1.6 测量物体的高度

1、 1、仰角、俯角仰角、俯角： 铅垂线 仰角 俯角 水平线 视线 视线 bA B C a c b a A tan Abatan A a b tan 2、直角三角直角三角形形的边角关系的边角关系： sinA sinA a c cosAcosA b b c c Acasin A a c sin Acbcos A b c cos w活动工具活动工具: :测倾器测倾器( (或经纬仪或经纬仪, ,测角仪等测角仪等),),皮尺皮尺等测等测 量工具量工具. . w活动课题活动课题: :利用直角三角形的边角关系测量物体的高度利用直角三角形的边角关系测量物体的高度. . w活动一活动一: : 30 0 60 90

2、90 60 30 w测量倾斜角测量倾斜角（仰角或俯角）（仰角或俯角） 1.测量倾斜角可以用测量倾斜角可以用 。 简单的侧倾器由简单的侧倾器由 、 和和 组成组成 测倾器测倾器 度盘度盘铅锤铅锤支杆支杆 30 0 60 9090 60 30 30 0 60 9090 60 30 M 水平线 测量倾斜角. w使用测倾器测量倾使用测倾器测量倾 斜角的步骤如下斜角的步骤如下: : 1.1.把支杆把支杆竖直竖直插入地插入地 面面, ,使支杆的中心线使支杆的中心线, , 铅垂线和度盘的铅垂线和度盘的0 00 0刻刻 度线度线重合重合, ,这时度盘这时度盘 的顶线的顶线PQPQ在水平位置在水平位置 2.2.

3、转动度盘转动度盘, ,使度盘使度盘 的的直径直径对准目标对准目标M,M,记记 下此时铅垂线所指的下此时铅垂线所指的 度数度数. . w活动一活动一: :测量倾斜角. w根据刚才测量根据刚才测量 数据数据, ,你能求出你能求出 目标目标M M的仰角或的仰角或 俯角吗俯角吗? ?说说你说说你 的理由的理由. . 1 1 2 2 3 3 30 0 60 9090 60 30 M 水平线 同角的余角同角的余角 相等相等 w活动二活动二: : w所谓所谓“底部可以到达底部可以到达”, ,就是在地面上可以无障碍地就是在地面上可以无障碍地 直接测得直接测得测点测点与与被测物体底部被测物体底部之间的距离之间的

4、距离. . 思考思考：如图如图, ,要测量物体要测量物体MNMN的高度的高度, ,需测量哪些数据需测量哪些数据？ w1.1.在测点在测点A A处安置测倾器处安置测倾器, , 测得测得M M的仰角的仰角MCE=.MCE=. w2.2.量出测点量出测点A A到物体底部到物体底部N N 的水平距离的水平距离AN=L.AN=L. w3.3.量出测倾器的高度量出测倾器的高度AC=aAC=a C A E N M a L L 步骤如下步骤如下: : w测量测量底部底部可以可以到达的物体的高度到达的物体的高度. . 活动二活动二: : a C A E N M L L w根据刚才测量的数据根据刚才测量的数据,

5、,你能求出物体你能求出物体MNMN的高的高 度吗度吗? ?说说你的理由说说你的理由. . 和同伴交流一下你的发现？和同伴交流一下你的发现？ 在Rt MCE中， ME=ECtan=ANtan =Ltan MN=ME+EN=ME+AC=Ltan+ a w测量测量底部底部可以可以到达的物体的高度到达的物体的高度. . 问题问题1 学校操场上的国旗杆要更换，要求新学校操场上的国旗杆要更换，要求新 旗杆与旧旗杆一样高，学校决定把测量旧旗杆旗杆与旧旗杆一样高，学校决定把测量旧旗杆 高的任务交给我们，为了课下顺利完成测量任高的任务交给我们，为了课下顺利完成测量任 务，今天请同学们设计出一套切实可行的测量务，

6、今天请同学们设计出一套切实可行的测量 方案。方案。 测国旗杆的高度测国旗杆的高度 一、测量工具：皮尺（长度用一、测量工具：皮尺（长度用a、 b、c表示）表示） 测倾器（角度用测倾器（角度用 、 、 表示）表示） 二、要求：二、要求：1、设计测量方案、设计测量方案 2、计算、计算 方案一方案一： 在操场上取一点在操场上取一点B，用皮尺测出，用皮尺测出B点到旗杆底点到旗杆底C的距离的距离 BC=a；在；在B点用测倾器测出旗杆顶的仰角点用测倾器测出旗杆顶的仰角 。 B C A a 在在RtABC中中 tan = AC=BCtan =a tan BC AC 自主探索自主探索 方案二方案二： 考虑到测倾

7、器本身有一个高度，因此先量考虑到测倾器本身有一个高度，因此先量 出测倾器的高出测倾器的高CD=b，再量出测倾器到旗杆底，再量出测倾器到旗杆底 的距离的距离BD=a ,测出点测出点C到旗杆顶到旗杆顶A点的仰角点的仰角 。 BD E C A CDBE为矩形， BE=CD=b， CE=BD=a 在RtAEC中， AE=EC tan AB=AE+EB=b+a tan 方案三：方案三： 知道自己的身高知道自己的身高EF为为c,用皮尺量出旗杆的影长用皮尺量出旗杆的影长 BC=a，和人的影长，和人的影长FD=b。 ABC EFD AB= A BC FD E FD BC EF AB b ac 辨析与研讨辨析与

8、研讨 1、从理论上讲方案一可以完成测量任务，但应考、从理论上讲方案一可以完成测量任务，但应考 虑到实际操作中测倾器本身有一个高度，不易实施。虑到实际操作中测倾器本身有一个高度，不易实施。 2、方案二是一个切实可行的方案。、方案二是一个切实可行的方案。 3、方案三由于在测量中涉及到了旗杆和人的影长、方案三由于在测量中涉及到了旗杆和人的影长 数据数据 需知，在实际测量时必须是晴天且影子清晰方需知，在实际测量时必须是晴天且影子清晰方 可实施。可实施。 MN=Ltan+ a L20.06mL19.97mL20.15m AN的长L a 1.22ma 1.21 ma 1.23m 测倾器高a 302 194

9、9 3015 倾斜角 平均值第二次第一次测量项目 测量学校旗杆的高度(底部可以到达)课题课题 测测 量量 示示 意意 图图 测测 得得 数数 据据 计计 算算 过过 程程 活活 动动 感感 受受 C a AN E M L 在在Rt MCERt MCE中，中，ME = ECtan= ME = ECtan= ANtan=20.6ANtan=20.6tan30tan3022 20.620.60.578=11.60m,0.578=11.60m, MN=ME+EN=ME+AC=11.60+1.22=12.82mMN=ME+EN=ME+AC=11.60+1.22=12.82m 思考思考: : w所谓所谓“

10、底部不可以到达底部不可以到达”, ,就是在地面上就是在地面上 不能直接不能直接测得测得测点测点与与被测物体底部被测物体底部之间的之间的 距离距离. . w要测量物体要测量物体MNMN的的 高度高度, ,使用侧倾器使用侧倾器 测一次仰角够吗？测一次仰角够吗？ a E C AN M 如何测量如何测量底部不可以到达的物体的高度底部不可以到达的物体的高度. 活动三活动三: :测量测量底部不可以底部不可以到达的物体的高度到达的物体的高度. . 要测量物体要测量物体MNMN的高度的高度, ,测一次仰角是不够的测一次仰角是不够的. . ab E C A D B N M 还需哪些条件，测量哪些数据？还需哪些条

11、件，测量哪些数据？ 想一想 (p19) 活动三活动三: : 测量测量底部不可以底部不可以到达的物体的高度到达的物体的高度 ab b E C A D B N M w如图如图, ,要测量物体要测量物体MNMN的高度的高度, ,可以按下列步骤进行可以按下列步骤进行 : : w1. 1.在测点在测点A A处安置测倾器处安置测倾器, ,测得测得M M的仰角的仰角MCE=.MCE=. w2.2.在测点在测点A A与物体之间的与物体之间的B B处安置测倾处安置测倾器器(A,B(A,B与与N N 在一条直线上在一条直线上),),测得测得M M的仰角的仰角MDE=.MDE=. w3.3.量出测倾器的高度量出测倾

12、器的高度AC=BD=a,AC=BD=a,以及测以及测 点点A,BA,B之间的距离之间的距离AB=b.AB=b. w根据测量数据根据测量数据, ,你能你能 求出物体求出物体MNMN的高度吗的高度吗 ? ?说说你的理由说说你的理由. . 想一想 (p19) w活动三活动三: : w根据测量数据根据测量数据, ,物体物体MNMN的的 高度计算过程：高度计算过程： a b E C A D B N M b a aMEME tantan tantan 在Rt MDE中， ED= 在Rt MCE中， EC = EC-ED= =b tan ME a ME tan a ME tan tan ME b a aME

13、 tantan )tan(tan a ab ME tantan tantan a tantan tantan a ab MN 测量测量底部不可以底部不可以到达的物体的高度到达的物体的高度. . 如图，某中学在主楼的顶部和如图，某中学在主楼的顶部和 大门的上方之间挂一些彩大门的上方之间挂一些彩 旗经测量，得到大门的高度旗经测量，得到大门的高度 是是m m，大门距主楼的距离是，大门距主楼的距离是 30m30m，在大门处测得主楼顶部，在大门处测得主楼顶部 的仰角是的仰角是3030，而当时侧倾器，而当时侧倾器 离地面离地面1.4m,1.4m,求学校主楼的高求学校主楼的高 度度( (精确到精确到0.01

14、m)0.01m) 解：如图，作解：如图，作EMEM垂直垂直CDCD于于M M点点, ,根据题意，可知根据题意，可知 EB=1.4mEB=1.4m，DEM=30DEM=30,BC=EM=30 m, CM=BE=1.4m,BC=EM=30 m, CM=BE=1.4m 在在RtRtDEMDEM中，中，DM=EMtan30DM=EMtan3030300.5770.5774 4 17.3217.322 2(m)(m) CD=DM+CM=17.32CD=DM+CM=17.322 2+1.4+1.418.72(m)18.72(m) M 1、凡是求高（求线段的长）的问题往往可、凡是求高（求线段的长）的问题往往

15、可 以借助解直角三角形来解决，如果没有直角以借助解直角三角形来解决，如果没有直角 三角形可以设法去构造。三角形可以设法去构造。 2、对于一些较复杂的问题，如果解一个、对于一些较复杂的问题，如果解一个 直角三角形还不能使问题得以解决，可考虑直角三角形还不能使问题得以解决，可考虑 解两个直角三角形解两个直角三角形。 3、如果不能直接通过解直角三角形处理问题，、如果不能直接通过解直角三角形处理问题， 可以去寻找已知与未知之间的等量关系，借助解可以去寻找已知与未知之间的等量关系，借助解 直角三角形建立方程，从而使问题得以解决。直角三角形建立方程，从而使问题得以解决。 反反 思思 与与 评评 价价 4.4.到目前为止，你有哪些测量物体高度的方法？到目前为止，你有哪些测量物体高度的方法？ 测量底部可以到达的测量底部可以到达的 物体的高度，如左图物体的高度，如左图 课内拓展应用课内拓展应用 1.1.大楼大楼ADAD的高为的高为100100米米, ,远处有一塔远处有一塔BC,BC,某人在楼底某人在楼底 A A处测得塔顶处测得塔顶B B处的仰角为处的仰角