新人教版八年级数学下册《十七章　勾股定理 17.1.2勾股定理应用利用勾股定理解决平面几何问题》教案_11

1、17.1勾股定理第1课时 教学设计一、【教材分析】勾股定理历史悠久，是初中数学中非常重要的一个结论，称为“几何学的奠基”，在数学学习中有重要地位。它将数与形密切地联系起来，揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系，是后续学习解直角三角形的基础，在数学的发展中起着重要的作用，在现实世界中有着广泛的应用。二、【学习目标】知识与技能:1.掌握勾股定理的内容,会用面积法证明勾股定理.过程与方法:1.经历观察猜想归纳验证的数学发现过程.2.发展合情推理的能力,体会数形结合和由特殊到一般的数学思想,树立数形结合、分类讨论的意识.www.z%#&zste*情感态度与价值观：通过对勾股定理历史的了解和实例应用,

2、体会勾股定理的文化价值;通过获得成功的经验和克服困难的经历,增强学习数学的信心,激发学生的民族自豪感和爱国情怀.来源:&%中三、【学习重、难点】重点：知道勾股定理的内容,并能应用其进行简单的计算和实际运用.难点：勾股定理的灵活运用.四、【教学准备】教师准备：教学中出示的教学插图和例题.学生准备：拼图卡片五、【教学过程】（一）创设情境，激发兴趣欣赏古诗，并思考诗句最后给我们提的问题（课件展示文字并配有诗朗诵）印度数学家什迦逻（1141年-1225年）曾提出过“荷花问题”： “平平湖水清可鉴，湖中红莲四尺高。 出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边。 渔人观看忙向前，花离原位二尺远。 能算诸君请解题，湖水

3、如何知深浅? ”用课件展示古诗动画，师生一起欣赏，并引导学生分析诗句最后的问题。设计意图：本节课是本章的起始课，从古诗欣赏开始，迅速的将学生的注意力集中到本节课的内容上，把他们的思维带进特定的学习情境中，并给学生制造了悬念，激发了学生浓厚的学习兴趣和强烈的求知欲，使学生的学习状态由被动变为主动。由问题引入新课-勾股定理（板书课题）（二）合作交流，探索新知1、观察特例，感受新知 相传2500多年前,毕达哥拉斯有一次在朋友家作客时,发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系。聪明的同学，让我们也来观察一下地面的图案，你能从中发现什么数量关系吗？学生自学课本P22-23页“思考、

4、探究”内容， 独立完成导学案中两个探究 探究一：观察等腰直角三角形三边之间的特殊关系（1）图中的小直角三角形都是什么三角形？它们都全等，所以它们的面积都_.（2）你发现图中三个正方形A、B、C的面积之间有何关系?（3）你发现图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系?学生发现归纳: 等腰直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.设计意图：这个探索活动是学习、探索勾股定理的基础.借助三个正方形面积之间的关系,探索等腰直角三角形三边的数量关系,这是本活动的出发点.提出追问的问题,有助于学生的认识上升到整个直角三角形的一般性的高度,也为学生有个性的创意活动搭建了平台.2、类比探

5、究、发现新知等腰直角三角形是特殊的直角三角形，那么一般的直角三角形是否也具有上述特征呢？探究二、探索具体边长的非等腰直角三角形三边之间的关系.（学生利用手中的图形进行讨论） 如图，每个小方格的边长均为1.（1）计算图中正方形A、B、C的面积.A的面积B的面积C的面积上图91625（2）图中正方形A、B、C面积之间有何关系？（3）图中正方形A、B、C所围成的直角三角形三边之间有什么关系？(4)如何计算正方形C的面积？（小组交流讨论）方法一：将正方形C补成一个更大的正方形（补）方法二：将正方形C割成四个全等的直角三角形和一个小正方形（割）师总结：数学思想方法转化思想，求面积的方法割补法学生归纳：在

6、一般的直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方设计意图：让学生从等腰直角三角形再到直角边为3、4的直角三角形的探究，猜想出一般直角三角形的三边关系，渗透了从特殊到一般的数学思想，让学生感受数学发现的一般过程，在计算正方形C的面积时让学生掌握求图形面积常用的割补法，领会化归的数学思想。3、巧用面积，证明新知师引导提问：由以上两个结论会有什么样的猜想？猜想: 在所有的直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方探究 三(学生自学课本P23-24，掌握赵爽利用弦图证明勾股定理的方法 )到目前为止，对这个命题的证明方法已有几百种，下面我们就来看一看我国数学家赵爽是怎么证明这个命题的。S1=a2+b2

7、S2=c2师动态演示，介绍这个游戏为赵爽证明勾股定理的方法，是我国古代数学的骄傲。提出问题：你还有其它的方法来证明勾股定理吗？ 小组活动：通过动手合作拼正方形，并利用所拼成的图形完成此猜想的证明，学生探索后展示自己的拼图，解释自己的想法。提示：可以把你拼成的图形看作一个整体，也可以看作多个图形的组合。图例：思路一：如左图，（a+b）2=c2+12ab4，整理得：a2+b2=c2思路二：如右图，c2=(a-b)2+12ab4，整理得： a2+b2=c2如果学生拼图效果较好，教师直接利用希沃助手软件辅助教学，展示学生成果，让学生写出证明过程，如果学生拼图有困难，教师可提示：我们可以利用前面所学的求

8、正方形C的面积的拼图让学生证明。其实勾股定理的证法有很多，要想多了解，请课外阅读课本P30阅读与思考设计意图：让学生通过动手拼图尝试证明，引导学生利用面积法验证得到的猜想，定理的证明水到渠成，通过多种证法让学生感受面积法证明的关键是：利用两种不同的方法表示同一图形的面积，通过了解到古今中外无数人进行证明,激发学生学习数学的热情.以上猜想经过古今中外的人多次证明都是成立的.我国人称它为“勾股定理”,在西方,它被称作“毕达哥拉斯定理”.目前世界上可以查到证明勾股定理的方法不下500种.4、归纳定理:如果直角三角形两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边长的平方

9、和等于斜边长的平方.如图，C=90Oa2+b2=c2(1) 介绍勾股定理名称的由来。我国古代学者把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。(2) 学生齐读勾股定理(3) 勾股定理结论变形：a2= c2 -b2 b2 = c2 - a25、勾股定理的应用解决情境导入问题：“平平湖水清可鉴，湖中红莲四尺高。 出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边。 渔人观看忙向前，花离原位二尺远。 能算诸君请解题，湖水如何知深浅? ”如图已知在RtBCD中，BC=4，DC=2，则BD=_ (三)、学以致用，体验新知1、自我检测：已知:在RtABC中，C=90. 若a = 5，b = 12，则c=

10、； 若c = 6，b = 4，则a= ； 若c = 25 ，a = 15 ，则b=_ 若 c= 10, a:b=3:4,则 a = , b= . 若 c= 10, ， 则 a = , b= . (学生补充条件出题)提示：多角度提问 设计意图：通过练习让学生掌握勾股定理的最基本应用，熟悉勾股定理表达式的基本变形，第四小问渗透方程思想，培养学生的参与热情，培养学生提出问题的能力。范例精析：已知:在RtABC中，若a=5,b=12,求它的第三边c的长。 设计意图：让学生感受分类讨论思想，培养学生思维的缜密性.（四）达标测评1.如图1，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷 径”，在花圃内

11、走出了一条“路”.他们仅仅少走了 步路（假设2步为1m），却踩伤了花草. 2.如图2，在RtABC中，C=90， A=30, AC=3, 则BC = . 3.若直角三角形的两边长分别为3cm、4cm，则第三边长（ ）.A、5cm B、7 cm C、5 cm 或7cm D、不能确定4.如图3，分别以RtABC 的三边向外作正方形，其面积分别为 _设计意图：第一题是勾股定理在生活中的简单应用，同时对学生进行社会公益教育，第二题是勾股定理的简单应用，同时复习含300的角的直角三角形的性质，第三题旨在突破学生易错题，第四题勾股定理的几何意义，渗透数形结合思想通过练习，让学生再次感受到收获的喜悦. (五

12、)、回顾小结，整体感知1.通过本节课的学习，你有哪些收获和感悟呢/师梳理：一个定理：勾股定理；二个方法：割补法、面积法；三个思想;转化、方程、分类讨论。生梳理知识1.如果直角三角形两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方.2.注意事项:(1)注意勾股定理的使用条件:只对直角三角形适用,而不适用于锐角三角形和钝角三角形.(2)注意分清斜边和直角边,避免盲目代入公式致错.(3)注意勾股定理公式的变形:在直角三角形中,已知任意两边长,可求第三边长.设计意图：引导学生从知识、思想、方法，情感等方面进行自我总结，内化所学知识，完善知识结构，

13、感悟到学习的乐趣。（六）、布置作业，课堂延伸1、必做题：课本P28页1、2、32、变式训练（1）如图，分别以RtABC的三边为边作正三角形，其面积分别为S1、S2、S3，且S1=5、S2=12，则S3=_（2）如图，分别以RtABC的三边为直径作半圆，其面积分别为S1、S2、S3，且S1=5、S2=12，则S3=_ 设计意图:作业布置体现层次性和开放性，使不同层次的学生能在原有的基础上得到发展。第2题变式训练学生可以通过猜想结果后计算结论的正确性。体验解决数学的方法从一般到特殊，由猜想到证明。（七）教学反思成功之处：本节课从知识与方法、能力与素质的层面确定了相应的教学目标.把学生的探索和验证活动放在首位,一方面要求学生在老师的引导下自主探索,合作交流,另一方面要求学生对探究过程中用到的数学思想方法有一定的领悟和认识,达到培养能力的目的.整节课以“问题情境分析探究得出猜想实践验证总结升华”为主线,使学生亲身体验勾股定理的探索和验证过程,努力做到由