静力学基础—扭转与弯曲-剖析

1、2021-6-131 工程力学基础工程力学基础 第一章第一章 静力学基础静力学基础 第二章第二章 平面汇交力系平面汇交力系 第三章第三章 平面一般力系平面一般力系 第四章第四章 直杆的拉伸与压缩直杆的拉伸与压缩 第五章第五章 扭转扭转 第六章第六章 弯曲弯曲 2021-6-132 第五章第五章 扭转扭转 2021-6-133 5-1 5-1 圆轴扭转时的外力和内力圆轴扭转时的外力和内力 一、杆件扭转时的特点一、杆件扭转时的特点 1. 受力特点受力特点 两端作用着大小相等、方向相反的力偶，其两端作用着大小相等、方向相反的力偶，其 作用面与杆轴线垂直。作用面与杆轴线垂直。 2. 变形特点变形特点

2、M M 杆横截面绕轴线杆横截面绕轴线 相对转相对转 动，纵向直线变成螺旋线。动，纵向直线变成螺旋线。 2021-6-134 二、二、n(转速转速)、N (功率功率) 、M (力偶矩力偶矩)的关系的关系 受扭的杆件称为轴。轴受扭的杆件称为轴。轴可传递运动可传递运动n(转速转速) 、功、功 率率N和外力和外力M (力偶矩力偶矩) ，其关系如下：，其关系如下： M=9550N/n 式中：式中：M 力偶矩，力偶矩，Nm；N功率，功率，kW； n转速，转速，rpm或或min-1。 三、轴纯扭转时的内力三、轴纯扭转时的内力 纯扭转纯扭转 轴的外载只有力偶轴的外载只有力偶M。 2021-6-135 2. 内

3、力内力 由截面法可知，轴扭转时，由截面法可知，轴扭转时，其截面上的其截面上的内力内力只只 有力偶矩，称为有力偶矩，称为扭矩扭矩Mn。 M M 1 1 M 1 1 Mn1 则则 Mn1=M 取左段取左段 3. 内力内力扭矩的计算扭矩的计算 截面上的扭矩截面上的扭矩Mn等于一侧所有外力偶矩的代数和，等于一侧所有外力偶矩的代数和， 而方向与外力偶矩的合力偶矩的转向相反。而方向与外力偶矩的合力偶矩的转向相反。 2021-6-136 扭矩的符号扭矩的符号按按右手螺旋法则右手螺旋法则： 拇指与外法线方向一致为正。拇指与外法线方向一致为正。 Mn =mi M Mn M Mn M 1 1 Mn1 2021-6

4、-137 例例5-3 如图所示轴上有四个皮带轮，其中轮如图所示轴上有四个皮带轮，其中轮1 为为输入轮输入轮，其余为输出，其余为输出，n=80rpm， N1=7.5kW，N2=1.5kW，N3=4.5kW， N4=1.5kW，不计摩擦，求轴各段扭矩，并画，不计摩擦，求轴各段扭矩，并画 出扭矩图。出扭矩图。 N4 N3 N1 N2 A B 解：解：M1=9550N1/n =95507.5/80 =895Nm 2021-6-138 M2=9550N2/n =95501.5/80=179Nm M3=9550N3/n =95504.5/80=537Nm M4=9550N4/n =95501.5/80=1

5、79Nm N4 N3 N1 N2 A B Mn12= M2 =179Nm Mn13= M2 - M1 =179-895 =-716Nm Mn34=- M4 =-179Nm -179Nm -716Nm 179Nm 2021-6-139 5-2 5-2 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力 一、扭转试验一、扭转试验 取一等截面圆轴，在轴的表面画一条平行于轴线取一等截面圆轴，在轴的表面画一条平行于轴线 的的纵向纵向 线线(oab)，和与轴线垂直的，和与轴线垂直的圆周线圆周线(mam、 nbn) ，如图所示。，如图所示。 对轴进行扭转试验：对轴进行扭转试验： 施加力偶施加力偶M1和和M2 观察结果观察结果

6、 n n o M1 m ym a b x M2 2021-6-1310 所有的圆所有的圆 周线只沿轴线转过了不同的角度，周线只沿轴线转过了不同的角度， 各圆周线的形状、大小及间距均未变。各圆周线的形状、大小及间距均未变。 平面假设平面假设：圆轴扭转时，其横截面如刚性平：圆轴扭转时，其横截面如刚性平 面一样绕轴旋转一个角度，仍保持平面、大小、面一样绕轴旋转一个角度，仍保持平面、大小、 形状，且其上径向线仍为直线。形状，且其上径向线仍为直线。 n n b a o M1 m ym a b x M2 可见横截面只受到了剪切作用，而无拉压，可见横截面只受到了剪切作用，而无拉压，从而从而 得出圆轴扭转的本

7、质。得出圆轴扭转的本质。 n n o M1 m ym a b x M2 2021-6-1311 二、圆轴扭转的本质二、圆轴扭转的本质 本质本质上是上是剪切剪切，应力为剪应力应力为剪应力(切应力切应力)。 (纵向纤维无伸长纵向纤维无伸长) 三、圆轴扭转时的应力三、圆轴扭转时的应力 1 计算式的推导计算式的推导 推导过程从略推导过程从略 2021-6-1312 2. 特点特点 在横截面上分布不均，某点应力在横截面上分布不均，某点应力 与该点到圆心的距离与该点到圆心的距离成正比，成正比， 圆心处为圆心处为o，圆周表面最大，圆周表面最大，如，如 右图所示。右图所示。 O 3. 计算式计算式 任一点应力

8、任一点应力 式中：式中：横截面上某点到圆横截面上某点到圆 心之距。心之距。 J M n 2021-6-1313 J M n 式中式中 ：J为横截面的极惯性矩为横截面的极惯性矩。 max在圆周上在圆周上(最大，为半径最大，为半径R)，则，则 n nnn W M RJ M J M maxmaxmaxmax max / 式中：式中：Wn=J/R 称为抗扭截面模量称为抗扭截面模量。 O 2021-6-1314 5-3 5-3 圆轴扭转时的强度圆轴扭转时的强度 和刚度计算和刚度计算 一一 、Wn的计算的计算 推导过程从略，推导过程从略， 直接给出公式：直接给出公式： 16 3 D Wn 1. 实心圆轴实

9、心圆轴 2021-6-1315 D dD Wn 16 )( 44 3. 圆轴扭转时的强度计算圆轴扭转时的强度计算 max max n n W M 2. 空心圆轴空心圆轴 2021-6-1316 4. 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形 扭转角扭转角: GJ lM n 扭转角，弧度扭转角，弧度(rad)； l长度，长度，m； GJ 抗扭刚度。抗扭刚度。 Mn Mn 2021-6-1317 单位长度扭转角单位长度扭转角: GJ M n 刚度条件：刚度条件： GJ M n (rad/m) 或：或： 180 GJ M n (/m) 许用扭转角。许用扭转角。 2021-6-1318 例例5-4 一传动轴如

10、图一传动轴如图5-12所示，电机将功率输入所示，电机将功率输入 B轮，轮，A、C为输出轮。为输出轮。NB=7kW，NA=4.5kW， NC=2.5kW，轴径轴径d=40mm ，n=50rpm，许用应力，许用应力 =80MPa，许用扭转角，许用扭转角=0.5 /m ， ， G=8104MPa。试校核该轴的强度和刚度。试校核该轴的强度和刚度。 NA NBNC 2021-6-1319 解：解：（1）强度校核）强度校核 左段扭矩为：左段扭矩为： MnAB=MA =9550NA/n=95504.5/50=859. 5N . m 右段扭矩为：右段扭矩为： MnBC=MC =9550NC/n=95502.5

11、/50=429. 7N . m 所以所以 Mnmax = MnAB = 859. 5N . m NANB NC 2021-6-1320 （2）刚度校核）刚度校核 MPa W M n n 11.68 04. 0 16 5 .859 3 max max 因 max=68.11MPa，所以刚度不够。，所以刚度不够。 2021-6-1321 工程力学基础工程力学基础 第一章第一章 静力学基础静力学基础 第二章第二章 平面汇交力系平面汇交力系 第三章第三章 平面一般力系平面一般力系 第四章第四章 直杆的拉伸与压缩直杆的拉伸与压缩 第五章第五章 扭转扭转 第六章第六章 弯曲弯曲 2021-6-1322 第

12、六章第六章 弯弯 曲曲 2021-6-1323 起重机大梁起重机大梁 2021-6-1324 镗刀杆镗刀杆 2021-6-1325 车削工件车削工件 2021-6-1326 火车轮轴火车轮轴 2021-6-1327 6-1 6-1 平面弯曲及梁的类型平面弯曲及梁的类型 一、受弯杆件的特点一、受弯杆件的特点 1. 受力特点受力特点 在通过杆轴线的在通过杆轴线的 纵向平面纵向平面内，受到内，受到 横向横向力或力偶的作力或力偶的作 用。用。(横向力相距较横向力相距较 大大) 2021-6-1328 二、梁与平面弯曲二、梁与平面弯曲 以以弯曲弯曲为主要变形的杆件叫为主要变形的杆件叫梁梁。 平面弯曲平面

13、弯曲：梁在承受横向载荷时，轴线弯曲后：梁在承受横向载荷时，轴线弯曲后 在纵向平面内仍为一平面曲线。在纵向平面内仍为一平面曲线。 2. 变形特点变形特点 任意两横截面绕垂直任意两横截面绕垂直 于轴线的轴作相对转于轴线的轴作相对转 动，动，轴线由直线变为轴线由直线变为 曲线曲线，如右图。，如右图。 a a m m m b P m b 2021-6-1329 三、示例三、示例 四、梁的类型四、梁的类型 简支梁简支梁：一端固定铰链支座，另一端可动铰链：一端固定铰链支座，另一端可动铰链 支座。如天车。支座。如天车。 起重机横梁起重机横梁(天车天车) q(自重） G(重物） 塔器塔器 q G 物料自重物料

14、自重G 风载荷风载荷q 2021-6-1330 五、作用在梁上的载荷五、作用在梁上的载荷 集中力集中力： (作用范围很小作用范围很小) ，如上图中的，如上图中的P。 分布载荷分布载荷：(分布在长的一段内分布在长的一段内) ，如左上图中的，如左上图中的q。 集中力偶集中力偶：作用范围很小。：作用范围很小。 外伸梁外伸梁：简支梁一端或两端外伸。如：简支梁一端或两端外伸。如卧式容器。卧式容器。 q 悬臂梁悬臂梁：一端固定，一端自由。：一端固定，一端自由。 P m 2021-6-1331 6-2 6-2 梁弯曲时的内力梁弯曲时的内力剪力和弯矩剪力和弯矩 一、梁弯曲时的内力一、梁弯曲时的内力 1. 内力

15、内力 同拉压相似，梁在承受外载荷时，它的横截面同拉压相似，梁在承受外载荷时，它的横截面 上存在内力。要求取内力，首先要作上存在内力。要求取内力，首先要作受力图受力图，用，用 截面法截面法利用利用静力平衡方程静力平衡方程来求来求外力引起的内力外力引起的内力。 A l B P 简支梁受力图。简支梁受力图。 2021-6-1332 在距在距A端端x处有截面处有截面m-m，取，取 左段左段进行分析。进行分析。 A l B P P YA YB m m x 由平衡关系知，在由平衡关系知，在m-m处必处必 存在力存在力Q和力矩和力矩M YA x Q M (Q与与YA平衡，平衡，M与与Q和和YA形形 成的力偶

16、平衡成的力偶平衡) 则截面上的力则截面上的力Q称为称为剪力剪力(使使 梁剪断的趋势梁剪断的趋势) ，力矩，力矩M称为称为 弯矩弯矩(使梁弯曲使梁弯曲) 。 故故内力为内力为： 剪力剪力(切力切力) Q、 弯矩弯矩M。 2021-6-1333 2. 内力的求取内力的求取 （1）截面法）截面法 作分离体的受力图作分离体的受力图 用截面法利用静力学平衡方程求解用截面法利用静力学平衡方程求解 适用所有基本变形的内力求取，但较繁琐。适用所有基本变形的内力求取，但较繁琐。 （2）计算法）计算法 剪力剪力Q：等于左或右段所有外力的代数和。等于左或右段所有外力的代数和。 外力的符号外力的符号规定为：左段向上的

17、外力为正，右段规定为：左段向上的外力为正，右段 向下的外力为正，即：向下的外力为正，即：“左上右下为正左上右下为正”。 2021-6-1334 弯矩弯矩M：等于左等于左(上上)或右或右(下下)段所有外力对截面形段所有外力对截面形 心取矩的代数和。心取矩的代数和。 力矩的符号规定力矩的符号规定：外力对截面形心之矩，左段顺时外力对截面形心之矩，左段顺时 针转向为正，右段逆时针转向为正，针转向为正，右段逆时针转向为正，即：即：“左顺左顺 右逆为正右逆为正”。 P P (a)正剪力正剪力 Q Q m m M M (c)正弯矩正弯矩 所有向上的外力在横截面上形成正弯矩所有向上的外力在横截面上形成正弯矩

18、2021-6-1335 6-3 6-3 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 梁横梁横截面上截面上的剪力和弯矩，一般是随截面的位置的剪力和弯矩，一般是随截面的位置 而变化的，即而变化的，即Q=Q(x)，M= M (x)，称为，称为剪力方剪力方 程程和和弯矩方程弯矩方程。 若将若将Q、 M 在在Qx， M x图上表示出来，则称图上表示出来，则称 为为剪力图剪力图和和弯矩图弯矩图。 一、剪力图和弯矩图的绘制过程一、剪力图和弯矩图的绘制过程 分离体的受力图分离体的受力图剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程剪力图剪力图 和弯矩图和弯矩图。 2021-6-1336 二、分析与讨论二、分析与讨论 （1）画图时一般应分段，）画图时一般应分段，分段的原则分段的原则是：各段内各段内 的外载规律不变的外载规律不变。 （2）剪力图和弯矩图上往往有突变）剪力图和弯矩图上往往有突变。 （集中力、集中力偶处，突变值即集中力、集中集中力、集中力偶处，突变值即集中力、集中 力偶的大小力偶的大小） （3）从图中可知）从图中可知Qmax、Mmax，从而确定危险截面，从而确定危险截面， 为强度校核作准备为强度校核作准备。 2021-6-1337 三、示例三、示例 如图所示，画出该梁的剪力图和弯矩图，并找如图所示，画出该梁的剪力图和弯矩图，并找 出出Qmax、Mmax。