1.[GHY_]傅里叶变换

1、/*感谢各位读者，笔者愿意将自己的理解分享出来，如有纰漏，还望见谅，并联系笔者进行更正。百度帐号：不会笑的丑小鸭。各大论坛帐号名均为roarghy。 -roarghy1. 共三篇来说明傅立叶变换和拉普拉斯变换：l 1.GHY_傅里叶变换.docl 2.GHY_拉普拉斯变换.docl 3.GHY_傅里叶和拉布拉斯变换的物理意义.doc2. 本文的编写源于复变函数与积分变换（第三版）高等教育出版社的第8章*/傅里叶变换1.周期函数的傅里叶级数1.1 傅里叶这个人首先提出一个定理：周期函数可以表示为单纯的正弦和余弦之和。定理8.1（傅里叶级数的三角形式）：1.2 为了更加直观的刻画物理意义，将（8.

2、1）式进行化简：根据上式得到了一些重要结论，而这个结论就是工程中对信号分析的理论依据：如果以代表信号，则（8.1）式说明，一个周期为T的信号可以分解为简谐波之和。这些谐波的（角）频率分别为一个基频的倍数。换句话说，信号并不含有各种频率成分，而仅有一些列具有离散频率的谐波所构成，其中An反映了频率为的谐波在中所占的份额，称为振幅；则反映了频率为的谐波沿时间轴移动的大小，称为相位。这两个指标完全刻画了信号的性态。但不难发现，虽然物理意义明确无疑。但各次谐波的振幅和相位的求解较为复杂，需要套入公式逐一对各次谐波进行计算才能得到其振幅和相位。在工程实践中难以推广，仅仅停留在理论阶段。为了解决这个问题，

3、就要考数学家的聪明才智了（往下看）。1.3将傅里叶级数的三角形式通过欧拉公式表示为傅里叶级数的复指数形式：欧拉公式：傅里叶级数的复指数形式：对复指数形式进行进一步化简：对于傅里叶级数的复指数形式（8.2）式，这个式子完全是为了能够得到各次谐波的振幅和相位具有实际意义的表达式而采用“复指数”的理论知识将（8.1）式化简与形式变化的结果。从（8.2）式已经完全看不出“物理意义”的踪影了。（8.2）式的自变量是t，但如果将视为自变量时，由于n的取值的关系，可能为负值，即负（角）频率。我们知道，正弦信号的频率哪里会有负值存在呢！可见，这是对（8.1）式进行变换之后出现的有悖于事实的现象。但这并不妨碍在

4、数学理论的角度上进行理解，虽然在实际物理意义上是有悖于事实。对于周期函数而言，其可表示为各次谐波的叠加之和。而各次谐波的振幅和相位的表达式可以由（8.2）式中的Cn来表示：Cn的模就表示振幅，Cn的幅角就是相位。观察（8.3）式给出Cn表达式，式子中虽然含有变量t，但由于是对变量t的积分，积分后实质上是不含有变量t的。而是将Cn表达式看做是自变量为的表达式。这样一来，Cn就是:以信号各次谐波的（角）速度为自变量,反映各次谐波振幅和相位的关系式。并且务必注意到Cn是一个复数，其模就是信号各次谐波的振幅，其幅角就是信号各次谐波的相位。（8.3）式是容易求解出来的。这就解决了在1.2节中求解各次谐波

5、中振幅和相位的问题了。在对比一下式(8.1)的简化形式，发现cn的模正好是各个简谐波的幅值的一半，而辐角正好是简谐波的初相。所以，我们通过研究傅里叶复指数形式的cn就能达到研究简谐波幅值和初相的目的，即系数cn完全刻画了信号fT(t)的频率特性。因此将cn称为周期函数的离散频谱，|cn|为离散振幅谱，arg cn为离散相位谱。观察式(8.3)可知，cn是频率n0的函数，因此为了进一步明确cn与频率n0的对应关系，常常记Cn=F(n0)。总结，在工程应用中，更多的是使用傅里叶级数的复指数形式对周期信号fT(t)进行分析，根据式8.2和8.3求出fT(t)的复指数形式，然后找到对应的cn，进而求出

6、其模和辐角，这就达到了研究周期信号的振幅谱和相位谱的目的了。至此，研究周期信号的各次谐波分量（振幅和相位）具有了在理论上和实际上的可操作性。但对于实际工程项目而言，信号往往是非周期信号。因此迫切需要研究非周期信号各次谐波分量的理论知识与实践。借助于对周期信号的研究，非周期信号的理论研究就有点水到渠成的意味了。2.非周期函数的傅里叶积分2.1我们知道了一个周期函数可以展开为傅里叶级数，那么，对非周期函数是否同样适合呢?下面先直观地分析一下.从物理意义上讲，傅里叶级数展开说明了周期为T的fT(t) 仅包含离散的频率成分，即它可由一系列以0=2/T为间隔的离散频率所形成T的简谐波合成(求和) ，因而

7、其频谱以0为间隔离散取值.当T越来越大时，取值间隔0越来越小;当T趋向于无穷大时，周期函数变成了非周期函数，其频谱将在上连续取值，即一个非周期函数将包含所有的频率成分.这样离散函数的求和就变成连续函数的积分了。2.2对比一下周期函数的傅里叶级数公式和非周期函数的傅里叶积分公式，其结构成分均有对应关系：F()对应的就是cn。非周期函数fT(t)周期函数f(t)cn 周期函数的离散频谱F() 频谱密度（简称频谱、连续频谱）|cn| 离散振幅谱|F()| 幅度谱arg cn 离散相位谱arg F() 相位谱至此，工程中的信号无论是否为周期函数，都可以看做简谐波叠加而成的。当信号是周期函数时，简谐波是

8、离散的，求取傅里叶级数的复指数形式，通过cn来研究离散的简谐波。当信号是非周期函数时，简谐波是连续的，求取傅里叶积分公式，通过F() 来研究连续的简谐波。cn或F()，这两个量都是的函数。且其模就是谐波分量的振幅，其辐角就是谐波分量的初相。总结，在时域上信号f(t)或fT(t)可以看做各次谐波分量叠加而成。既然信号f(t)或fT(t)可以看做是各次谐波分量叠加而成，并且谐波的三要素-初相（即相位）、（角）速度和振幅完全能刻画出谐波的所有特性。那我们换个视角来重新审视一下f(t)或fT(t)：以各次谐波的角速度为自变量，以各次谐波的振幅以角速度为自变量，各次谐波的振幅为因变量的函数以及以角速度为

9、自变量，各次谐波的初相（即相位）为因变量的函数来刻画由各次谐波组成的信号f(t)或fT(t)。纯粹从数学的角度来看，傅里叶变换就是将一个用时间域（自变量为t）表示的信号f(t)或fT(t)转化为用频率域（自变量为）表示的函数F()或Cn。傅里叶变换能完成的前提是f(t)或fT(t)满足狄利克雷条件并在绝对可积【定理8.2】。F()是个“自变量为实数、因变量为复数”的函数。F()亦可以看做是“自变量为复数、因变量为复数”的函数F(j)。不难看出，F(j)的自变量范围仅仅为整个复平面的Y轴而言。因此，傅里叶变换可以认为是将时间域（自变量为t）表示的函数f(t)转化为自变量范围位于“复频域+j”的Y

10、轴（自变量为j）上的函数F(j)。通常情况下，F(j)简写为F()。必须注意到，虽然周期信号和非周期信号都可以看做是谐波的叠加并都有理论依据，但各自为政，能不能将二者统一起来呢？详见第3节。2.3具有特定研究意义的非周期信号2.3.1脉冲信号2.3.2频谱函数为脉冲函数（注意与3.1对比，观察各自的f(t)和F()波形情况）其f(t)的复式积分表达式：2.3.3单边指数衰减函数3.冲激函数3.1冲激函数的意义通过引入冲激函数，可以将离散值以连续形式表达，这样便可以使用傅里叶积分的相关知识了。例8.6通过冲激函数将离散值表示成了连续函数。例8.9中周期信号的F()是离散值，但是通过冲激函数却表示成了连续函数的形式。所以，冲激函数的作用就是经离散值以连续的形式进行表达。其效果就是经周期信号和非周期信号统一起来了：周期信号同样可以使用傅里叶积分公式，而不再使用傅里叶级数表达式。如下给出一个定理：3.2冲激函数的性质以及傅式变换4