怎样推导压杆的临界力和临界应力公式教材

1、06、基本知识 怎样推导压杆的临界力和临界应力公式（供参考）材料力学第24页，共19页06、基本知识 怎样推导压杆的临界力和临界应力公式（供参考）同学们学习下面内容后，一定要向老师回信（849896803qq.con），说出你对本资料的看法（收获、不懂的地方、资料有错的地方），以便考核你的平时成绩和改进我的工作。回信请注明班级和学号的后面三位数。1 *问题的提出及其对策11.1问题的提出及其对策11.2压杆稳定分析概述一一与强度、刚度分析对比 22 压杆临界压力 Fcr的计算公式32.1压杆稳定的力学模型一一弯曲平衡 32.2梁的平衡理论一一梁的挠曲微分方程 42.3按梁的平衡理论分析两端铰支

2、的压杆临界压力 62.4按梁的平衡理论分析一端固定一端自由的压杆临界压力 82.5按梁的平衡理论分析一端固定一端铰支的压杆临界压力 102.6按梁的平衡理论分析两端固定的压杆临界压力 142.7将四种理想压杆模型的临界力公式及其推导分析图示的汇总181*问题的提出及其对策1.1问题的提出及其对策试计算长度为400mm，宽度为10mm，厚度为1mm的钢锯条，在一端固定、一端铰支 的情况下，许用的轴向压力。材料的许用应力为160MPa。解：1、按轴向拉压强度计计算厂-Fn = Fn _ .】160MPa =160N/mm2 A 20 mm 1mm2Fn - 20mm 1mm 160N / mm =

3、 3200N =3.2kN2、按压杆稳定临界力公式计算AAClz =bh3 =x20mm x(1mm 3 =mm4 121232EI：2 200000MPa 10mm423.2kN。这是(2 400mm) x 3分析：1、按轴向拉压杆的强度条件计算结果，该钢板尺可以安全承压个什么概念呢？ 一袋水泥重50kg，对应重力 W = mg = 50kg 10m / s2 = 500N，即该钢板尺可以安全承压 6.4袋水泥，这显然是不可能的。2、按压杆稳定临界力计算公式的结果，该钢板尺在承压12.28N时，就可能变弯了。 这又是一个什么概念呢？ 一小袋食盐重0.5kg，对应重力 W = mg = 0.5

4、kg 10m/s2 = 5N，即该钢板尺当承压两袋半食盐时，就可能由直线平衡状态，转变为弯曲平衡状态了。这与实际情况差不多。结论：对于钢板尺这样的细长杆件，在承受压力时，一定不要用轴向拉压强度条件来判断它的安全承载力，这会出大问题的。需要按弯曲平衡建立力学模型，按梁的理论来分析。1.2压杆稳定分析概述与强度、刚度分析对比它们是材料力学的在材料力学里，分析杆件的强度、刚度和稳定性是十分重要的课题， 核心内容。压杆的稳定性分析，与强度和刚度的分析的侧重面不同。在强度和刚度分析中，重点在推导工作量的计算公式，如：轴向拉压杆的拉压应力应力厂十算公式，梁的正应力c M y1 z和剪应力FqS；T =Iz

5、b计算公式；轴向拉压杆的伸长量FnI计算公式，扭转的扭转角计算公式，梁的挠度EIz和转角”y =M dx计算公式等，它们都是杆件的实际或预计的El zFjyFj计算公式，连接的挤压应力jy和剪切应力-jAjAjy计算公式，扭转的剪工作量。而在强度条件工作应力乞许用应力和刚度条件 工作应变乞许用应变表达式不等号大于端的许用值 （用方括号括起来的量），如卜丨、和冷1、门、y 1、:等, 其中，两种许用应力是由材料试验获得，并由各种规范所确认；各种许用变形值的大小，则与结构的功能（性质、用途等）分不开。然而，在稳定性分析中，重点是推导位于稳定表达式 b =-Fn tcr 中，位于不等号A大于端昌的许

6、用值J中的压杆临界应力二cr。，因为压而压杆的工作应力的求法与轴向拉压杆的完全一样，即仍旧用公式 杆在失稳之前是轴向受压杆。而压杆的许用临界应力定义为crcr，式中的压杆临界应力与材料无关,它是实st际的、具体的“压杆装置”的函数，对每一根压杆都要单独计算才行。因此，压杆稳定分析的重点是针对各种各样的“压杆装置”，提出几种简化的力学计算模型，然后从理论上推导出它们的临界压力Fcr计算公式，分析计算出 临界压力卩“后，按轴向拉压杆的应力计算公式 二FnA，用临界压力Fcr代替轴力Fn,即可得到压杆的临界应力计算公式Fcr2压杆临界压力Fcr的计算公式2.1压杆稳定的力学模型一一弯曲平衡生活和生产

7、的常识告诉我们： 压杆在承受的压力比较小时， 处于直线平衡状态； 当压力 逐渐增大到某一值时，压杆会突然变弯， 处于微弯曲的平衡状态， 称为临界平衡；当压力超 过某一值时，压杆会突然变弯折断，退出工作。使压杆处于临界平衡的压力称为临界压力。计算表明，临界压力远远小于按轴向拉压杆计算得出的许用压力。如如:一根长300mm，宽20mm，厚1mm的钢板尺，设其材料的许用应力为160Mpa ,则按轴向拉压杆强度公式计算，二=- 1, F 1 - 20 1 160 = 3200N ,即该钢A板尺可以安全地承受 3200N的压力。然而，常识告诉我们，把钢板尺直立于桌面上，轻轻 用手指一压它就会弯曲。这种现

8、象在力学上称为失稳（丧失稳定性），它可用压杆稳定理论予以说明。如果将钢板尺按力学模型：两端铰支的压杆装置，进行压杆稳定计算，可得到丧失稳定2的压力为FcrEl24二 200000MPa 1.67mm(300mm f-36.7N，此值接近于钢板尺变弯的实际值。式中的惯性矩bh1220mm 汇(1mm f12=1.67 mm4。得到钢板尺丧失稳定的压力为36.7N，仅是按强度计算的安全压力的1/87。差异如此之巨，我们得高度重视。以上的计算结果表明， 对于较长的压杆，按强度计算存在极大的风险。事实上， 生活常 识告诉我们，压杆越长越容易变弯而丧失稳定性， 因此，对于较长的压杆，按强度计算是违 背事

9、实的，必须另辟蹊径，寻找压杆稳定分析的力学模型。究其原因，在强度计算中，钢板尺处于直线平衡状态，属于轴向拉压变形，应该用杆 的轴向拉压理论来分析；而压杆稳定分析的研究对象是处于微弯平衡状态，属弯曲变形， 显然，应该用梁的理论来分析。下面先谈谈梁的平衡理论，然后，分别就1、两端铰支、2、一端固定一端自由、3、端固定一端铰支、4、两端固定，这四种压杆力学模型进行力学、数学分析。2.2梁的平衡理论梁的挠曲微分方程图2-2-1说明梁的挠曲微分方程的来历和相关量的正负号规定。可一目了然。分析是从梁的dx微段的曲率 开始的，其分析推导过程在研究梁的变形的内容中有所表述。y负。图示为负曲率。dx梁段弯曲及挠

10、曲线注2:正曲率曲线凸向图2-2-1梁的挠曲微分方程在下面的图2-2-2中，四种压杆装置（两端铰支、一端固定一端自由、一端固定一端铰 支和两端固定）的力学模型，及其三种状态（稳定平衡、临界平衡和丧失稳定） 可一目了然。I1-2临界平衡1-3丧失稳定FF crAIF=F cr |l=2l1-1稳定平衡微弯曲线半个正弦波为卩i=i模型1两端铰支的压杆装置2-1稳定平衡2-2临界平衡2-3丧失稳定微弯曲线半个正弦波为卩l=2l模型2一端固定一端自由的压杆装置3-1稳定平衡 3-2临界平衡3-3丧失稳定 微弯曲线半个正弦波为卩1=0.71模型3一端固定一端铰支的压杆装置4-1稳定平衡4-2临界平衡4-

11、3丧失稳定微弯曲线半个正弦波为卩1=0.51模型4两端固定的压杆装置图2-2-2四种典型压杆的力学模型及其三种状态图2-2-3则是四种压杆模型在临界状态下的支反力种类及其真实方向，亦可一目了然。模型2一端固定一端自由F=F cr I注1 :模型1、2为静定结构注2 :模型3、4为超静定结构，其 支反力种类由支座形式确定；方向由变形曲线确定：弯矩箭头指向挠 曲线的凹侧；剪力可参考悬臂梁受 集中力的情况，即剪力指向恰恰与 弯矩指向相反。如下图所示：MaFqaF cr模型3一端固定一端铰支图2-2-3四种典型压杆微弯平衡支反力及其真实方向上述内容对于分析压杆，正确设置压杆两端支反力的方向和转向，导出

12、临界应力公式十分重要，否则，压杆两端支反力的方向和转向设定错误，将无法导出正确的临界力公式。请读者好好加深理解。2.3按梁的平衡理论分析两端铰支的压杆临界压力为了确定长I、两端铰支的细长压杆 AB临界力，研究图2-3-1。设作用在杆上端的压力 恰为临界力F=Fcr，杆处于临界平衡状态。临界平衡状态有两种形式：直杆平衡和微弯平衡：即临界平衡状态具有分叉特性，形态不唯一。在这里，不能以直线平衡为研究对象（在轴向拉压变形里研究过，并在 2.1节什么它不能够解释钢板尺等压杆突然变弯的现象。），而应该以微弯平衡状态作为力学模型，才能够体现出压杆临界平衡的本质特征（这与前面研究轴向拉压、扭转、弯曲都不同，

13、那里杆处于直线平衡状态）。Fn = F cryF crM x 二 Fcry 2.3 - 12.3.1截面弯矩表达式临界微弯平衡x截面内力分析图2-3-1两端铰支压杆临界力分析两端铰支压杆装置：下端固定铰支端有2个约束反力（Fna、FqA），上端链杆支座有 1个约束反力（Fqb）,共3个约束反力未知数（Fna、Fqa和Fqb），而一根杆件只能够建立三 个平衡方程，求解三个未知数。故，两端铰支压杆装置是静定结构，支座反力完全可以用临界力 F cr 表达。如图2-3-1所示，由图中x长的粱段平衡，可得距原点为x、挠度为y的任意截面上弯矩为M x =Fcry 2.3-12.3.2压杆微弯平衡微分方程的

14、建立及其通解在小变形条件下，如果杆内应力不超过材料的比例应力d p, AB杆弯曲后的挠曲线可以用梁的弯曲变形公式d2y _ _ M x _ _ Fcrydx2 - El 一 Ela来表达。在如图2-3-1所示坐标系下,挠曲线的近似微分方程为d2y = _M x = _Fcy2-dxEIEI宀晋（b），则式（“可写为这是一个常系数二阶齐次线性微分方程，其通解是y = Asin kx B coskx d式中，A、B是积分常数，k为待定值。它们由压杆两端的约束情况而定。2.3.3利用压杆两端边界条件确定通解中的常数，从而导出压杆临界力Fcr对于两端铰支的压杆，A端边界条件：x=0、y=0，将其代入（

15、d）可得B=0，于是通解（c）改写为y = Asinkx e再由B端边界条件：x=l、y=0，将其代入（e）得Asin kl = 0f若要满足（f），只有两种可能：A=0或sinkl=0。从问题的力学意义来看，若A=0，则通解（e）成为y=0，这表示杆 AB没有弯曲，与压杆处于微弯状态的前提条件相矛盾。因此，只有sinkl =0 g成立。要（g）成立，必须kl = n二 n=0,1,2,3 h，即 kl=0,二,2二,3二hcr由此得n2二 2eil2(n =0,1,2,3：T (j ),即嘉=0, l2-2EI 4 2EI从理论上讲，n是任意的整数，故临界力Fcr的数值有很多个。但是，从工程

16、实际出发，有意义的是Fcr的最小值，因为荷载一达到此值时，压杆就会丧失稳定性。 取n的最小值时，不能取n=0,因为此时的Fcr=0，成为没有意义的结果。故有意义的最小值应取n=1，于是得到两端铰支压杆装置的临界力为Fcr2 21 二 EIEI2.3-2（2.3-2）式亦称，欧拉公式。值得注意的是，压杆总是在抗弯能力最弱的纵向平面内弯曲失稳，所以公式中的惯性矩 I应该取其横截面的最小惯性矩Imin。从公式（2.3-2）可以得出，临界力Fcr与杆长I的平方成反比。 这就是说，杆越细长， 其临界力越小，即压杆越容易失稳。现在又得出，两端铰支细长压杆的长度系数卩=1。长度系数是微弯曲线的半个正弦波长与

17、压杆压杆长度之比，故在这里卩=1表示两端铰支细长压杆微弯曲线的半个正弦波长恰好等于杆长。2.3.4将k值代入微分方程通解，从而导出压杆挠曲线方程从上面的推导，还可以得到压杆处于临界状态时，压杆的微弯挠曲线表达式。此时，n=1，（n兀n壬兀、则k，代入微分方程通解 y = Asinkxe式，得兀X两端铰支细长压杆失稳时的挠曲线为y = AS in x2.3 - 3，即01对应一条半l波正弦曲线。当x=l/2时，y=A，常数A是半波正弦曲线的中点位移。其值充分小。但A无定值，它随干扰力大小而异。2.3.5两端铰支压杆临界力公式推导的图示小结F N=F crF crM(x)x截面内力分析M x 二

18、Fcry2.3-1MElFcrx =兀22 212ElEl2.3 2图2-3-1两端铰支压杆临界力分析2.4按梁的平衡理论分析一端固定一端自由的压杆临界压力为了确定长I 一端固定一端自由的细长压杆AB临界力，研究图2-4-1。设作用在杆上端的压力恰为临界力 F=Fcr，杆处于临界平衡状态。临界平衡状态有两种形式：直杆平衡和 微弯平衡，即临界平衡状态具有分叉特性，形态不唯一。在这里，不能以直线平衡为研究 对象（在轴向拉压变形里已经研究），而应该以微弯平衡状态作为力学模型，才能够体现出 压杆临界平衡的本质特征（这与前面研究轴向拉压、扭转、弯曲都不同，那里杆处于直线平衡状态）。图2-4-1 一端固定

19、一端铰支压杆临界力分析M x =讥 - y 2.4-1一端固定一端自由压杆装置，下端为固定支座有3个约束反力（Fna、Fqa、Ma），上端自由，没有约束反力，压杆装置共3个约束反力未知数（Fna、Fqa和Ma），而一根杆件只能够建立三个平衡方程，求解三个未知数。故，一端固定一端自由压杆装置是静定结构，支座反力完全可以用临界力Fcr来表达。如图2-4-1所示，由图中x长的粱段平衡，可得距原点为x、挠度为y的任意截面上弯矩为M x 二叽、-y 2.4-12.4.2压杆微弯平衡微分方程的建立及其通解在小变形条件下，如果杆内应力不超过材料的比例应力d p, AB杆弯曲后的挠曲线可以用梁的弯曲变形公式来

20、表达。在如图2-4-1所示坐标系下，挠曲线的近似微分方程为Eld2y _ M x z Fcr. dx2 _ 一 El _b，则式（a）可写为这是一个常系数二阶非齐次线性微分方程（在前面研究过的两端铰支对应的是齐次二阶微分 方程）。其对应的常系数二阶 齐次线性微分方程 通解是 y = Asinkx B coskxd*式中，A、B是积分常数，k为待定值。它们由压杆两端的约束情况而定。原非齐次线性微分方程的一个 特解是 y d，其中S也是待定值。原常系数二阶非齐次线性微分方程的通解等于齐次微分方程 通解与非齐次特解之和，即*y = y y = Asinkx B coskx 亠心 e2.4.3利用压杆

21、两端边界条件确定通解中的常数, 把一端固定一端自由的压杆下端A （固定端）和它的一阶导数中，从而导出压杆临界力Fcr的边界条件：x=0、y=0、y=0，代入（e）h，于是从工程实际出发，有意义的是 Fcr的最小值，故取心2于是得到一端固定一端自由压杆装置的临界力为Fcr 4l22 2: EI : EI一 2l 22.4-2y = B 、； =0，得 B -，代入（e）有e, B = y = Asinkx- coskx 亠餐 fifa F ，y = Ak coskx 、ksin kx, y0 = Ak = 0, k20，所以 A = 0，代入（f）得y1 coskx g再把一端固定一端自由的压杆

22、上端B （自由端）的边界条件：x=l、y= S ,代入（g）中,gyi 二、1 -coskl 二 ，得 coskl 二 0（2.3-2）式亦称，欧拉公式。值得注意的是，压杆总是在抗弯能力最弱的纵向平面内弯曲min。失稳，所以公式中的惯性矩I应该取其横截面的最小惯性矩Imin。 二2El将公式（2.4-2 ）与（2.3-2） Fcrr2.3 - 2对比，（2.4-2）可以改写为如下形式f2.4 n 2ei2ei= I_= y（欧拉压杆临界力统一表达式）2lT前面已经求得，两端铰支细长压杆的长度系数 卩=1，表示两端铰支细长压杆的杆长恰 好对应着它的微弯曲线的半个正弦波长。 现在又得出，一端固定一

23、端自由细长压杆的长度系 数口 =2。长度系数是微弯曲线的半个正弦波长与压杆压杆长度之比，故在这里 卩=2表示一端 固定一端自由细长压杆微弯曲线的半个正弦波长为杆长的 2倍。2.4.4将k值代入微分方程通解，从而导出压杆挠曲线方程将kl =2（j ）代入微分方程通解 y = 6（1 -coskx）（g ），得一端固定一端铰支fJI 、细长压杆失稳时的挠曲线为y= 1_coxf（2.43）、一21 丿，/当x=l时，y= 3 ,常数3是微弯曲线（半个半波余弦）的幅值，压杆自由端（顶端）位移。其值充分小。但无定值。它随干扰力大小而异。2.4.5 一端固定、一端自由压杆临界力公式推导的图示小结F cr

24、 3F n=F c“ M(x)Fcrx截面内力分析M x 二讥-y 2.4-1d2y _ M x 2丁 Fcr、- y .dx2Fcr 二EIEI2 2: EI : EI4l22l 22.4-2图2-4-1 一端固定一端铰支压杆临界力分析2.5按梁的平衡理论分析一端固定一端铰支的压杆临界压力为了确定长I 一端固定一端铰支的细长压杆AB临界力，研究图2-5-1。设作用在杆上端的压力恰为临界力 F=Fcr，杆处于临界平衡状态。临界平衡状态有两种形式：直杆平衡和 微弯平衡，即临界平衡状态具有分叉特性，形态不唯一。在这里，不能以直线平衡为研究 对象（在轴向拉压变形里已经研究），而应该以微弯平衡状态作为

25、力学模型，才能够体现出 压杆临界平衡的本质特征（这与前面研究轴向拉压、扭转、弯曲都不同，那里杆处于直线平衡状态）。Fqa=F QBMa=F qbIFn = F crM(x)yfq(x)年 FcryM x 二 Fcry-Fqa I - x 2.5-12.5.1截面弯矩表达式x、挠度为y的任意截面上弯d2y dxx图2-5-1 一端固定一端铰支压杆临界力分析一端固定一端铰支压杆装置，下端为固定支座有3个约束反力（Fna、Fqa、Ma），上端为链杆支座有1个约束反力（Fqb），共4个约束反力未知数（Fna、Fqa、Ma和Fqb），而一 根杆件只能够建立三个平衡方程，求解三个未知数。现有4个约束反力未

26、知数和3个平衡方程，还差1个方程，这必须根据变形条件建立1个补充方程。故，一端固定一端铰支压杆装置是一次超静定结构。在它的任意横截面弯矩表达式中, 必然存在1个与临界力Fcr不能够直接相关的未知反力（如 Fqa ）。如图2-5-1所示，由图中x长的粱段平衡，可得距原点为 矩为M x 二 Fcr y - Fqa I -X 2.5-12.5.2压杆微弯平衡微分方程的建立及其通解由于有1个与临界力Fcr不能够直接相关的未知力，故通过梁的挠曲平衡方程建立的二 阶平衡方程式必然是 非齐次二阶微分方程， 这会给求解临界力造成一点困难（在前面研究过的两端铰支压杆装置（静定结构）对应的是齐次二阶微分方程，一端

27、固定一端自由压杆装置 （静定结构）对应的是非齐次二阶微分方程）。在小变形条件下，如果杆内应力不超过材料的比例应力d p, AB杆弯曲后的挠曲线可以用梁的弯曲变形公式来表达。在如图2-5-1所示坐标系下，挠曲线的近似微分方程为M(x)(2z) FcrFqa(I x)yElEl JFcr丿令k2音*）则式（a）可写为少+ k2y=k2晋（c）y无关的项）这是一个常系数 非齐次二阶线性微分方程，因为存在自由项（指与 *数学知识告诉我们，（a）式对应的 齐次方程通解 是 y= As in kx Bcoskxd式中，A、B是积分常数，k为待定值。它们由压杆两端的约束情况而定（Fqa则无法确定）（a）式对

28、应的非齐次方程特解是Fqa I - X .Fcr于是，非齐次方程通解为F qa - XFcry = y y = Asin kx B coskx :-: f2.5.3利用压杆两端边界条件确定通解中的常数，从而导出压杆临界力Fcr把一端固定一端铰支的压杆下端A （固定端）的边界条件：x=0、y=0、y=0，代入（f）式和它的一阶导数中，可得待定常数A、B的表达式（9）和（i ）。yof ,x=BFQa0，FcrB平gcr对（f）求导，有y Ak coskx Bksinkx 上（h ）,F cryoF QAAk0，F crF qaA=kF cr再把一端固定一端铰支的压杆上端B （铰支端）的边界条件：

29、 x=l、y=0，代入（f）式中,可得待定常数 A和B之间的关系式（k）。Asinkl Bcoskl =0，Asin kl Bcoskl = 0,jf,xyl =最后，把由下端边值条件获得的FQlAF qaF crA =kF cr代入上端边值条件Asinkl - Bcoskl =0j，即可求得临界力表达式（2.5）sinklcoskl = 0， sin klkl coskl =0, tankl 二 kl kkFcrFcr为求得满足（I）式的kl最小值，以便求出压杆的临界力，现用试凑法求解。经过几次试凑，取 kl=257.453397 =4.493409448 弧度，代入（k）得tan257.4

30、53397 =4.49340952 =4.4934094480.0000004 =kl取 kl=4.493409，有kl 2 1邑2El二 4.4 9 3 40,9 Fcr4.4934092 El =二 2EI故,0.9915573 : 0.74.493409即一端固定一端铰支压杆装置的临界力为F n2EIF cr：0.7l2.5-1(2.5)式亦称，欧拉公式。值得注意的是，压杆总是在抗弯能力最弱的纵向平面内弯曲失稳，所以公式中的惯性矩I应该取其横截面的最小惯性矩将公式(2.5-1 )与(2.3-1)FcrEI2.3 _1Imin。(2.5-1 )可以改写为如下统一表达式。2.5 1- 2 E

31、| g72 E|F0.7l22欧拉压杆临界力统一表达式7前面已经求得，两端铰支细长压杆的长度系数卩=1; 一端固定一端自由细长压杆的长度系数卩=2。现在又得出，一端固定一端铰支细长压杆的长度系数卩=0.7。3 =0.7 表长度系数是微弯曲线的半个正弦波长与压杆压杆长度之比，故在这里 端固定一端铰支细长压杆微弯曲线的半个正弦波长为杆长的0.7。,kl0.7l0.72.5.4将k值代入微分方程通解，从而导出压杆挠曲线方程由k2 = Fcrb和Fcr =EI22.5 _1得k2 =EI1(0.71 )i代入微分方程的通解=Asi nkx BcoskxFqa lF crf中，整理得Ttkl代入得0.7

32、Fqa 1sinkx -1 coskxFcr ILk yF %inkx-coskx* 1，最后把0；：!込1 代入得一端固定一端铰支细长压杆失稳时的挠曲线方程为0.72 FqaI3 0 厂-EI:.7x sin kx - coskx -12.5 - 2l式中F是压杆上下端的水平约束反力，是一次超静定结构中无法由平衡方程所确定的。2.5.5 端固定、一端铰支压杆临界力公式推导的图示小结VABiF cr*Fqb M X = Fcr_FQA 1 _x2.5-1Fqa=F qb 疔；yMa=F qbI FcrFQA=F QBMa=F qbIM(x)Fq(x)yFn = F crF crd2y_ M(x

33、X2t)Fcr； dxX 一 El 一 El兀2eiF cr0.71 2Fqa l - XFcr25-1图2-5-1 一端固定一端铰支压杆临界力分析2.6按梁的平衡理论分析两端固定的压杆临界压力为了确定长I两端固定的细长压杆 AB临界力，研究图 2-6-1。设作用在杆上端的压力 恰为临界力F=Fcr，杆处于临界平衡状态。临界平衡状态有两种形式：直杆平衡和微弯平衡即临界平衡状态具有分叉特性，形态不唯一。在这里，不能以直线平衡为研究对象（在轴向拉压变形里已经研究），而应该以微弯平衡状态作为力学模型，才能够体现出压杆临界平衡 的本质特征（这与前面研究轴向拉压、扭转、弯曲都不同，那里杆处于直线平衡状态

34、）。2.6.1截面弯矩表达式F=F crFqb= F QA=F crMb=M a-F qaIi Fqb= F qayA IMa FqaF crFn = F crx M(x)1 pAFqa - MaM x 二 Fcry-M AFqax2.6-1F cr图2-6-1两端固定压杆临界力分析两端固定压杆装置，下端为固定端有 2个约束反力和1个约束反力偶（Fna、Fqa和Ma）， 上端为固定端有 2个约束反力和1个约束反力偶（Fnb、Fqb和Mb），共6个约束反力未知 数（Fna、Fqa、Ma和Fnb、Fqb、Mb），而一根杆件只能够建立三个平衡方程，求解三个未 知数。有6个约束反力未知数和 3个平衡方

35、程，还差 3个方程，这必须根据变形条件建立3个补充方程，故，两端固定压杆装置是3次超静定结构。在它的任意横截面弯矩表达式中，可能存在3个未知反力（如：Fna、Fqa、Ma）与临界力Fcr不能够直接相关联，但是，Fna=Fnb=Fcr，故，只有Fqa和Ma不能够直接与临界力Fcr相关联。如图2-6-1所示，由x长的粱段平衡，可得距原点为x、挠度为y的任意截面上弯矩为M x 二 Fcr y - M a FqaX 2.6-12.6.2压杆微弯平衡微分方程的建立及其通解由于有两个与临界力 Fcr不能够直接相关的未知力，故通过梁的挠曲平衡方程建立的二阶平衡方程式必然是 非齐次二阶微分方程， 这会给求解临

36、界力造成一点困难（在前面研究过的两端铰支压杆装置（静定结构）对应的是齐次二阶微分方程，一端固定一端自由压杆装置（静定结构）对应的是非齐次二阶微分方程，一端固定一端铰支压杆装置（超静定结构）对 应的是非齐次二阶微分方程）。d p, AB杆弯曲后的挠曲线可以2-6-1所示坐标系下，挠曲线的近似微分方程在小变形条件下，如果杆内应力不超过材料的比例应力 用梁的弯曲变形公式来表达。在如图d2ydx2M xEIa具体表达为d2ya，（2Fcrdx2ElM a Fqa x y Fcrk2 二 FcrElb）可写为兽 +k2y=k2M（d）dxFcr这是一个常系数 非齐次二阶线性微分方程，因为存在自由项（指与

37、y无关的项）k2M A _ F qaXFcr数学知识告诉我们，（b）式对应的 齐次方程通解 是 y* = Asinkx Bcoskx e式中，A、B是积分常数，k为待定值。它们由压杆两端的约束情况而定（Ma、Fqa则无法确定，是超静定结构的冗力）。M a FQA x”（b）式对应的非齐次方程特解是 yA 匚fFcrIM a Fqa x于是，非齐次方程通解 为 y = y +y = Asinkx+BCOSkx+（g ）Fcr263利用压杆两端边界条件确定通解中的常数，从而导出压杆临界力Fcr把一端固定一端铰支的压杆下端A （固定端）的边界条件：x=0、y=0、y=0，代入（g）式和它的一阶导数中

38、，可得待定常数A、B的表达式（口和（j）。* *y = y y二 Asin kx BcoskxM A - Fqa XFcry。Fcr=0,bmaFcr对（g）求导，有yAkcoskl- Bksinkx 空Fcry Ak一密=o，厂crA kFcr再把一端固定一端铰支的压杆上端B （铰支端）的边界条件：x=l、y=0，代入（g）式和它的一阶导数（i）中，可得待定常数 A和B之间的关系式（k和I）。y_Asinkl + Bcoskl + MAFqaI = 、(k)Fcri ,x-Fqay = Aksi nklBk cosklQ-Fcr=0，Aksin kl 一 Bkcoskl = -FqaFcr最

39、后，把由下端边值条件获得的BaFcrh和A二kFcrj ，代入上端边(g，尸MAFQAl值条件 yi 二 Asinkl Bcoskl0 kFcr和Aksin kl Bk coskl（l ），即可求得临界力表达式（厂cr2.6-2)。由（h）、（j）代入（k)得 匹 si nkl -业 coskl MaFqaI 二 0 kFcrFcrFcrFqa sinkl - M AkcosklkMA-Fq-I =0，M-= klsinklFqakl-coskl由（h）、（j）代入（I)得kcoskl 2- ksin kl = Fq-kFcrFcrFcrM a 1 - cosklFqa k sin kl由(m

40、) = (n)得(kl sin kl )sin kl =(1 coskl f2 2kl sin kl -sin kl =1 -2coskl cos kl，2 -2coskl - kl sin kl = 00显然，各值能够满足（0）式。应该取最小的非零值kl 2 = 2二 2 ： E： l2，得kl = 2二，于是两端固定压杆的临界力公式二 2El J/二 2EI0.5l 2Jl 22.6 - 2（2.6-2）式亦称，欧拉公式。值得注意的是，压杆总是在抗弯能力最弱的纵向平面内06、基本知识 怎样推导压杆的临界力和临界应力公式（供参考）弯曲失稳，所以公式中的惯性矩I应该取其横截面的最小惯性矩Imin。前面已经求得，两端铰支细长压杆的长度系数卩=1 ； 一端固定一端自由细长压杆的长度系数卩=2； 一端固定一端铰支细长压杆的长度系数卩=0.7。现在又得出，两端固定细长压杆的长度系数卩=0.5。=0.5表示两长度系数是微弯曲线的半个正弦波长与压杆压杆长度之比，故