理论了学范钦珊答案

1、第 10 章 动能定理及其应用10 1 计算图示各系统的动能：1质量为 m，半径为 r 的均质圆盘在其自身平面内作平面运动。在图示位置时，若已知圆盘 上 A、B 两点的速度方向如图示，B 点的速度为 vB， = 45o（图 a）。2图示质量为 m 1的均质杆 OA，一端铰接在质量为 m2 的均质圆盘中心， 另一端放在水平面上， 圆盘在地面上作纯滚动，圆心速度为v（图 b）。3质量为 m 的均质细圆环半径为R，其上固结一个质量也为m 的质点 A 。细圆环在水平面上作纯滚动，图示瞬时角速度为 （图 c）。解：12BvB1mv22 JC C（b）习题 10 1 图12 m( v2B )2 122 2

2、 21mr2(vB )22 2rT 1m1v2 1m2v2 12 1 2 2 2(c)3mvB16 B1 2 v 2 1 2 3 2m2r ( )m1vm2v2 2 r 2 1 4 23 T 1mR2 2 1mR2 2 1m（ 2R ）2 2mR2 2222102图示滑块 A重力为W1 ，可在滑道内滑动，与滑块 A用铰链连接的是重力为 W2、长为 l的匀质杆 AB。现已知道滑块沿滑道的速度为 v1 ，杆 AB 的角速度为 1 。当杆与铅垂线的夹角为 时，试求系统 的动能。解：T图( a)TA TB1 W1 2 1 W2 2 1 2v1 (vCJC )2 g 2 g 2 W1 2 W2 l 2

3、21 v12 ( 1) v12g 2g 2l l l W2 2 221v1 cos 2 l2 122 1 1 2 12 g 1C(a)2 2 12 g习题 10 2 图1 2 1 2 2(W1 W2 )v12W2l2 12 W2l 1v1c o s2g 3103 重力为 F P、半径为 柄 OC 带动而运动。曲柄的重力为的齿轮 II 与半径为 R 3r 的固定内齿轮F Q ，角速度为 ，齿轮可视为匀质圆盘。解： T TOC TCJO OC 212 12322r 2 23g2 mCvC1 FQ2 2 11FgQ(2r)2 2 12 g111(122 FP 2 1 FPP (2r ) 2 P r4

4、g22 mCr ) CI 相啮合。 齿轮 II 通过匀质的曲习题 103 图2(2rr(2FQ 9FP )试求行星齿轮机构的动能。10 4 图示一重物 A 质量为 m1，当其下降时，借一无重且不可伸长的绳索使滚子C 沿水平轨道滚动而不滑动。绳索跨过一不计质量的定滑轮 D 并绕在滑轮 B 上。滑轮 B 的半径为 R，与半径 为 r 的滚子 C 固结，两者总质量为 m2 ，其对 O 轴的回转半径为 。试求重物 A 的加速度。解： 将滚子 C 、滑轮 D 、物块 A 所组成的刚体系统作为研究对象，系统具有理想约束，由动能定理建立系统的运动与主动力之间的关系。设系统在物块下降任意距离s 时的动能1 2

5、 1 2 1 2 动能： T m1vA m2vC JC C 222 vAr其中 CvAR rvCCrRrJC m2 2r 2 2(R r)2v2AT 1m1 m2 22 1 2 (R r)2m2 2(R 1r)2v2A 21m1m222r2应用动能定理：习题 105 图m 的滑块铰接，两 = 60 ?时无初速开始T = W ； 5ml26当 0 时：2 2AB 2mgl( 3 sin ) k l 21 (1 cos )2 kl28W 3mgl5 2 2 ml AB 3mgl6 AB对式（ 1）求导：其中： AB ；kl 2 ； AB8 AB52mlAB AB3AB AB当0 时：6 3g 3k

6、5l g 20m1）24 3mg 3klk2mgl cosl 22(1 cos )sin ；220mlAB 6gAB5l力作的功： W m1gs将上式对时间求导数：r 2 2m1 m22 vAaA m1gs(R r)2求得物块的加速度为：am1g(R r)2aA m1(R r)2 m2(r 2 2)m212m12 vA m1gs(R r)2 A 1均质杆AB 长为 l ，质量为 2m，两端分别与质量均为 k，且当 = 0 ?时，弹簧为原长。若机构在 AB 处于水平位置时的角速度和角加速度。10 5 图示机构中， 光滑直槽相互垂直。设弹簧刚度为 运动，试求当杆解： 应用动能定理建立系统的运动与主

7、动力之间的关系。 1 2 1 2 1 2动能： TmvAmvBJO AB22212其中： vA lsin AB；vB l cos AB；JO 132ml2T 12ml 2 A2B 31ml2 A2B 56ml 2 2AB外力的功： W mgl (sin 60 sin ) 2mg l (sin 60 sin ) k(l l cos60 )2 (l l cos )2106 图a与图 b分别为圆盘与圆环，二者质量均为 m，半径均为 r，均置于距地面为 h的斜面上， 斜面倾角为 ，盘与环都从时间 t 0 开始，在斜面上作纯滚动。分析圆盘与圆环哪一个先到达地面？解： 对图（ a）应用动能定理：3234m

8、vC21 mgssin ；求导后有设圆盘与圆环到达地面时质心走过距离d，则 d 1aC1t12 ； t12aC1gsinC1 33dgsin对图（ b）应用动能定理：mgssin ；求导后有aC2 1gsin2d 2aC2t2 ；2mvC24dgsin因为 t1 t2，所以圆盘（ a）先到达地面。107 两匀质杆 AC和 BC 质量均为 m，长度均为 l，在 C点由 光滑铰链相连接， A、 B 端放置在光滑水平面上，如图所示。杆系 在铅垂面内的图示位置由静止开始运动， 试求铰链 C 落到地面时的 速度。解 ：设铰链 C 刚与地面相碰时速度 v vC 。根据运动 学分析 A 点及 B 点分别为

9、A C 及 B C 杆的速度瞬心， 如 图（ a）习题 107 图vCA C lvCBCB C l动能定理：2 mg h21 1ml2 2 2 023A C B C(a)1mgh2mv3v 3gh108 质量为 15kg的细杆可绕轴转动， 杆端A连接刚度系数为 k=50N/m 的弹簧。弹簧另一端固结于 B 点，弹簧原长 1.5m 。试求杆从水平位置以初角速度0 =0.1rad/s 落到图示位置时的角速度。1 1 2 2 1 1 2 2 解：T1( ml2) 02 ， T2( ml2) 22 3 2 3W12 mg 3 k (2 1.5) 2 ( 12 1.5)2223 mg k(3 3 7)T

10、2 T1 W1216ml2( 202) 23mg k(33 7)3 3mg 6k(3 3 7) 2 ml 2 023 3 15 9.8 6 50(3 3 7)1.93 rad/s215 2 22m 2m(a)10 9 在图示机构中，已知：均质圆盘的质量为 系数为 k 的弹簧一端固定于B，另一端与圆盘中心m 、半径为 r ，可沿水平面作纯滚动。刚性O 相连。运动开始时，弹簧处于原长，此时圆盘角速度为 ，试求：（ 1）圆盘向右运动到达最右位置时， 弹簧的伸长量； （ 2）圆盘到达最右位置时的角加速度及圆盘与水平面间的摩擦力。解：（ 1）设圆盘到达最右位置时，弹簧的伸长量为 ，则 T1 3mr 2

11、2 ； T2 0 ； W121k 242BOAT2 T1 W12 ；3mr4221k 2 ；22）如图（ a）： JAFOr ； JOFr3 2 3m 2 2k mr k r ；2 2k 3m1mrFA； FA r km2A A 6F在图示机构中，鼓轮 B 质量为 m ，m 的物块1010，其上绕有细绳，一端吊一质量为 连，斜面倾角为 ，绳的倾斜段与斜面平行。试求： 连接物块 A 的绳子的张力（表示为的函数） 。解：（1）应用动能定理： T = W1 2121 2121mv2A1 JOO21MvC21 JCC22222其中：vA R O ； vCr O ； C O ； JO内、A，外半径分别为

12、 另一端与质量为 （1）鼓轮的角加速度1(mR2 m 2 Mr 2 1Mr 2) O2 22设物块 A 上升距离 sA 时： W MgsC sin mgsA 对动能定理的表达式求导：2322)Mr 2 O O MgvC sin mgvA2g(Mr sin mR)22m(R2OC 22OC2m(R22)(2)如图( a)： JCFr ； F 1Mr2 如图( b)： ma FT mg ； FT m(g R )3Mrr和 R，对转轴 O的回转半径为 半径为 r 的均质圆轮 C 相 ；（ 2）斜面的摩擦力及M、习题 10 10 图JCa）FTmgb）1011 匀质圆盘的质量为 m1 、半径为 r ，

13、圆盘与处于水平位置的弹簧一端铰接且可绕固定轴O 转动，以起吊重物 A，如图所示。若重物 A的质量为 m2 ；弹簧刚度系数为k。试求系统的固有频率。解：设弹簧上 OB 位于铅垂位置时为原长，则动能1m2 1 m1)v2T 12 m2 v2 21 ( 12 m1r 2 )( rv )22 2 2 2 1 rk s 2W m2gs( d) m2 gs2rkd2 22r2 s2TW1( m222ddt1 2kd2m1)vm2 gs24 2r1kd2(m2m1)va (m2g2 s)v2r 21 (m2m1)a m2g1kd(m2m1)s22r 2kd22r2skd2s r (2m2 m1)2kd22r

14、 (2m2 m1)2kdr m1 2m21012kd22sr2s m2 gm2g1m2m12图示圆盘质量为 m、半径为 r ，在中心处与两根水平放置的弹簧固结，且在平面上作无滑动滚动。弹簧刚度系数均为 k0 。试求系统作微振动的固有频率。解：设静止时弹簧的原长，则动能 T 1mv02 1 ( 1 mr 2)( v0 )22 0 2 2 rk2W 2 x22弹力功：ddt32mv043mv0a23kx22kxv0mv0x 2kx 024kx x 03m32mv0410 13 测量机器功率的功率计， 由胶带 ACDB 和一杠杆 BOF 组成， 如图所示。胶带具有铅垂的两段 AC 和 DB ，并套住

15、受试验机器和滑轮 E 的下半部，杠杆则以刀口搁在支点 O 上，借升高或降低支点 ，可以变 更胶带的拉力， 同时变更胶带与滑轮间的摩擦力。 在处挂一重锤 ，杠 杆 BF 即可处于水平平衡位置。若用来平衡胶带拉力的重锤的质量 m=3kg，500mm ，试求发动机的转速 n=240r/min 时发动机的功率。解 ：设发动机的角速度为。则2n602 240608rad/s)习题 10 13 图又const ，发动机作等速转动。滑轮E 的角加速度0 。滑轮E 受力分析如图（ a）。由M E 0得M (T1 T2 )R 0M (T1 T2 )R（1）取杠杆为研究对象，受力如图（b）。由MO 0 得mgl

16、(T1 T2 )R 0mgl (T1 T2 )R（2）且T1 T1， T2 T2（3）综合（ 1）、（ 2）、（3）可得： M mgl 发动机的功率P M mgl3 9.8 0.50 8 =0.369（kW）(b)A 质量为m1，放在光滑水平面上。均质圆盘10 14 在图示机构中，物体径均为 R，物块 D 质量为 m2。不计绳的质量，设绳与滑轮之间无相对滑动，绳的 平行，系统由静止开始释放。试求物体解 ：（ 1）设物块 DT 1（m m2）vD2其中： C vD ； B R1 1 2 1 7T （m m2m 2m 4m1）vD2（2 2 2 1 D 2 2D 的加速度以及 BC 段绳的张力。

17、s 时，速度为 vD ，则系统动能为：1 2 1JB B22下降距离12JC C22vD ；vA 2vD； JCR12 重力的功为： W (m m2) gs； 应用动能定理 T W 并求导：(27m 4m1 m2)vD aD (m m2 )gvD 2(m m2)gaDC、B 质量均为 m ，半AE 段与水平面习题 10 14 图FBC7m 8m1 2m2( 2)如图( a)，应用相对速度瞬心的动量矩定理：JO aD (m m2)gR FBC 2R ；其中： JOR131FBC(m m2)g ( mm2)2423 2 23mR2 m2R222(m m2)g7m 8m1 2m2(m m2)(7m

18、8m1 2m2)g (3m 2m2)(m m2)g2(7m 8m1 2m2)2(m m2)(m 2m1)g7m 8m1 2m2mgDm2ga)aD1015铰接于长为图示机构中，物块 A、 B 质量均为 m，均质圆盘 C、D 质量均为3R的无重悬臂梁 CK 上，D 为动滑轮，绳与轮之间无相对滑动。系统由静止开始运动，2m，半径均为 R。C 轮试求（ 1）物块 A上升的加速度； （2）HE 段绳的张力； （ 3）固定端 K 处的约束力。 解：（ 1）设物块 A 上升距离 s 时，速度为 vA，则系统动能为： 1 2 1 2 1 2（m 2m）vD JD D JC C2 2 21mv2其中：vAvA ； vC ； D； vDC R2R1 m m m2( m m)vA 2 424AvA；J2；JJDmR2s重力的功为： W （m 2m）g应用动能定理 T W 并求导： 3mvAaA3mv21mgs mgs211 mgvA； aA g2 A A 62）如图（ a），应用动量矩定理