DE=2V3，/ DPA45（1）求O O的半径；（2）求图中阴影部分的面积OA C为垂足，弦B三、课堂达标检测一、精心选一选（本大题共10小题，每小题3分，共计30分）1、下列命题：长度相等的弧是等弧任意三点确定一个圆相等的圆心角所对的弦相等外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，其中真命题共有（B. 1个C. 2个D. 3个2、同一平面内两圆的半径是R和r ,圆心距是d,若

11、以R、r、d为边长，能围成一个三角形，则这两个圆的位置关玄阜系是A.外离B.相切C.相交D.内含3、如图1,四边形ABCD内 接于O 0,若它的一个外角/ DCE=70，则/ B0D=（）.35B.70 C.110D.1404、如图2,0 0的直径为10,弦AB的长为8, M是弦AB上的动点，贝U 0M的长的取值范围（.3 0MC 5B. 4 0MC 5C. 3 V 0Mk 5D. 4 V 0Mk 53,0 0的直径AB与弦CD的延长线交于点 E,若DE=0B, / A0C=84 ,则/ E等于（5、如图图1图2图3图4C6、如图4,A ABC内接于O0,AD丄BC于点D,AD=2cm AB=

12、4cm AC=3cm则O0的直径是（）A、2cm B 、4cm C6cm D 、8cm7、如图5,圆心角都是90的扇形 0AB!扇形0CDfc放在一起,分的面积为（）1A.B.C. 2 D. 40A= 3, 0C= 1，分别连结 AC BD则图中阴影部28已知O O与O Q外切于点A,O O的半径R= 2,0 Q的半径r = 1, 若半径为4的O C与O Q、O Q都相切，则满足条件的O C有（）0有实数根,B、4个9、设O Q的半径为2，圆心Q到直线I的距离Qm且m使得关于x的方程2x2 2 2x m 1则直线I与OQ的位置关系为（）A、相离或相切B相切或相交C相离或相交D无法确定10、如图

13、6,把直角 ABC的斜边AC放在定直线I上，按顺时针的方向在直线I上转动两次，使它转到A2B2C2的位A运动到点A的位置时，点A（25+ 仝）nrz 4 v3、B、（ +） n1223 2C2nD、*：3 n置，设AB=-3 , BC=1,则顶点A所经过的路线为（）、细心填一填（本大题共6小题，每小4分，共计24分）.11、（2006山西）某圆柱形网球筒，其底面直径是100cm,这样的网球筒如图所示放置并包装侧面，则需长为80cm,将七个cm2的包装膜（不计接缝，n取3）.12、（2006山西）如图 7在“世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门冲到A点时，同样乙已经助攻冲到B点。有两种射门方式：

14、第一种是甲直甲将球传给乙，由乙射门。仅从射门角度考虑，应选择 种射门方13、 如果圆的内接正六边形的边长为6cm,则其外接圆的半径为PQ进攻，当他带球接射门；第二种是式14、如图8,已知：在O Q中弦AB CD交于点 M AC DB的延长线交于点N,则图中相似三角形有对.15、（2006年北京）如图9,直角坐标系中一条圆弧经过网格点A、B C,其中，B点坐标为（4 , 4），则该圆弧所在圆的圆心坐标为 .16、（原创）如图10,两条互相垂直的弦将O Q分成四部分，相对的两部分面积之和分别记为S1、S2,若圆心到两弦的距离分别为2和3,则丨S1 -S2 I =BQCN图10三、认真算一算、答一答

15、 （172 3题，每题8分,24题10分，共计66分）.17、（2006年丽水）为了探究三角形的内切圆半径r与周长L、面积S之间的关系，在数学实验活动中，选取等边三 角形（图甲）和直角三角形（图乙）进行研究 O O是厶ABC的内切圆,切点分别为点D、E、F.（1）用刻度尺分别量出表中 未度量的厶ABC的长，填入空格处，并计算出周长 L和面积S.（结果精确到0.1厘米）ACBCABrLS图甲0.6图乙1.0r与L、S之间关系，并证明这种关系对任意三角形（图丙）（2）观察图形，利用上表实验数据分析.猜测特殊三角形的图甲图乙D图丙是否也成立？精选18、 （2006年成都）如图，以等腰三角形 ABC的

16、一腰AB为直径的O O 交BC于点D，交AC于点G，连结AD，并过点D作DE AC , 垂足为E .根据以上条件写出三个正确结论（除AB AC, AO BO,/ ABC / ACB 夕卜）是：（1）； （2） ；（3） 19、（2004年黄冈）如图，要在直径为 50厘米的圆形木板上截出四个大小相同的圆形凳面。问怎样才能截出直径最大的凳面，最大直径是多少厘米？-20、（2005年山西）如图是一纸杯，它的母线AC和EF延长后形成的立体图形是圆锥 ，该圆锥的侧面展开图形是扇形OAB经测量，纸杯上开口圆的直径是 6cm,下底面直径为4cm,母线长为EF=8cm求扇形OAB的圆心角及这个纸杯的表面积（面

17、积计算结果用n表示）21、如图，在 ABC中，/ BCA=90。，以BC为直径的O O交AB于点P, Q是AC的中点.判断直线 PQ与O O的位置 关系，并说明理由.22、（2006年黄冈）如图，AB AC分别是O O的直径和弦，点 D为劣弧AC上一点，弦ED分别交O O于点E,交AB 于点H,交AC于点F,过点C的切线交ED的延长线于点P.（1）若 PC=PF 求证：AB丄 ED;A（2） 点D在劣弧AC的什么位置时，才能使 A“=DEDF,为什么?24、(2004年深圳南山区)如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的面积为15,边OA比OC大2. E为BC的中点,以OE为直径的O 0交X轴

18、于D点，过点D作DF丄AE于点F.(1) 求OA OC的长;(2) 求证：DF为O O的切线;(3) 小明在解答本题时，发现 AOE是等腰三角形由此，他断定：“直线BC上一定存在除点 E以外的点卩，使厶AOP也是等腰三角形，且点 P 一定在O 0外”.你同意他的看法吗？请充分说明理由.参考答案一、选择题I. B 2 . C 3 . D 4 . A 5 . B 6 . C 7 . C 8 . D 9 . B 10 . B二、填空题II. 12000 12 .第二种 13 . 6cm 14 . 4 15 . (2,0) 16. 24(提示：如图 1,由圆的对称性可知，丨 S1-S 2 |等于e的面

19、积，即为2 X 3 X 4=24)三、解答题117 . (1)略(2)由图表信息猜测，得S=- Lr,并且对一般三角形都成立.连接OA OB OC运用面积法证明.218 . (1) BD DC , (2) RtA DEC s Rt ADC , (3) DE 是 e O 的切线(以及/ BAD* BAD AD丄 BC,弧 BD= 弧 DG等).19设计方案如图2所示，在图3中，易证四边形 OAdc为正方形，Od+O/B=25,所以圆形凳面的最大直径为25(,2 -1 )厘米图1图320 .扇形OAB的圆心角为45 ,纸杯的表面积为 44 n .21 连接OR CP,则/ OPCM OCP由题意知

20、厶ACP是直角三角形，又Q是AC的中点，因此QP=QC, / QPC* QCP而/OCPy QCP=90,所以/ OPC# QPC=90 即 OPL PQ,PQ与O O相切22. (1 )略 (2)当点D在劣弧AC的中点时，才能使 aD=DEDF.23 变化一、连接 OQ证明OQL QR变化二 (1)、结论成立(2 )结论成立，连接 OQ证明/ B=Z OQB则/ P=Z PQR所以RQ=PR ( 3)结论仍然成立24. (1)在矩形OAB(中，设OC=x则OA=x +2,依题意得x(x 2) 15解得：X1 3, X25X25 (不合题意，舍去)-OC=3 OA=55(2)连结 O D 在矩

21、形 OABC中 OC=AB# OCB# ABC=9(f , CE=BE2 ocea ABE EA=EO / 1 = / 2在O O中，/ O O= O D / 仁/3/ 3=Z 2O D/ AE/ DFL AE DF 丄 O D又点d在O O上，O d为o o的半径， df为o o 切线.不同意.理由如下： 当AO=AP寸，以点A为圆心，以AO为半径画弧交BC于R和P4两点过 P1 点作 RH丄 OA于点 H, P1H = OC = 3 ,T A P1= OA = 5 A H = 4 , OH =1求得点P1 ( 1, 3)同理可得：P4 (9, 3) 当OA=OP寸，同上可求得：P2 (4,

22、 3) , Ps ( 4, 3)因此，在直线 BC上，除了 E点外，既存在O O内的点P1,又存在O O外的点P2、P3、P4,它们分别使 AOP为等 腰三角形.课后作业1如图，在RtA ABC中，斜边BC 12, C 30 D为BC的中点, 过A作OO的切线AE交DF的延长线于E点.(1) 求证：AE丄DE ;(2) 计算：AC-AF的值.2.如图，AB、CD是半径为5的OO的两条弦，AB = 8 , CD = 6,MN是直径，AB丄MN于点E, CD丄MN于点F, P为EF上的任意一点，贝U FA+PC的最小值为. ABD的外接圆OO与AC交于F点,N3.如图，已知点求证：AC丄BC .E在厶ABC的边AB上，以AE为直径的O O与BC相切于点 D，且AD平分/ BAC .4.(1)已知，如图I , ABC的周长为l ,面积为S,其内切圆圆心为 0,半径为r,求证：r 已知，如图2, ABC中，A、B C三点的坐标分别为 A(一 3, 0)、B(3 , 0)、C(0 , 4).若 ABC内心为 0 求点 D坐标； 与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆，叫旁切圆，圆心叫旁心请求出条件(2)中的 ABC位于第一象限的旁心的坐标。5.如图，在