圆的分类讨论例题及习题解析

1、圆中的分类讨论题-一之两解情况一、根据点与圆的位置分类例1、点P是圆O所在平面上一定点，点P到圆上的最大距离和最短距离分别为8和2,则 该圆的半径为o解：过点P和圆心O作直线分别与圆O相交于A、B两点。PA、PB分别表示圆上各点到点P的最长距离和最短距离。（. （1）当点P在圆内时，如图1所示，直径的=PA十PB = 6：8（2）当点P在圆外时，如图2所示，直径AB = PA - PB = 2 ；所以，圆0的直径为2或6。练习1：若OO所在平面内一点P到。O上的点的最大距离为a,最小距离为b,则此圆的半径为（）2： P在（DO内，距圆心O的距离为4, （DO半径长为5,经过P点，交于30的弦为

2、整数的 有多少条？解：过P点的弦长为整数的最短弦长是6cm （该弦垂直于OP,等于5与4的平方和的平方 根的2倍）；最长的是10cm （过O、P的直径）；其间弦长为整数的长度还有7、8、9cm,所以 共有8条（其中的7、8、9各有两条，以OP为对称轴）。3： 0O的半径为2.5,动点P到定点O的距离为2,动点Q到P的点的距离为1,则点P、 Q与30有何位置关系？二、弦与弦的位置关系不唯一，需要分类讨论例 1、圆 O 的直径为 1 Ocm,弓玄 AB/CD, AB=6cm, CD = Scm ,求 AB和CD的距离。J ： n解：（1）当AB、CD在圆心的同侧时，如图，过点O作OM1AB交AB

3、0于点交CD于N,连结OB、OD,得, R込OND ,然后由勾 J 丿 股定理求得：OM = 4c加,ON = 3cm ,故AB和CD的距离为1cm。（2）当A3、CQ在圆心的异侧时，如图9,仍可求得OM=4c7, ON = 3cm 故AB和CD的距离为7cmoH/所以AB和CD的距离为1cm和7cmo例2、已知弓形的弦长为8cm,所在圆的半径为5cm,则弓形的高为多少？（2或8cm）例3、已知：如图，AB是OO的直径，AC是OO的弦，AB=2, z BAC=30.在图中作弦AD,使AD=1, 并求z CAD的度数.解：连接BC, VAB是0O的直径，A ZACB=90 ,V ZBAC=30

4、,.BC=1/2AB=1,ZB=60以A圆心BC长为半径画弧可得点D,再连接AD即可；VAD=BC,所以弧 BCE二弧 ADCA ZDAB=ZB=60 , A ZDAC=60 -30 =30 ；同理可得：ZD AC=60 +30 =90 ；综上所述：ZCAD的度数为30或90例4、油桶问题：一个横截面为圆的圆柱形油桶，放倒后油面为60cm,其半径为50cm,求 油面的最大深度？两个答案：要考虑油面是否高于半圆，一个是低于半圆，一个是高于半圆。例5、拱桥问题：某地有一座圆弧形拱桥圆心为O,桥下水面宽度为7.2m,过O作OC丄 AB于D,交圆弧于C, CD=2.4m,现有一艘宽3m,船舱顶部为方形

5、并高出水面AB=2m的货船 要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？三、点在直径上的位置不唯一，需要分类讨论例1、已知OO的直径AB=10cm,弦CD丄AB于点于点M。若OM： OA=3： 5,则弦AC的 长为多少？四、点与弦的相对位置时，需要分类讨论例 1： 30 是ZABC 的外接圆，OD丄BC 于 D,且ZBOD=48 ,则ZBAC=。例2：在30中，AB为直径，CD为弦，AB丄CD, P为圆周上与C、D不重合的任意一点。 判断COB 与CPD 的数量关系，并尝试证明你的结论。五、三角形与圆心的位置关系例1：已知AABC内接于圆O, ZOBC = 35 ,则ZA的度数为。分析：因点A的位

6、置不确定。所以点A和圆心O可能在BC的同侧，也可能在BC的异侧。 也可分析为圆心在MBC的内部和外部两种情况。解：（1）当点A和圆心O在BC的同侧时，如图3,ZOBC = 35 ZBOC =110 ABAC = 55（2）当点A和圆心O在BC的异侧时，如图4,ZOBC = 35 ZBOC =110 /. ZBPC = 55 ABAC =125 所以 ZA 的度数是 55 或 125。练习：1、已知圆内接AABC中，AB=AC,圆心O到BC的距离为3cm,圆的半径为6cm,求腰 长ABo （两种情况如图5、图6）图5图6例 2、AABC 内接于0O, AOC =1000,贝lj ACB =例3、

7、AABC是半径为2cm的园内接三角形，若BC=23cm,则ZA的度数为例4、已知ZkABC内接于G）O, AB=AC, OB=5cm,圆心O到BC的距离为3cm,求AB的长。六、角与圆心的位置关系在圆周角定理的证明中，根据圆心与圆周角的位置关系分为三类加以讨论：（1）圆心在角的一边上；（2） 圆心在角的内部：（3）圆心在角的外部。其中，第一种情况是最特殊最容易证明的情况，而其余两种都是转化 为第一种情况加以证明的。通过这三种情况的证明概括得出一般性结论。例1、在半径为1的OO中，弦AB、AC的长分别为命和、任，则ZBAC的度数是。分析：角与圆心的位置关系为圆心在角内部和外部两种情况。解：如图7

8、,当圆心在ZBAC内部时，连接AO并延长交（DO于E同理，在 RtACAE 中，EC = AC,在RtAABE中，由勾股定理得：BE = = -AE.所以ZBAE=30 2所以ZEAC=45 , ZBAC = 30445= 75当圆心O在ZBAC的外部时（ZBAC）,山轴对称性可知:ZBAC=45o-30o=15 所以ZBAC 为 75 或 15七、弦所对的圆周角有两种情况例1:半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为巧，那么这条弦所对的圆周角的度数等于 分析：弦所对的圆周角有两种情况：（1）弦所对的圆周角的顶点在优弧上；（2）弦所对的圆周角的顶点在劣弧上。解：故应填60或120 o例2、圆的一条

9、弦长等于它的半径，那么这条弦所对的圆周角为（）。A.300 或 60B.60C.1500 D.30 或 150练习：一条弦分圆周为3： 5两部分，则这条弦所对的圆周角的度数为 八、点在弧上的位置，需要分类讨论例1：如下图，在平面直角坐标系中，P是经过O （0, 0） , A （0, 2） , B （2, 0）的圆上 的一个动点（P与O、B不重合），则ZOPB=度。（分p在x轴的两侧）九、圆与圆的位置关系例1、已知圆q和圆o?相内切，圆心距为lc”?，圆Q半径为4c”，求圆q的半径。解：（1）当圆是大圆时，则圆O的半径等于大圆半径4cm减去圆心距lcm,求得圆0的 半径为3cm o（2）当圆O?

10、是小圆时，则圆的半径等于小圆半径4cm加上圆心距1cm,求得圆0的半径 为 5cm o所以圆O的半径是3cm或5cm。例2、两圆相切，半径分别为4cm和6cm,求两圆的圆心距。解：（1）当两圆内切时，两圆心的距离等于大圆半径减去小圆半径，即6-4 = 2如。（2）当两圆外切时，两圆心的距离等于大圆半径加上小圆半径，即6 + 4=10“。所以两圆的圆心距是2cm或10cm。例次相交两圆半径分别为5 cm和4cm ,公共弦长6cm,则两圆的圆心距等于分析：注意两圆心在公共弦长两侧和同侧两种情况补充：1、弦所对弧的优劣情况不确定已知横截面直径为100cm的圆形下水道，如果水面宽AB为80cm,求下水

11、道中水的最大深度。20cm 或 80cm2、如图3,ZBAC = 60,则弦AB所对的圆周角等于分析：因弦AB所对的圆周角的顶点未确定。 可能在这个弦切角所夹的弧上，也可能在这个弦 切角所夹的弧以外的弧上。解：（1）当这个圆周角的顶点在弦 切角所夹的弧上时，求得这个圆周角为120%（2）当所求的圆周角的顶点在弦切角所夹的 弧以外的弧上时，求得这个圆周角为60。所以弦AB所对的圆周角等于120。或60。o3、已知圆Q和圆O?相内切，圆心距为Id 圆Q半径为4cm,求圆O的半径。解：（1）当圆Q是大圆时，则圆O的半径等于大圆半径4cm减去圆心距lcm,求得圆0的 半径为3cm o（2）肖圆是小圆时

12、，则圆的半径等于小圆半径4cm加上圆心距1cm,求得圆0、的半径 为5cmo所以圆q的半径是3cm或5cm。4、相交两圆的半径分别为8和5,公共弦为8,这两个圆的圆心距等于o解：（1）当两圆的圆心在公共弦的同侧时，如图，设AB是公共弦，qO?交AB于点C,则 AC = 4,由勾股定理解得qC = 4V3, O2C = 3,故qO2 =4V3-3o、“i两圆的圆心在公共弦的异侧时.如图7,可求得O|C = 4、E O2C = 3.故OO2 =43+ 3oI A 丈3丿所以这两圆的圆心距为4馆+ 3或4巧-3。5、过不在OO上的一点A,作OO的割线，交OO于B、C,且ABAC = 64, OA=1

13、0,则 0O的半径R为o解：依题意，点A与OO的位置关系有两种：(1)点A在O内，如图1,延长AO交(30于F,贝IJ4E = 7? 10, AF = R + O由相交弦定理得:(/?- 10XR + 10)= 64所以R = 2回(负值已舍去)(2)点A在0O夕卜，如图2,此时山割线定理得：(10-/?X10+/?) = 64所以R = 6 (负值已舍去)故O的半径R为2a/5T或6o= 10-/?, AF=0+R6、如图8,在平面直角坐标系中，P是经过O (0, 0) , A (0, 2) , B (2, 0)的圆上的一 个动点(P与O、B不重合),则ZOAB=度，ZOPB=度。解：依题意

14、可知AAOB是等腰直角三角形，所以ZOAB=45当动点P在043上时，ZOPB = ZOAB=45当动点 P 在 03 上时，ZOPB=180 -45 =135故ZOPB 为 45 或 135 o7、已知半径为4和2血的两圆相交，公共弦长为4,则两圆的圆心距为分析：相交两圆圆心的位置有在公共弦的同侧和异侧两种情况。解：如图9、图10,在 RtO.AC 中，OC = A2 - AC2 = V42 -22 = 23在 RtAO2AC 中，O2C = xjo2A2-AC2 = （22 ）2 -22 = 2（1）当圆心q、。2在公共弦AB的同侧时，如图 9qq =OC_O = 2yi_2（2）当圆心q

15、、。2在公共弦AB的异侧时，如图10,O 0 = q C + C = 23 + 2且CD = 6,求AD的长.8、已知在直径AB为13的半圆上有一点C, CD丄AB,垂足为D,131分析：由于6y ,即CDBD）.5135同理可求 0D=-,则 AD=A0+0D= +- =9.故所求的AD的长为4或9.点评：图形的位置关系是儿何研究的重要方面，应考虑到图形所有可能情况，全面性地思考 问题.如：本例中，由于圆的轴对称性，相同长度的弦位置往往不止一个.本题可以拓展到整圆：已知：O0的半径为5, AB为直径，弦CD丄AB, CD二6,则AE二（1或9）9、两圆的半径分别为4和2,如果它们的两条公切线

16、互相垂直，求两圆的圆心距。由切线定理，得：X吐45。ZO.DB= ZOQF = 45。 所以 ZODO2 =90% 0,2） = 472, O、D = 2迈故有 o =Jop+op =2V10（2 ）当内公切线垂直时，如图12 ,O丄QD丄厶,交点为E,则OXO2 = JoQ+O占 =J（4 + 2），+（4 + 2）2 = 6x/2（3）当外公切线垂直时，如图13,作QE丄厶，QF丄厶，QG丄O&于G，则OXO2 = O.G2 +O2G2 = J（OE-GEy 十 EF? = J（4-2+2? = 2210、如图,在平面直角坐标系中，已知OC的半径为r,直线/:y=x-4,与x轴、y轴分别交于A、 B两点.（1）当r=1.5时，将。C从点C与坐标原点重合开始，沿y轴向下运动，当GC与直线1相切时, 点C移动的距离是 6.5或1.5（2）若点C位于坐标原点O,当0C与厶OAB的斜边AB有1个公共点时,r的取值范围是r= 2.4 或 3VrW4 。（3）若点C位于坐标原点O,当。C与AOAB的边有2个交点时,r的取值范围是0VrV24或3 r 4 cm,无若 AB = 4 cm, 1 个若 AB 4 cm, 2 个即以AB为底,2 cm长为腰的等腰三角形构成圆的弦和两条半径，