平面向量及其加减运算(学生版)

1、初中数学 备课组教师班级初二学生日期教学内容上课时间 平面向量及其加减运算【知识结构 】 【要点点拨】 一平.平面面向向量量 1.有向线段平面向量的概念 平面向量的加法 平面向量的减法规定了方向的线段叫做有向线段。2.向量既有大小又有方向的量叫做向量。向量的大小也叫做向量的长度。（或向量的模）3.向量的表示（1）向量可以用有向线段直观表示1 有向线段的长度表示向量的长度；2 有向线段的方向表示向量的方向。（2）常见的表示方法uuur uuur向量 ab ，长度记为 ab ；r r r r r r向量 a 、 b 、 c ，长度记为 a 、 b 、 c 。4.相等的向量方向相同且长度相等的两个向

2、量叫做相等的向量。5.相反的向量方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反的向量。6.平行向量方向相同或相反的两个向量叫做平行向量。例 1:判断下列语句是否正确：（1） 用有向线段表示向量时，起点不同但“同向且等长”的有向线段表示相等的向量。（2） 表示两个向量的有向线段具有同一起点，那么当两个向量不相等时，两个有向线段的终点有可能相 同。uuur uuur（3） 向量 ab 与向量 ba 是同一个向量。（4） 相等向量一定是平行向量。（5） 互为相反的向量不一定是平行向量。（6） 平行向量一定是相等向量或互为相反的向量。例 2:在梯形 abcd 中， ad / bc ， ab cd ， de

3、/ ab ，点 e 在 bc 上，如果把图中线段都画成有向 线段，那么在这些有向线段表示的向量中，指出（用符号表示）。第 1 页adb cuuur（1）所有与 ab 相等的向量。（2） 所有与（3） 所有与uuurabuuurad互为相反的向量。平行的向量。二.平面向量的加法1.向量的加法求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法。2.零向量r r r长度为零的向量叫做零向量，记作 0 。规定 0 的方向可以是任意的（或者说不确定）；0 =0 。r r r因此，两个相反向量的和向量是零向量，即： a +( -a) =0 。r r r r r r对于任意向量，都有 a +0 =a ， 0 +a =a

4、 。r r r r3.向量的加法满足交换律： a +b =b +a 。r r r r r ur4. 向量的加法满足结合律： ( a +b ) +c =a +(b +c ) 。5. 向量加法的三角形法则求不平行的两个向量的和向量时，只要把第二个向量与第一个向量首尾相接，那么以 第一个向量的起点为起点、第二个向量的终点为终点的向量就是和向量。6.向量加法的多边形法则几个向量相加，可把这几个向量首尾顺次相接，那么以第一个向量的起点为起点、最 后一个向量的终点为终点的向量，就是这几个向量的和向量。r r r r例 1 如图，已知向量 a 与 b ，求作 a +b 。例 2 计算：（1）uuur uuu

5、rab +bc =；uuur uuuroe +ef =.（2）uuur uuur uuur ae +fc +ef =。（3）uuur uuur uuur uuur uuur ab +bc +cd +de +ef =。三、平面向量的减法1.向量的减法已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个向量的运算叫做向量的减法。r r r r减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，即： a -b =a +( -b) 。2.向量减法的三角形法则在平面内取一点，以这个点为公共起点作出这两个向量，那么它们的差向量是以减向 量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量。第 2 页aba3.向量加法的平行四边形法则r r

6、如果 a ， b 是两个不平行的向量，那么求它们的和向量时，可以在平面内任取一点为r r公共起点作两个向量与 a ， b 相等，以这两个向量为邻边作平行四边形，然后以所取的公r r共起点为起点，作这个平行四边形的对角线向量，则这一对角线向量就是 a ，b 的和向量， 这个法则叫做向量加法的平行四边形法则。r r4.另外一个对角线向量，即是 a ， b 的差向量，这个差向量与被减向量共终点。例 1如图，在图中画出向量uuur uuurab -ac 。uuur uuur uuur uuur 例 2 计算： ab -cb +cd -ed =c。例 3如图，多边形abcdef是正六边形，设uuur r

7、 uuur r ab =a ，bc =b。试用向量ra和rb表示向量uuuroauuur，oc，uuuroe。aba f巩固练习 一、填空题ob e1.已知下列各量:体积、人口数量、风速、重力、用水量、拉力，其中向量有r r r r2. 已知向量 a 与向量 b 是互为相反的向量，如果 a =kb ，那么 k = . r r r r3. 如果 a 与 b 互为相反的向量，则 a +b = .uuur uuur uuur4.已知平行四边形 abcd 中，向量 ac ， da ， bd 的和为 .dcdc.5.如右图，梯形 abcd 中， ab / dc ，点 e 在 ab 上， ec / ad

8、，则6.在uuur r uuur r uuury abcd 中，若 ad =a ， ab =b ，则 db =r r（ 用 和 表示）。 ebuuur r uuur r uuur7.如图，四边形 oacb 是平行四边形，ab、oc 是对角线。如果 oa =a ， ob =b ，那么 oc = ，uuurab= 。b c二、选择题1.下列句子正确的是（ ）a. 向量是描述“两个点得分相对位置差”的量b. 向量与“平移”没有关系c. 有向线段表示同一个向量必须起点相同且“同向等长”oad.两条不同的有向线段分别表示的向量一定不是相等向量r r r r r r r r2.下列关于 a 、 b 的式子

9、： a / b ； a =-b； a +b =0；r ra = b。如果ra、rb互为相反向量，那么上面式子中正确的个数为（ ）a.1 个 b.2 个 c.3 个 d.4 个3.下列命题中，假命题的是（ ） r r r r ra.若 a -b =0 ，则 a =bb.若r ra =-b，则r ra / b第 3 页fc.若r ra =b，则r ra / bd.若r ra = b，则r ra =b4.下列判断中，不正确的是（ ）uuur uuur uuur uuur a.如果 ab =cd ，那么 ab =cdb.uuur uuur ab +ba =0c.r r r r r r a +b +c

10、=c +b +ad.r r r r r r a +(b +c ) =( a +b ) +c5.下列命题中，假命题的是（ ）a.零向量没有方向 b.零向量和任意向量平行r r r r r rc. a +b =b +a d.如果 a =k b(k 0) ，那么r ra / b6.若 o 是等边三角形 abc 的三边上的高的交点，则向量uuur uuur uuur ao , ob , oc是（ ）a.起点相同的量 b.平行的量 c.模相等的向量 d.相等的向量7.在平行四边形中，下列等式成立的是（ ） uuur uuura. ab +cd =0b.uuur uuur uur ad +ab =caad

11、c.uuur uuur uuur ad -ab =dbd.uuur uuur r ab +cd =0boc8.如图，梯形 abcd 中，ad/bc，ac、bd 相交于 o，下列命题正确的个数是（ ） uuur uuur uuur uuur若 ab = dc ，则梯形是等腰梯形； 若 ob = oc ，则梯形是等腰梯形；uuur uuur uuur uuur uuur uuur若梯形是等腰梯形，则 ab =dc 若 ab = dc ，则 ac = db 。aoda.1 个 b.2 个 c.3 个 d.4 个 三、解答题1.用有向线段（比例尺1:100 ）表示两个点的相对位置。b c（1）点a在点

12、b的正南 250 米处。（2）点 c 在点 b 的东北 150 米处。（3）点d在点b的南偏东30o方向的 3 米处。2.如图，等边 vabc 中， d 、 e 、 f 分别是 ac 、 ab 、 bc 的中点，图中点的边都看成有向线段，那么（1）与 ed 相等的线段有 条。uuur（2）写出与向量 de 相等的向量。uuur（3）写出与向量 de 平行的向量。ae d3.某人从 a 出发向西走了 200 米到达点 b ，然后改变了方向向北偏西 60o 走了 450 米到达点 c ，最后又b c改变方向，向东走了 200 米到达点 d 。uuur uuur uuur（1）作出向量 ab 、 b

13、c 、 cd （比例尺为1:10000 ）。uuur（2）求 da 。r r r4.如图，已知 a ， b ， c ，求作：r r r a +c +b。5.如图，已知在梯形 abcduuur uuur（1）填空： cd +de =uuur uuur（2）求作： ab +ad 。中，ad / bc ，点 e 在边 bc 上，联结 uuur uuur uuur uuur； bc +ab +da +ce =de，aca。d第 4 页be cc5.计算：r r r r r r 6.已知 a ， b ，用平行四边形法则求（1） a +b 。（2） a -b 。7.如图，点 e 在 y abcd 的对角线

14、 bd 上。uuur uuur uuur uuur（1）填空： bc +ba = ； bc -ae =uuur uuur（2）求作： bc +ae 。aaeb d8.如图，点b、d在平行四边形aecf的对角线ef上，且eb =dfb，设uuur r uuur r uuur r ec =a ，ea =b , ad =c。r r（1）填空： a -b =r r（2）求作： a +c 。 家庭作业；r rb +c =。ebacdf一.填空题uuur uuur uuur1.在四边形 abcd 中，如果 ab =dc ，那么与 cb 相等的向量是 .2.用向量的形式添加一个条件 ，使四边形 abcduu

15、ur uuur uuur uuur3.计算： ab +bc +cd +de = .r r r r4. a =8 ，方向向西， b =5 ，方向向东，则 a +b =是平行四边形.uuur uur uuur（1） oa -ca -oc = uuur uuur uuur uuur（3） ab -de -cd +be =. （2）. （4）uuur uuur uuurao -ad +oc = uuur uuur uuur uuur ac +ba +ck -bk =.6.已知y abcd中，若uuur rab =a，uuur rad =b，那么用r ra 和 b表示向量uurca= .7.已知：矩形

16、abcd，对角线 ac、bd 相交于点 o。（1）利用图中的向量表示：uuur uuurbc +cd =.ad（2）利用图中的向量表示：uuur uuurao -ad =.o（3）如果uuurab =5,uuurbc =12,则uuurbo =.bc二.选择题r1. a 的负向量是（ ）ra.与 a 方向相反的量 b.与ra符号相反的向量rc.与 a 反向且大小相等的量 d.以上均不对uuur uuur2.如果 ab =cd ，那么下列结论中，正确的是（ ）uuur uuur uuur uuur uuur uuura. ac =db b. ad =bc c. ad =cbr r3.若非零向量

17、b 是 a 的相反向量，则下列说法不正确的是（ ）r r r ra. a 与 b 的模不一定相等 b. a 与 b 平行r r r rc. a 与 b 一定不相等 d. a 也是 b 的相反向量uuur uuur uuur4.在四边形 abcd 中，向量 ab 、 bc 、 cd 的和向量是（ ）第 5 页d.uuur uuurac =bdob eobuuur uuur uuura. ac b. da c. bd d.r r5.两个非零向量 a ， b 互为相反向量，则下列各式正确的个数是（ ）uuurada.1 个 b.2 个 c.3 个 d.4 个 6.下列计算中，错误的是（ ）a.c.u

18、uur uuur uuurab +bc =ac uuur uuur uuur uuurab +bc +ba =bcb.d.uuur uuur uurab +bc +ca =0 uuur uuur uuur uuurab -cb -dc =ad7.下列等式中，不正确的是（ ）a.c.r r r ra +( -b) =a -br r r r r r ( a +b ) +c =a +( b +c )b.d.r r -(-a) =ar r r a +( -a) =0三简答题uuur r uuur r uuur uuur1.如图，多边形 abcdef 是正六边形，设 ab =a ， bc =b 。找出图中与 ab 、 bc 相等的向量。 2.已知在梯形 abcd 中， ad / bc ( ad bc ) ， m 是 bc 的中点，联结 am 和 dma 。画出图形f，uuur并写出所有与 ad 平行的向量。r r r r3.如图，已知