1.6《三角函数模型的简单应用》

1、1.61.6三角函数模型的简单应三角函数模型的简单应 用用 1.1.通过对三角函数模型的简单应用的学习，通过对三角函数模型的简单应用的学习， 初步学会由图象求解析式的方法；初步学会由图象求解析式的方法； 2.2.体验实际问题抽象为三角函数模型问题的体验实际问题抽象为三角函数模型问题的 过程；过程； 3.3.体会三角函数是描述周期变化现象的重要体会三角函数是描述周期变化现象的重要 函数模型函数模型 在我们现实生活中有很多现象在进行周而复始地变化，用在我们现实生活中有很多现象在进行周而复始地变化，用 数学语言可以说这些现象具有周期性，而我们所学的三角数学语言可以说这些现象具有周期性，而我们所学的三

2、角 函数就是刻画周期变化的典型函数模型，比如下列现象就函数就是刻画周期变化的典型函数模型，比如下列现象就 可以用正弦型函数模型来研究，这节课我们就来探讨三角可以用正弦型函数模型来研究，这节课我们就来探讨三角 函数模型的简单应用函数模型的简单应用. . ) 0, 0( )sin( A xAy 正弦型函数 1、物理情景 简谐运动 星体的环绕运动 2、地理情景 气温变化规律 月圆与月缺 3、心理、生理现象 情绪的波动 智力变化状况 体力变化状况 4、日常生活现象 涨潮与退潮 股票变化 例1 如图，某地一天从614时的 温度变化曲线近似满足函数: sin()yAxb T/ 10 20 30 ot/h6

3、1014 思考1：这一天614时的最大温差是 多少？ 思考2：函数式中A、b的值分别是多少？ 3030-10-10=20=20 A=10,b=20.A=10,b=20. 思考3：如何确定函数式中 和 的值? 12 146, 2 . 8 6,10.xy 3 将代入上式，解得 4 例1 如图，某地一天从614时的 温度变化曲线近似满足函数: sin()yAxb T/ 10 20 30 ot/h61014 思考4：这段曲线对应的函数是什么？ 思考5：这一天12时的温度大概是多少（）？ 27.07. 27.07. 3 10sin()20,6,14 84 yxx 综上，所求解析式为 一般的，所求出的函数

4、模型只能近似刻画这天某个时刻 的温度变化情况，因此应当特别注意自变量的变化范围. 方法小结： maxmin 1 , 2 Af xf x maxmin 1 2 bf xf x 2 T 利用求得， ,利用最低点或最高点在图象上 该点的坐标满足函数解析式可求得, 注意通常 函数 的最小值是2，其图象相邻的最高点与最低点横坐标差 是3，且图象过点(0,1)，求函数解析式. sin(),(0,0,| |) 2 yAxA 1 2sin() 36 yx 练习练习1 1： A 例2 如图，设地球表面某地正午太阳高度角为， 为此时太阳直射纬度，为该地的纬度值，那么 这三个量之间的关系是 90| |.当地 夏半年

5、取正值，冬半年取负值. 太阳光 太阳光 90| 地心 北半球 南半球 太阳高度角的定义 如图，设地球表面某地纬度如图，设地球表面某地纬度 值为值为 ，正午太阳高度角为，正午太阳高度角为 ，此时太阳直射纬度为，此时太阳直射纬度为 ，那么这三个量之间的，那么这三个量之间的 关系是关系是 。当地。当地 夏半年夏半年取正值，冬半年取正值，冬半年 取负值。取负值。 90| o 太阳光 90 90| 90| o 地心 太阳光直射南半球 分析：分析：根据地理知识，能够被太阳直射到的地区为根据地理知识，能够被太阳直射到的地区为 南，北回归线之间的地带南，北回归线之间的地带.画出图形如下，由画图易知画出图形如下

6、，由画图易知 A B C H 如果在北京地区（纬度数约为北纬如果在北京地区（纬度数约为北纬40）的一幢高为）的一幢高为H 的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被 前面的楼房遮挡，两楼的距离前面的楼房遮挡，两楼的距离应应不小于多少？不小于多少？ 解：如图，A、B、C分别为太阳直射北回归线、赤道、南回 归线时，楼顶在地面上的投影点，要使新楼一层正午的太 阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情 况考虑，此时的太阳直射纬度为-2326，依题意两楼的间 距应不小于MC. 根据太阳高度角的定义，有C=90-|40-(-2326)|=

7、2634 所以， 2.000 tantan26 34 HH MCH C 即在盖楼时，为使后楼不被前楼遮挡，要留出相当于楼高两 倍的间距. 将实际问题抽象为三角函数模型的一般步聚: 理解题意 建立三角函 数模型 求解还原解答 例3 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫 潮汐，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在 涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在落潮时返回海洋， 下面是某港口在某季节每天的时间与水深的关系表： 时刻水深（米）时刻水深（米）时刻水深（米） 0:005.09:002.518:005.0 3:007.512:005.021:002.5 6:005.015:007.

8、524:005.0 （1）选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关 系，并给出整点时的水深的近似数值.（精确到0.001） （2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全 条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），该 船何时能进入港口？在港口能呆多久？ （3）若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2:00 开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什 么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？ 根据图象，可以考虑用函数 来刻画水深与时间之间的对应关系.从数据和图象可以得出： sin()yAxh 解：（1）以时间为横坐标，水深为纵坐标，在

9、直角坐标 系中画出散点图. A=2.5,h=5,T=12, =0; 2 12T 由 ，得 . 6 所以，这个港口的水深与时间的关系可以近似描述为： 2.5sin5 6 yx 由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值： 时 刻 0.001:002:003:004:005:006:007:008:009:0010:0011:00 水 深 5.0006.2507.1657.5007.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.754 时 刻 12.0013:0014:0015:0016:0017:0018:0019:0020:0021:0022:0023:00 水 深 5.

10、0006.2507.1657.5007.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.754 （2）货船需要的安全水深为 4+1.5=5.5 （米），所以 当y5.5时就可以进港.令 化简得 2.5sin55.5 6 x sin0.2 6 x 由计算器计算可得0.2014,0.2014 66 xx 或 x x 36 912 151821 24 O y 2 4 6 ABCD 解得0.3848,5.6152 AB xx 因为 ，所以由函数周期性易得0,24x 120.384812.3848, 125.615217.6152. C D x x 因此，货船可以在凌晨零时30分左右进港，早晨5时30 分左右出港；或在中午12时30分左右进港，下午17时30 分左右出港，每次可以在港口停留5小时左右. （3）设在时刻x船舶的安全水深为y，那么y=5.5-0.3(x-2) (x2), 在同一坐标系内作出这两个函数的图象，可以看到在67时之 间两个函数图象有一个交点. 通过计算可得，在6时的水深约 为5米，此时船舶的安全水深约为 4.3米；6.5时的水深约为4.2米，此 时船舶的安全水深约为4.1米；7时 的水深约为3.8米，而船舶的安全 水深约为4米，因此为了安全，船 舶最好在6.