近三年高考全国卷理科立体几何真题

1、新 课 标 卷 咼 考 真 题 1、 (2016年全国I高考)如图，在以A, B, C, D, E, F为顶点的五面体中，面 ABEF为正方形，AF=2FD， AFD 90，且二面角 D- AF- E 与二面角 C- BE- F 都是60 (I) 证明：平面 ABEF 平面EFDC; (II) 求二面角E- BC- A的余弦值. 2、( 2016年全国II高考)如图，菱形ABCD的 对角线AC与BD交于点O，AB 5, AC 6，点E,F分别在AD,CD 上, AE CF EF交BD于点H .将 DEF沿EF折到 DEF位置，OD .10 . (I)证明：DH 平面ABCD ; (U)求二面角

2、 B D A C的正弦值. 3【2015高考新课标1,理18】 如图，四边形 ABCD为菱形，/ ABC=120 , E, F是平面ABCD同一侧的两点，BE丄 平面 ABCD, DF 丄平面 ABCD , BE=2DF , AE 丄 EC. (I)证明：平面 AEC丄平面AFC; (U)求直线AE与直线CF所成角的余弦值. 4、2014新课标全国卷U 如图1-3，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，FAX 平面ABCD, E为FD的中点. (1) 证明：PB/平面AEC; (2) 设二面角D-AE-C为60, AP= 1, AD = ；3,求三棱锥E-ACD的体积. 图1-3 5、20

3、14新课标全国卷I 如图1-5,三棱柱ABC -A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱 形，ABX B1C. 图1-5 (1) 证明：AC= AB1； (2) 若 AC丄AB1,Z CBB1 = 60, AB= BC,求二面角 A -A1B1 -C1 的余弦值. 6、( 2017?新课标H)如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面 ABCD , AB=BC= 1 X AD，/ BAD= / ABC=90 , E 是 PD 的中点. (I)证明：直线 CE /平面PAB ; (H)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45求二面角 M - AB - D的余弦值. A

4、/ 7、( 2017?新课标皿)如图，四面体 ABCD中， ABC是正三角形， ACD是直角三角形, / CBD , AB=BD . (I)证明：平面 ACD丄平面 ABC ; / ABD= 面角 D P ABCD 中，AB II CD，且/ BAP= / CDP=90 （12 分） (H)过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体 ABCD分成体积相等的两部分，求二 -AE - C的余弦值. 证明：平面 PAB丄平面 PAD ; 若 PA=PD=AB=DC ，/ APD=90，求二面角 A PB C 的余弦值. 1【解析】 T ABEF为正方形 AF EF / AFD 90AF DF D

5、F I EF=F .AF 面 EFDC AF 面 ABEF .平面 ABEF 平面EFDC 由知 DFE CEF 60 / AB II EF AB 平面 EFDC EF 平面 EFDC . AB II 平面 ABCD AB 平面ABCD /面 ABCDI 面 EFDC CD AB II CDCD II EF 四边形EFDC为等腰梯形 以E为原点，如图建立坐标系, FD uuu uuuBC EB 0，2a，0 2a， UUU AB 2a，0，0 ur 设面BEC法向量为m LT uuu m EB 0 ir uura m BC 0 即 2 2a yi 2ayi -Ja 2 设面ABC法向量为 X2

6、 y2，Z2 r uuu n BC =0 r uuu n AB 0 .即 a 2ax2 2ay2 乜az2 2 X2 y23，Z2 cos 设二面角E BC A的大小为 .Fl 16 2.19 19 2 19 面角E BC A的余弦值为 19 5 AE CF - 2【解析】证明：4， AE CF AD CD EF II AC . .四边形ABCD为菱形，. AC BD EF BD EF DH. EF D H . AC 6 ? AO 3 .又 AB 5 AO OB - ? .OB 4 OH AE OD 1 -DH D H ? * * AO 3 ? |OD |2 |OH|2 OH I EF H，.

7、 DH 面 ABCD . DH H xyz -DH OH ? * * 建立如图坐标系 0 D 0 , 0 , 3 A1, uuu AC uiuuuur AB 4 , 3 , 0 AD 设面ABD法向量n uu uiu 口 AB 0 4x ui UUJIl 由厲AD 0得 x 3y 3y 0 3z LT ni3 , uu 同理可得面ADC的法向量n2 LT n LU n2 -1 cos 9 57 5 521025 sin 2 95 25 3, 【答案J(I)见解析()33 【解析】 试题分析i (门连接孑二设连接三G, FG詁在赛呢中？不妨设耳4易证工丄.儿 通过计算可证EG丄FG根据线面垂直判

8、定定理可知王丄平面.疔心由面而垂直判定定理知平E.C平 面一曲 (II)以G为坐标原昱 分别以G.GC的方向为疋轴，轴正芳向，GB为单位畏度坐立空间 直角坐标系Gm 利用向壘法可求出异面宜銭与t?F所成雳的余狂值. if 试融解析1 I )连播眇，设无IOG.连捲EG, FGEG在觌肿8中，不妨设 (H)解：四棱锥 P- ABCD中， 侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD , AB=BC= AD , / BAD= / ABC=90 ,E是PD的中点. 取AD的中点 O , M在底面 ABCD上的射影 N在OC上,设 AD=2 ,贝U AB=BC=i , OP= / PCO=60 ,直线B

9、M与底面ABCD所成角为45 可得： BN=MN , CN=MN , BC=1 , 2也 逅 可得： 1+ BN2=BN2, BN=, MN=, 作NQ丄AB于Q,连接 MQ , 所以/ MQN就是二面角 M AB L反 -D的平面角，MQ= 一 ? 面角M - AB - D的余弦值为：= 7、【答案】(I)证明：如图所示，取AC的中点0,连接BO , OD . / ABC是等边三角形， 0B丄AC . ABD 与厶 CBD 中，AB=BD=BC，/ ABD= / CBD , ABD CBD , AD=CD . ACD是直角三角形， 1 AC 是斜边，/ ADC=90 . D0= AC . d

10、o2+bo2=ab2=bd2 . / BOD=90 . OB 丄 OD . 又DOH AC=O , OB丄平面 ACD .又OB?平面 ABC，平面 ACD丄平面 ABC . 如DE (H)解：设点 D, B到平面ACE的距离分别为 hD , hE .贝U=. J平面AEC把四面体 ABCD分成体积相等的两部分, 匹井D 壮 二：、匸=粽= =1. 点E是BD的中点. 建立如图所示的空间直角坐标系不妨设 AB=2 . 则 O (0, 0, 0), A (1 , 0, 0), C ( 1, 0, 0), D (0, 0, 1), B (0, o器.4 ,0), E -=(-1 , 0,1), 一

11、 1 r AE = ，貝U = (- 2, 0, 0). 一二=0 设平面ADE 的法向量为=(x,y,z),则 丁十耳二=,取4 3. 同理可得：平面 ACE的法向量为=(0, 1 , cos = = = . 二面角D - AE - C的余弦值为. 8、【答案】 (1)证明：J/ BAP= / CDP=90 , PA 丄 AB , PD 丄 CD,/ AB II CD , AB 丄 PD , 又 PAO PD=P ,且 PA?平面 PAD , PD?平面 PAD , AB丄平面 PAD ,又AB ?平面 PAB , 平面 PAB丄平面 PAD ; 由(1 )知 AB丄平面 PAD，二AB (2)解：J AB II CD , AB=CD，四边形 ABCD为平行四边形， 为矩形， ，/ APD=90，可得 PAD为等腰直角三角形, 丄AD ,则四边形ABCD 在厶APD中,由PA=PD 取AD中点O, BC中点 以O为坐标原点，分别以 设 PA=AB=2a，贝U AD= E，连接 PO、OE, OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系, 则：D （ J-B （-，-，）, P （0, 0, J- ）, C （ J- ） 而=（-岳a-鼻）丙=（屆加-辰、BC = -2y2 ，取 y=i，得一匸