圆的知识点总结及典型例题x圆的知识点总结及典型例题

1、圆章节知识点复习、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念:1、圆：至U定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3 、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4 、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；平行于这两条平行线且到两条直线距离都相5 、到两条平行线距离相等的点的

2、轨迹是:等的一条直线。1、点在圆内d r点C在圆内;2、点在圆上d r点B在圆上;3、点在圆外d r点A在圆外;二、点与圆的位置关系三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离d r无交点;2、3、直线与圆相交d r有两个交点;直线与圆相切d r有一个交点;四、圆与圆的位置关系外离（图1）无交点d R r ；d R r ;夕卜切（图2）有一个交点相交（图? 3)有两个交点R rd Rr ；内含（图5 5)无交点d Rr ；d R r ；内切（图4）有一个交点图i五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论1：（ 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）

3、弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共 5个结论中，只要知道其中 2个即可推出其它3个结论，即:AB是直径 AB CD CE DE弧BC 弧BD弧AC 弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即:在O O 中， AB / CD弧 AC 弧 BDCOAD六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的 3个结论，即： AO

4、B DOE : AB DE ;OC OF ;弧BA弧BD七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即： AOB和 ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角 AOB 2 ACB2、圆周角定理的推论：EOAD推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧;即：在O O中， C、D都是所对的圆周角CBOA精选推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在O O中， AB是直径或 C 90C 90 AB是直径MAN推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在 ABC 中，

5、 OC OA OB ABC是直角三角形或 C 90注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.八、圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在O O中，四边形 ABCD是内接四边形 C BAD 180 B D 180DAE C九、切线的性质与判定定理(1) 切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即： MN OA且MN过半径0A外端 MN是O 0的切线(2) 性质定理：切线垂直于过切点的半径(

6、如上图)推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理: 即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线 的夹角。AD即： PA、PB是的两条切线 PA PBPPO平分 BPALJAI一、圆幕定理(1) 相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在O O中，弦AB、CD相交于点P , PA PB PC PD(2) 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中

7、项。即：在O O 中，直径 AB CD , CE2 AE BE(3) 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在O O中，T PA是切线，PB是割线2PA2 PC PB(4) 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(如上图) 即：在O O中， PB、PE是割线 PC PB PD PE十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：O1O2垂直平分AB 。即：TO Oi、O O2相交于A、B两点- O1O2垂直平分AB十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：(1

8、) 公切线长： Rt O1O2C 中，AB2 CO,2 、OQ22 CO22 ;(2) 外公切线长：CO2是半径之差；内公切线长：CO2是半径之和十四、圆内正多边形的计算COD(1)正三角形在O O中 ABC 是正三角形，有关计算在 Rt BOD中进行OD : BD :OB 1: .3:2 ；(2)正四边形同理，四边形的有关计算在 Rt OAE中进行，OE:AE:OA 1:1: .2 :OB(3) 正六边形同理，六边形的有关计算在 Rt OAB中进行，AB:OB:OA 1: ,3:2.卜五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：（1）弧长公式：|n R180（2）扇形面积公式:n R2360

9、-IR2Bn :圆心角 R :扇形多对应的圆的半径l :扇形弧长S :扇形面积2、圆柱：（1）圆柱侧面展开图S表 S侧 2S底=2 rh 2 r2(2)圆柱的体积：Vr2h(2)圆锥侧面展开图(1)% SftS底=Rrr2(2)圆锥的体积：V1 r2. -r h3典型例题例1 两个同样大小的肥皂 泡黏在一起，其剖面如图 1所示（点O, 0是圆心），分隔两个 肥皂泡的肥皂膜 PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求 / TPN的大小.例2.如图，AB为O O直径，E是BC中点，OE交BC于点D, BD=3 , AB=10 ,则AC=精选D.例3.如图，O O的直径为10,圆心O到弦AB的距

10、离OM的长为3,则弦AB的长是()精选例4.如图，在O O中，AB、CD是两条弦，OE丄AB , OF丄CD，垂足分别为 EF.(1) 如果/ AOB= / COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？(2) 如果oe=of，那么Ab与Cd的大小有什么关系？ ab与cd的大小有什么关系？ /为什么？/ AOB与/ COD呢？OD例5.如图3和图4，MN是O O的直径，弦 AB、CD/相交于 MNE上的一点 P，ZZ APM= /CPM .(1) 由以上条件，你认为 AB和CD大小关系是什么，请说明理由.(2) 若交点P在O O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明 理

11、由.AMCPEFODNB例6如图，点 0是/ ABC的内切圆的圆心，若/ BAC=80，贝U / BOC=()A . 130 B. 100 C. 50 D. 65例7.如图，AB为/O的直径，C是ZO 上一点，D在AB的延长线上，且 / DCBMA(1) CD与/O相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由.(2) 若CD与/O相切，且 / D=3C , BD=10，求/ O的半径.例&如图所示，点 A坐标为(0, 3) , OA半径为1,点B在x轴上.(1) 若点B坐标为(4, 0), /B半径为3,试判断/A与/B位置关系;(2) 若/B过M (- 2, 0)且与/A相切，求B

12、点坐标.例9.如图，已知正六边形 ABCDEF，其外接圆的半径是 a, /求正六边形的周长和面积.例10.在直径为AB的半圆内，划出一块三角形区域，如图所示，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆圆周上，其它两边分别为 6和8,现要建造一个内接于 / ABC/的矩形水池DEFN ,其中 D、E在AB上，如图24 - 94的设计方案是使 AC=8 , BC=6 .(1)求/ABC的边AB上的高h. (2)设DN=x ,且h一DN 址，当x取何值时，水池DEFN h AB的面积最大？ ( 3)实际施工时，发现在 AB上距B点1 . 85的M处有一棵大树，问：这棵大树 是否位于最大矩形水池的边上？如果在

13、，为了保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条 件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树.例11 操作与证明：如图所示， 0是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在0处，并将纸板绕 0点旋转，求证：正方形 ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值 a 例12.已知扇形的圆心角为 120 ,面积为300 cm2.（1）求扇形的弧长；（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少?D例13、如图，AB是/O的直径，BC是弦，OD ZBC于E,交BC于D .（1）请写出五个不同类型的正确结论；（2）若BC=8, ED = 2，求/O的半径.

14、例14.已知：如图等边 ABC内接于/O,点P是劣弧PC上的一点（端点除外），延长BP至D ,使BD AP，连结CD .(1 )若AP过圆心0,如图厶请你判断 PDC是什么三角形？并说明理由.(2)若AP不过圆心O，如图Z, PDC又是什么三角形？为什么？ PDC为等边三角形.D例15.如图，四边形ABCD内接于/0, BD是/0的直径,AE CD，垂足为E , DA平分BDE EO(1)求证：AE是/0的切线;(2) 若 DBC 30, DE 1cm，求 BD 的长.例16、如图，已知在 /0中，AB= 4.3 , AC是/0的直径，ACL BD 于F, / A=30(1) 求图中阴影部分的

15、面积；(2) 若用阴影扇形 OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径例17.如图，从一个直径是 2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为90的扇形.(1) 求这个扇形的面积(结果保留)(2) 在剩下的三块余料中，能否从第/块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由.(3) 当/O的半径R(R 0)为任意值时，(2)中的结论是否仍然成立？请说明理由.例18.(1)如图OA、OB是/O的两条半径，且 OA OB，点C是OB延长线上任意一点：过点C作CD切/O于点D，连结AD交DC于点E.求证：CD=CE(2) 若将图中的半径 OB所在直线向上平行移动交 OA于F，交/O于B,其他

16、条件不变，那么上述结论 CD=CE还成立吗？为什么？(3) 若将图中的半径 OB所在直线向上平行移动到 ZO外的CF,点E是DA的延长线与CF的交点，其他条件不变，那么上述结论CD=CE还成立吗？为什么E两点，交AD于点G,例19、2010山东德州)如图，在/ ABC中，AB=AC , D是BC中点，AE平分/BAD 交BC于点E,点0是AB上一点，ZO过A、(1)求证：BC与/O相切；(2 )当/ BAC=120时，求/ EFG的度数.例20、(2010广东广州)如图，O O的半径为1，点P是O O上一点，弦 AB垂直平分线段 OP, 点D是APB上任一点(与端点 A、B不重合)，DE丄AB于点E,以点D为圆心、DE长为 半径作O D，分别过点A、B作O D的切线，两条切线相交于点C.(1)(2)(3)例21. (2010江西)“6字形图中，FM是大圆的直径,BC与大圆相切于B,OB与小圆相交于A,BC/ AD, CD ZB H/FM, BC/DG , DH/BH 于 H ,设FOB ,OB 4, BC 6,(1) 求证：AD是小圆的切线；(2) 在图中找出一个可用表示的角，并说明你这样表示的理由;(3) 当 30，求DH的长例22. （2010江苏泰州，28, 12分）在平面直角坐标系中，直线y kx b （ k为常数且0）分别交x轴、y轴于点A、B,O O半径为、