计算方法作业参考答案不断更新

1、第一次作业1.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，指出他们有几位有效数字，并写出绝 对误差限。兀：=1021 %； =0.031 x； =385.6 x； =56.480 x； =7xl05 x* =9800解：=1.1021 =0.11021 xlO1,有 5 位有效数字，绝对误差限为 0.5x10 =0.5x107；=0.031=0.31x10，有2位有效数字，绝对误差限为0.5x10亠2 =0.5x10-3；x；= 385.6 = 0.3856 x10s；有 4 位有效数字，绝对误差限为 0.5xlOy4 =0.5x10 * ；x； =56.480 =0.56450 xlO2;有 5位

2、有效数字,绝对误差限为 O.5xlO25 =0.5x103 ；Ix；=7xl05=0.7xl06；有1位有效数字，绝对误差限为0.5x10* =0.5x10；x；=9800 = 0.9800 xlO4；有4位有效数字，绝对误差限为0.5xl044 =0.5 2要使J莎的近似值的相对误差限小于0.1%,要取几位有效数字解：由于癒=4.47213595 . = 0.447213595 .xlO1,设要取位有效数字，则根据定理，有/占xlO如)=10*)；=10-Vn-i) = 102(V_2 -yn_2)=. = 0(y0 - y；),由于 y；有 3 位有效数 字，且_y； = 1.41 =0.

3、141x10,所以y；的绝对误差限为0.5 xlO2,因此此的绝对误差 限为10,(x0.5xl0-2 =5xlO7。很明显这个计算过程不是数值稳定的。作业中出现的问题:第一题：主要是第五个数x；=7xlO5,不知道它有几位有效数字，很多同学认为有 5或者6位有效数字，这是不对的，进而算错绝对误差限。另外有个别同学分不清 有效数字的概念，六个数的有效数字都弄错了。第二题：主要是算错，不知道该取3还是4。第三题：没有什么大的问題。有个别同学一个数一个数的算出来了，这是不可取的。 直接迭代误差就行了。附：地物1301班和1302班有几个同学花名册上没有名单，我添加上去了。第二次作业1.利用二分法求

4、方程/(-v)=-va3-2.x-5= 在2,3內根的近似值，并指出误差。 解：/(2)= - 10,当代2,3 时，/(门=头八2-20,则/=0 在2,3上有且只有一个根。2+3=Y 二 1= p 取】 2，/(2.5) = 5.6250；?十三二 c “心二二巧取t 2 , /(2.25) = 1.890;/(2.125) = 0.3457 0.t故可取根的近似值为(3-2)=3.125xlQ-2误差-门冬夕oX1042证明方程1 -= 在0,1内有一个根，使用二分法求误差不大于2的根需要二分区间多少次解：令 /(-V)= 1-.V- sin.x , /(0) =1,/(1) =-sin

5、l ,故) 设需要二分区间上次，则有-1 =13. 3/=-l-cos.T)在0,1內有唯一的根。需要二分区间14次。3.为求方程丘-#-1= 在可=1 附近的一个根，设将方程改为下列等价形式，并 建立相应的迭代公式：-V = 1-4+1 = 1 十2十，迭代公式玉(2) -v3 = 1+-v 迭代公式-vt+i=71+；2 1 r = rn(3) T ,迭代公式V盼1 o试分析每种迭代公式的收敛性，并取一种公式求出具有四位有效数字的近似根。解：设念，则/(1.4)=-0.2160 所以方程 刃)=在,上有根。1 1 0VU1 = 1 + (A-) = l + -七,.,(!)忑,V5 ,当皿

6、141.5时，巾0)|1,所以迭代格式收敛。和严片7,讥时，卩盲(*)二当y 1.4,1亠 时，丨0(工)11,所以迭代格式收敛。当 & w 1.4,1.5 时,所以迭代格式发散。选择迭代格式(2)+】=Jl+J,.计算到兀=1466,具有四位有效数字。作业中出现的问题：第一题：有的同学没有讨论根的存在唯一性，再就是没有二分足够的次数或者分的 次数太多，另外不会利用误差公式来计算误差。第二题：没有什么大问题，有部分同学算的时候没有减一，导致结果是15次。 第三题：有的同学选取的区间不对（太大）,导致分析收敛性的出错，其次是有的 同学利用迭代公式（1）计算，这样计算的很慢，很繁琐，推荐使用迭代公

7、式（2）计算 比较好，另外计算的时候，没有分清什么是有效数字，导致计算结果不对。第三次作业1.求方程-v3-v2-1=0在可=1二附近的一个根，试分析三种迭代公式的收敛性：V = 1+-V-*.+1= 1 + r(1) 十，迭代公式% ；(2) F = 1十丁 ,迭代公式心+】=取+川;2 _ (3) A1 ,迭代公式M：设/一宀 1,则/(1.4)=-0.2160,所以方程 曲=在,上有根。11tC(I)忑，.J ,当.ve1.4,1.5时，巾O)|C1,所以迭代格式收敛。轧lE,卩盲心)二当y 1410二时，丨0(小11,所以迭代格式收敛。xk+1 = .r (pM = J (3)V 嘖1

8、 ,V 3-所以迭代格式发散。选择迭代格式(2)心+】=J1+J,.计算到 =466,具有四位有效数字。2.应用牛顿法解方程x3-t/ = O,导出求立方根亦的近似公式。解：令/(x) = x3-,则亦为方程/(%)= 0的根，且/(x)=3x2,则求亦的牛顿迭当 a = 3 时，取 x0 = 1.5,通过计算可得 =1.4444,x2 =1.44225,x3 =1.44224 t 取四位 有效数字所以V3 1.442。3.利用割线法求x3-3a-1= 0在x = 2附近的一个根，取 = 2, =1.9,保留四位 有效数字。解：令/(.r)=x?-3x-l,初值兀=2,召=1.9,利用公式进行

9、迭代：x2 =1.9-(1.93 - 6.7)x (- 0)/(1.93 - 7.7 卜 1.8813= 1.9189 - 0.0389 1.8800x4 a 1.8796x5 1.8795他心18794综上，x3-3x-= 0在x = 2附近实根精确到四位有效数字的近似值为。作业中出现的问题：第一题：没有什么大问题。第二题：没有什么大问题，有个别同学迭代公式写错了，导致结果出错。第三题：主要要是四位有效数字，有很多同学都计算错了。迭代公式基本没错。第四次作业1. y =石在x = 100、121、144三处的值是容易求得的，试以这三点建立y = x的 拋物插值公式，并近似求陌之值，且给出误差

10、估计。解：先给出线性插值函数：(100-121)(100-144)21x44(x-100)(x-144) (大一 100)(144)(121 -100)(121 -144)21x23(兀一 100)(121) (x 100)(121)(144 一 100 )(144121)44x23厶,z、(x 121X-144)(x 121)(x 144)g)_接着利用这三个插值函数构造拋物插值公式:/?2Cv) = 10x(x-121)(x-144) tl (x-100)(x-144) t “ (x 100)(121)21x44_ X 21x23+ X 44x23则我们可以得到皿的近似值:/?2(115)

11、 = V1T5=10x(115-121)(115-144)1 -21x44(115-100)(115-144)21x23下面给岀误差估计:RM =丄 f(3) (ei)x(O6-2)xOooo75 72!3!则 /(1.03)l.1527274设有某实验数据如下:Xy试用最小二乘法分别求一次及二次多项式曲线拟合以上数据。解：(1)假设y = a + bx,利用数据计算以下和式：8888兀=1526,乞分=30556 ,乞开=145.227,乞兀片=284.83628r-lj-1/-IZ-1则有8(8 2J-1 J-1)r-l r-1r-1r-18 ( 8 28E- Dr-l r-l 丿空空土咛

12、竺黔业= 3.9168x30.1556-(15.26)8x284.83628-1526x145.227 =74648x30.1556-(15.26)则有近似一次多项式为y = 7.464x +3.916（2）假设y = a0 + a,x+fl2x2,利用数据计算以下和式:8 8r-lr-l=61.528778 ,乞才=129177581 ,=577.3678718 ,可得方程组:30.1556 61.528778129.1177581人 eq 丿815.2615.2630.155630.1556 仏61.528778 a145.227=284.83628Q77.3678718,求解可得:=4.97625=6.314515 = 0.30036则有近似二次多项式为 y = 4.97625 +6.31451 x +