对于四元数的异议

1、对于四元数的异议李学生 （山东大学物理学院 山东济南 250100） 摘要: 从数集的扩展原则与必要性出发，阐明了哈密尔顿四元数不能作为复数集的拓广，从而将向量乘法与普通乘法区别开来。 关键词：四元数、异议、数集的扩展原则、向量乘法、普通乘法复数的发明是从意大利数学家卡当（Jerome Cardan，公元1501.9.241576.9.21）在解三次方程的实践中发现负数的平方根开始的，卡当在他于公元1545年出版的大术（一说重要的艺术）一书中写出了“卡当公式”。法国数学家、哲学家、物理学家、生理学家、解析几何的创始人笛卡尔（Ren Descartes，公元1596.3.311650.2.11）

2、，于公元1637年出版的几何学中提出了“虚数”的名词和概念。法国数学家、英国皇家学会会员、柏林科学院和巴黎科学院院士棣莫佛(Abrabam De moivre，公元1667.5.261754.11.27)于公元1730年提出了著名的“棣莫佛定理”。法国数学家、哲学家、物理学家、天文学家让勒朗达朗贝尔(Jean Le Rond Alembert，公元1717.11.171783.10.29)于公元1747年提出了按照多项式的四则运算规则对虚数进行运算。世界四大数学家之一，瑞士大数学家、力学家、物理学家欧拉（Leonhard Euler，公元1707.4.151783.9.18），于公元1748年

3、发现了著名的欧拉公式，并且在公元1777年出版的著作微分公式中采用i=作为虚数的单位。挪威测量学家成塞尔（公元17451818）于公元1779年发表了对虚数的直观的几何解释的作法。德国数学家阿甘得（公元17771855）于公元1806年公布了虚数的图象表示法，提出了“复平面”概念。世界数学王子、国际四大数学家之一，德国数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家高斯（Carl Friedrich Gauss，公元1777.4.301855.2.23），于公元1831年用实数组a，b写出了复数的代数式a+bi，建立了复数的某些运算，并于1832年提出了“复数”的名词。这样，复常数就经历了约300年的

4、创立与发展的过程后，终于定了型，并成为“数”这个大家族中的一员。由此看来，复常数是从解三次方程的实践中，抽出虚数的单位i=以后，将虚数的单位i=与实常数结合而成的，从而弥补了实数的非位置性。自从认识到复数运算等同于平面上一种点的演算体系，就有数学家提出这一问题：能不能找到一种空间数系，其中每一个三元数对应于空间中的一个点？首先数学家们希望新数系能尽可能多地保留复数的优美性质，并与原有代数理论保持和谐一致，同时人们自然也期望在新数系中能发现一些以前不曾有的东西。德国数学家高斯（Gauss）思索过，英国科学家哈密顿（Hamilton）研究过。但是在定义三元数的乘法时，却遇到了不可逾越的障碍，例如：

5、乘法不能满足“模法则”和普通运算定律，而且无法明确的定出ij与ji的关系和其值，三元数的研究失败了。于是当时数学界转而证明三元数不存在，代表人物是魏尔斯脱拉斯(Weierstrass)，他在1861年证明了“一个代数系统如果服从乘积定律和乘法交换律，就是实数的代数和复数的代数（此语引自古今数学思想），也就是说只能是一元数和二元数，不会是三元数。四元数的发现为费罗贝尼乌斯等人从结合代数的角度研究数系提供了一个标志性的范例。由此断定：实数域上的有限维结合代数如果没有零因子且满足交换律，则只有实数域及复数域；如果没有零因子且不满足交换律，则只有四元代数；实数域上的有限维可除代数只有实数域、复数域、四

6、元代数及凯雷代数。按照现代数学的观点，数集包括狭义数集与广义数集两大类，狭义数集包括复数与超复数，广义数集包括向量、矩阵等集合，其中超复数起源于四元数，在18281843年哈密尔顿为了物理学研究空间的需要，建立了一种对乘法运算不可交换的数集四元数（又称超复数），其一般形式为ai+bj+ck+d，其中a、b、c、d为实数，i、j、k为虚单位，i2=j2=k2=1，ij=k，jk=i，ki=j，ji=k，kj=i，ik=j。哈密尔顿将四元数的纯虚部称为Vector，汉译矢量，其乘法规则类似于多项式乘法，但不满足交换律，设z1=a1i+b1j+c1k+d1，z2=a2i+b2j+c2k+d2，则z1

7、z2=(a1a2+b1b2+c1c2+d1d2)+(b1c2+a1d2+a2d1b2c1)i+(c1a1c2a1+b1d2+b2d1)j+(a1b2a2b1+c1d2+d1c2)k。对于四元数ai+bj+ck+d而言，当b=c=0时，四元数便成为复数；当d=0时，ai+bj+ck代表三维向量，a、b、c分别为其在x轴、y轴、z轴上的分量，（a1i+b1j+c1k）(a2i+b2j+c2k)=(a1a2+b1b2+c1c2)+(b1c2b2c1)i+(c1a1c2a1)j+(a1b2a2b1)k。后来人们对其分成两部分，(a1a2+b1b2+c1c2)为数量积（标量积），(b1c2b2c1)i+

8、(c1a1c2a1)j+(a1b2a2b1)k为向量积（矢量积），并分别在物理学中找到了其应用；为了物理学研究空间的需要将其推广为n维，并且不满足乘法结合律。四元数实际上有很多用处，一方面它是非交换环的一个例子，实际上是体（有加减乘除，乘法不交换），它在物理上用处大。四元数集上可以定义共轭，可以定义模长。哈密尔顿当年寻找四元数的动机本来是更简洁地描述力学和电磁学，后来的发展表明矢量分析更适合描述物理学，由三维世界矢量的四元数乘积引入了点乘和叉乘的概念。麦克斯韦草丛泰特那里学会了四元数，针对微分矢量运算发明了散度和旋度的概念，三分量的普通四元数世界矢量被麦克斯韦和亥维赛德用于电磁学的表述，于是有

9、了我们今天熟悉的麦克斯韦方程组的形式，吉布斯和亥维赛德由此各自独立地发展出了矢量分析。因而对四元数的研究渐渐只局限于纯数学的部分领域，成为非主流。笔者发现把四元数作为复数集的拓广不满足数集的扩展原则与扩展的必要性。一、 四元数作为复数集的拓广不满足数集扩展的必要性 数集的每一次扩展，总是由于原来的数集与解决具体问题的矛盾而引起的，这些问题有的是首先从实际中提出的，有些则是从数学本身首先提出的。为了使除法、减法运算封闭，从正整数集先后扩展到正有理数集合、有理数集合；为了表示无限不循环小数，引进了无理数，从有理数集合扩展到实数集；为了使开方运算封闭，引进了虚数，从实数集扩展到复数集。在复数集中加、

10、减、乘、除、乘方、开方等所有代数运算都已封闭，因此复数集是一个完美的数集，从数学运算本身来讲暂时没有扩展的必要。退一步讲，假设四元数是复数集的拓广，那么开方运算失去意义，例如i2=j2=k2=1，1的平方根至少有6个i、j、k，其实一个四元数的n次方根有无数个解，这样将使开方运算变为无定解运算。二、 把四元数作为复数集的拓广不满足数集的扩展原则1.根据数集的扩展原数集作为新数集的特例，原数集里的原有运算法则依然成立，即对应原理成立。科学的发展和进步通常表现为一种创新过程，即以新的科学理论取代原有的旧理论。科学创新是在新事实的推动下发生的。任何一个科学理论，都是在一定的事实基础上建立起来的，因而

11、都在特定的适用范围内有其局限的真理性，一旦超出其适用范围，其真理性就会丧失。随着科学实践的发展和科学认识对象领域的不断扩大，原有的理论总会遇到它解释不了的新现象或新事实，于是就需要提出新的科学理论来代替旧理论。由于新事实和新现象层出不穷，所以科学创新过程是永无止境的。科学创新必须具备两个基本特征。第一个特征是新颖性，要求新理论通过引入新概念和新观念，而使得理论能够导出更多的新预言，能够解释更多的新事实，从而使得新理论能够解决原来旧理论不能解决的某些新问题。第二个特征是保持与原有的旧理论的对应性，即新理论的创造必须满足对应原理的要求。科学创新不是完全离开或简单地抛弃旧理论而凭空提出新理论，而是要

12、求在新理论和旧理论之间建立起一种对应关系：新理论必须能够把旧理论作为自己的一种极限情况包含于自身之中，使得旧理论在特定的适用范围内取得局限的真理性。满足对应原理的要求，也就使得理论的新颖性须以新理论能够解决原来旧理论所能解决的一切问题为前提。科学创新必须满足对应原理的要求，这一科学发展的普遍规律已经为大量科学史事实所证明对应原理表明：新理论不是把旧理论根本推翻，而是在旧理论适用的领域中，新理论的结论过渡到旧理论的结论；包含某种特征参量的新理论的数学工具(基本方程及其推论)，在特征参量具有适当数值的情况下，自动转变为旧理论的数学工具。当数集拓广至复数集后，人们迅速发现其在物理学中的应用可以表示平

13、面向量及其加减运算。但是复数的乘法与向量的乘法有着本质的区别，复数集对于乘法封闭且满足交换律，平面内向量的向量积是一个空间向量，数量积是一个标量，运算不封闭。复数的乘法有逆运算除法，也有乘方、开方、指数、对数等运算，而向量的数量积、向量积、混合积、实数与向量的积等都没有定义逆运算，也没有乘方、开方、指数、对数运算等，因此为了研究物理学中向量乘法而拓广复数集是没有必要的，表示向量乘法与普通乘法的符号亦应区别开来，不必定义i2=j2=k2=1。向量运算不同于代数运算，没有必要将其纳入代数运算。若将三维向量表示为a+bi+cj，数量积与向量积分别用“.”与“”表示，(a1+b1i+c1j).(a2+

14、b2i+c2j)=a1a2+b1b2+c1c2，(a1+b1i+c1j)(a2+b2i+c2j)=(b1c2b2c1)+(c1a2c2a1)i+(a1b2a2b1)j，从而把向量乘法与普通乘法区别开来，又能作为复数集的拓广。其实这样做对表示向量乘法非常妥当，但它会使普通乘法出现矛盾，复数集对于普通乘法已经封闭，乘积中出现的ij、ji无论怎样定义都会出现矛盾，而且与普通乘法的符号不加区别会造成混乱。数是客观事物“量”的抽象，客观事物的多样性决定了数的种类的多样性；运算是客观事物“相互联系”的抽象 ，客观事物相互联系、相互作用的多样性决定了运算类的多样性。既然数及其运算是客观存在的，就一定存在其自

15、身的发展规。我们只能对它们去认识而不能去约定。这就应遵循“认识论”的法则，即循环往复地由“特殊”到 “一般”，再由“一般”到“特殊”逐步扩大对事物的认识。而且，数系的拓广与运算类的扩充这二者必然密切联系起来方可走上正路。 2。在向量ai+bj+ck中i、j、k的意义与复数a+bi中的i意义不同。在三维向量ai+bj+ck中i、j、k是为了区分向量在x轴、y轴、z轴上的分量而作的标记，可以规定i2=j2=k2=1等，但在复数a+bi中的i有着特殊的含义：i2=1。在四元数ai+bj+ck+d中，当d=0时表示三维向量，a、b、c分别代表在x轴、y轴、z轴上的分量，因此当c=0时，二维向量应为ai

16、+bj，a、b分别代表在 x轴、y轴上的分量，但单位不一致 ，前者为i、j，后者为1、i，而i2=j2=11，因此这本身就具有一种不协调性。历史上看，哈密顿提出四元数是由于数学界在三元数问题上的困惑而产生的，当时就有两派观点：到底四元数有用还是由它分离出的向量分析有用？当時的工程师们拥护后者，认为四元数用处不大；四元数不是自然规律的产物而是人为的约定！而任何数学上的约定必需有强的“公信度”才行，更重要的是这个约定要由实践检验其正确性。四元数理论的根本缺陷是建立在这个数域上的函数缺少解析条件，解析条件是函数论的心脏，如果函数论缺少解析条件的话，不能成为一门数学。哈密顿工作的意义在于发现了向量的运

17、算理论以及三元数目前没有引入的必要。麦克斯韦在电磁通论这本书中写到：“在这个过渡时期，使用两种语言的方法可以把理论介绍和解释得更完美但是他现在使用两种语言处理时，令人感到麻烦的是，至少可以发现AB的平方在笛卡尔系统中总是正的，而在四元数中却总是负的，并且当这个东西被偶然提及时你不知道它说的是哪一种语言这也是不便的，比如说，当你讨论动能时为确保它是正值，必须插入一个符号。”综上所述，历史上看哈宻顿提出四元数是由于数学界在三元数问题上的困惑而产生的。当时就有两派观点：到底四元数有用还是由它分离出的向量分析有用？当时的工程师们拥护后者，认为四元数用处不大；四元数的给出不是自然规律的产物而是人为的约定

18、！而任何数学上的约定必需有强的“公信度”才行，更重要的是这个约定要由实践检验其正确性。四元数理论的根本缺陷是建立在这个数域上的函数缺少解析条件。解析条件是函数论的心脏，如果复变函数论缺少解析条件的话，不能成为一门数学吗。复数的乘法与向量的乘法有着本质的区别，哈密尔顿的四元数不能作为复数集的拓广，只不过他找到了向量的乘法法则。为了满足数集的扩展原则，笔者建议取消四元数，直接定义向量乘法。为了与复数乘法相区别，定义i.i=j.j=k.k=1，这样可以避免运算结果中出现负号，其它的规则不变。a1a2+b1b2+c1c2表示数量积（标量积），满足交换律；(b1c2b2c1)i+(c1a2c2a1)j+

19、(a1b2a2b1)k表示向量积（矢量积），不满足交换律。一句话狭义数集只包含复数集。复数从提及到承认其合理性历经100多年，由复数的巨大理论和实践意义可以说，数学史上最严重的危机是在这100多年，故而复数的发现使实数观念发生了危机，这是第四次数学危机。数学之所以完美是因为数学有一个完备的复数系统；复数系统之所以完备是因为它的元素数不仅仅是一个记号，而且源于人类对自然界的抽象，带有宇宙的最基本信息，魏尔斯脱拉斯的“一个代数系如果服从乘积定律和乘法交换律，就是实数的代数和复数的代数。新数集应是自然规律的产物，而不应是人为的约定；新数集的结论或保持与较低一级数集一致，或者为低数集的推广，数学发展的方