三角恒等变换专题

1、p 2p三角恒等变换专题复习（一）2012-8-7一、基本内容串讲1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式如下：sin(ab)=sinacosbcosasinb;cos(ab)=cosacosbm sinasinb;tan(ab)=tan atan b 1 m tan atan b对其变形：tantan=tan(+)(1- tantan)，有时应用该公式比较方便。 2 二倍角的正弦、余弦、正切公式如下：sin 2a=sinacosa.cos 2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1 -2sin2a .tan 2a=2 tan1 -tana2 a.要熟悉余弦“倍角”与“二次”的关系（升角降

2、次，降角升次）特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形， cos 2 a= 3.辅助角公式：1 +cos 2a 1 -cos 2a, sin 2 a =2 2这两个形式常用。4.简单的三角恒等变换（1） 变换对象：角、名称和形式，三角变换只变其形，不变其质。（2） 变换目标：利用公式简化三角函数式，达到化简、计算或证明的目的。（3） 变换依据：两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。 （4）变换思路：明确变换目标，选择变换公式，设计变换途径。5.常见题目类型及解题技巧（最后师生共同总结）二、考点阐述考点 1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式。1、 sin 20ocos

3、40o+cos 20osin 40o的值等于（ ）2、若 tana=3 ， tanb=43，则 tan(a-b)等于（ ）考点 2 二倍角的正弦、余弦、正切公式3、cos cos 的值等于（ ）5 5p 34、 已知 0 a ，且 cos a = ，那么 sin 2 a 等于（ ）2 51ooooo2 23 12 3考点 3 运用相关公式进行简单的三角恒等变换2 p 1 p 35、已知 tan(a+b) = , tan( b- ) = , 则 tan(a+ ) 的值等于（ ）5 4 4 4 226、已知 sin a+sin b=1 1 59 , cos a+cos b= , 则 cos(a-b

4、)值等于（ - ）2 3 727、函数 f ( x) =cos2( x -p p ) +sin 2 ( x +12 12) -1 是（ c ）（a）周期为 2p的奇函数 （b）周期为 2p的偶函数（c）周期为 p的奇函数 （d）周期为 p的偶函数三、解题方法分析1熟悉三角函数公式，从公式的内在联系上寻找切入点【方法点拨】三角函数中出现的公式较多，要从角名称、结构上弄清它们之间的内在联系，做到真正的理解、记熟、用活。解决问题时究竟使用哪个公式，要抓住问题的实质，善于联想，灵活运用。 1 3 2 tan13 sin 50例 1 设 a = cos 6 - sin 6 , b = , c = , 则

5、有（ a c b ）2 2 1 +tan 2 13o 2cos 25【点评】：本题属于“理解”层次，要能善于正用、逆用、变用公式。例如：sin a cos a =1 sin2a sin 2a ， cos a =2 2sina， cos 2 a-sin 2 a =cos 2a，2tana1- tan 2a=tan 2a，1 2 sinacosa =(sina cosa)2， 1 +cos 2a =2 cos2a， 1 -cos 2a =2sin2a，cos 2 a=1 +cos 2a 2,sin 2 a =1 -cos 2a 2，tan tan =tan( + )(1- tan tan )等。另

6、外，三角函数式 asinx+bcosx 是基本三角函数式之一，引进辅助角，将它化为a +b sin(x +f)即 asinx+bcosx= a 2 +b 2 sin(x +f)（其中 tanj =ba）是常用转化手段。特别是与特殊角有关的 sincosx，sinx3cosx，要熟练掌握其变形结论。2明确三角恒等变换的目的，从数学思想方法上寻找突破口（1）运用转化与化归思想，实现三角恒等变换【方法点拨】教材中两角和与差的正、余弦公式以及二倍角公式的推导都体现了转化与化归的思想， 应用该思想能有效解决三角函数式化简、求值、证明中角、名称、形式的变换问题。例 2 已知 2，cos（）= ，sin（+

7、）= ，求 sin2 的 4 13 522 3值（5665（本题属于“理解”层次，解答的关键在于分析角的特点， 2=（）+（+） 例 2 解答：例 3化简：2sin50+sin10（1+ 【解析】：原式=3tan10） sin 2 80= 3 【点评】：本题属于“理解”层次, 解题的关键在于灵活运用“化切为弦”的方法，再利用两角和与差的三角函数关系式整理化简化简时要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数 尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的尽量求出值来。（2）运用函数方程思想，实现三角恒等变换【方法点拨】三角函数也是函数中的一种，其变换的实质仍是函数的变

8、换。因此，有时在三角恒等变 换中，可以把某个三角函数式看作未知数，利用条件或公式列出关于未知数的方程求解。例 4：已知 sin（+）=，sin（）= ，求 3 4tan(a+b)-tan a-tan b tan 2 btan(a+b)的值。【解析】3tan atan(a+b)-tan a-tan b tan(a+b)-tan(a+b)(1-tan=tan 2 btan(a+b) tan 2 atan(a+b)atanb)= =17tan b【点评】：本题属于“理解”层次，考查学生对所学过的内容能进行理性分析，善于利用题中的条件 运用方程思想达到求值的目的。（3）运用换元思想，实现三角恒等变换【

9、方法点拨】换元的目的就是为了化繁为简，促使未知向已知转化，可以利用特定的关系，把某个 式子用新元表示，实行变量替换，从而顺利求解，解题时要特别注意新元的范围。例 5：若 sina+sinb=22, 求 cosa+cosb的取值范围。【解析】：令 cosa+cosb=t ，则 (sina+sinb)2 +(cosa+cos1 b)2 =t 2 + ,2即 2 +2cos( a-b)=t 2 +1 3 2cos( a-b)=t 2 -2 2 -2 t 2 -3 1 7 14 14 14 14 2, - t 2 ,- t ，即 - cos a+cos b2 2 2 2 2 2 2【点评】：本题属于“

10、理解”层次，解题的关键是将要求的式子cosa+cosb看作一个整体，通过代数、三角变换等手段求出取值范围。3关注三角函数在学科内的综合，从知识联系上寻找结合点【方法点拨】三角函数在学科内的联系比较广泛，主要体现在与函数、平面向量、解析几何等知识的 联系与综合，特别是与平面向量的综合，要适当注意知识间的联系与整合。r r r r例 6：已知：向量 a =( 3, -1) ， b =(sin 2 x , cos 2 x) ，函数 f ( x) =a bp（1）若 f ( x) =0 且 0 x p ，求 x 的值； x = 或12r r（2）求函数 f ( x) 取得最大值时，向量 a 与 b 的

11、夹角r r【解析】： f ( x) =a b 3 sin 2 x -cos 2 x7p124a b7c ，op（2） =2sin(2 x - )6r r r r r r f ( x ) =2 ，当 f ( x) =2 时，由 a b=|a | |b | cos =2 maxr r 得 cos =r rr r | a | |b |r r r r=1 ，q 0 p =0【点评】：本题属于“理解”中综合应用层次，主要考查应用平面向量、三角函数知识 的分析和计算能力.四、课堂练习1sin165= （ ） a12b32c6 + 24d6 - 242sin14cos16+sin76cos74 的值是（ ）

12、 a321b2c32d-123已知 x ( -p2,0) ，cos x =45，则 tan 2 x =（ ） a24b-7 2424 7d-2474化简 2sin（ x）sin（ +x），其结果是（ ）4 4sin2x cos2x cos2x sin2x5sinp12 3 cosp12的值是 （ ）a0 b 21 -tan 2 756的值为 ( )tan 75c2d 2 sin5p12a 2 3b2 33c -2 3d -2 337若cosq 3 q 4= sin =-2 5 2 5，则角 q的终边一定落在直线（ ）上。a7 x +24 y =0b7 x -24 y =0c 24 x +7 y

13、 =0d 24 x -7 y =08 cos(a+b)cosb+sin(a+b)sinb=_ .91 -tan151 +tan15oo10 tan 20o+tan 40o+ 3 tan 20 tan 40o的值是 .52212 411求证：cotcos 2qq-tan2q21= sin 2q41 12已知 tan 2a = ，求 tan3a 的值13已知 0 x p p 5 ,sin( -x ) =4 4 13, 求cos 2 xpcos( +x )4的值。14若 a (0,p),且sina +cos a =7 5sin a +4 cos a , 求13 15sin a -7 cos a的值。15在abc 中，若 sinasinb