杆件的内力分析(1轴向拉伸与压缩)

1、机械工学 引言 v主要内容 内力的概念及求解方法 轴向拉伸或压缩 剪切或挤压 圆轴的扭转 直梁的弯曲 v重点 轴向拉伸或压缩、直梁的弯曲、剪切或挤压 v难点 直梁的弯曲 v授课计划 授课时数授课时数3.53.5学时，学时， 累计累计 3.53.5学时学时 1 1、内力的概念及求解方法、内力的概念及求解方法 3 4 1.1 内力的概念 外力外力构件所承受的载荷及约束反力；构件所承受的载荷及约束反力； 内力内力构件在外力作用下将产生变形，其构件在外力作用下将产生变形，其 各部分之间的相对位置将发生变化，从而产生各部分之间的相对位置将发生变化，从而产生 构件内部各部分之间的相互作用力。这种由外构件内

2、部各部分之间的相互作用力。这种由外 力引起的构件内部的相互作用力，称为内力。力引起的构件内部的相互作用力，称为内力。 这种内力的大小以及它在构件内部的分布这种内力的大小以及它在构件内部的分布 方式随外力和变形的改变而变化，并与构件的方式随外力和变形的改变而变化，并与构件的 强度、刚度和稳定性密切相关，强度、刚度和稳定性密切相关，内力分析是材内力分析是材 料力学的基础。料力学的基础。 1.2 内力的求解方法 v截面法： （1 1）在需要求内力的截面处，假想用一垂直于轴）在需要求内力的截面处，假想用一垂直于轴 线的截面把构件分成两个部分，保留其中任一部分线的截面把构件分成两个部分，保留其中任一部分

3、 作为研究对象，称之为分离体；作为研究对象，称之为分离体； （2 2）将弃去的另一部分对保留部分的作用力用截）将弃去的另一部分对保留部分的作用力用截 面上的内力代替；面上的内力代替； （3 3）对保留部分）对保留部分( (分离体分离体) )建立平衡方程式，由已建立平衡方程式，由已 知外力求出截面上内力的大小和方向。知外力求出截面上内力的大小和方向。 v 注：在使用截面法求内力时，构件在被截开前，静力注：在使用截面法求内力时，构件在被截开前，静力 学中的力系等效代换及力的可传性是不适用的。学中的力系等效代换及力的可传性是不适用的。 v截面法是材料力学分析内力的基本方法。截面法是材料力学分析内力的

4、基本方法。 2、轴向拉伸与压缩 v主要内容 2.1 2.1 轴向拉压举例轴向拉压举例 2.2 2.2 截面法与轴力截面法与轴力 2.3 2.3 拉压杆横截面上的应力拉压杆横截面上的应力 2.4 2.4 轴向拉压的变形分析轴向拉压的变形分析 2.5 2.5 拉伸和压缩时材料的力学性能拉伸和压缩时材料的力学性能 2.6 2.6 轴向拉压的强度条件轴向拉压的强度条件 2.1 2.1 轴向拉压举例轴向拉压举例 曲柄连杆机构曲柄连杆机构连杆连杆 P 特点：特点： 连杆为直杆连杆为直杆 外力大小相等外力大小相等 方向相反沿杆方向相反沿杆 轴线轴线 杆的变形为轴向伸杆的变形为轴向伸 长或缩短长或缩短 等直杆

5、沿轴线受到一对大小相等方向相反的力作用，称为轴向等直杆沿轴线受到一对大小相等方向相反的力作用，称为轴向 拉压。拉压。 受力特征：杆受一对大小相等、方向相反的纵向力，受力特征：杆受一对大小相等、方向相反的纵向力， 力的作用线与杆轴线重合力的作用线与杆轴线重合 2.2 截面法与轴力 v为了分析拉压杆的强度和变形，首先需要了为了分析拉压杆的强度和变形，首先需要了 解杆的内力情况解杆的内力情况 v 材料力学中，采用截面法研究杆的内力材料力学中，采用截面法研究杆的内力 1 1、截面法、截面法 切开：沿所求截面假想地将杆件切开；切开：沿所求截面假想地将杆件切开； 取出：取出其中任意一部分作为研究对象；取出

6、：取出其中任意一部分作为研究对象； 替代：以内力代替弃去部分对选取部分的作用；替代：以内力代替弃去部分对选取部分的作用； 平衡：列出平衡方程求出内力。平衡：列出平衡方程求出内力。 P I PP III P II N S SX=0：+N- -P=0 N=P S SX=0：- -N+ +P=0 N=P N x x 截面法的步骤截面法的步骤：注意：外力的正负号取决于坐注意：外力的正负号取决于坐 标，与坐标轴同向为正，标，与坐标轴同向为正， 反之反之 为负。为负。 截面法求内力举例：截面法求内力举例：求杆求杆ABAB段和段和BCBC段的内力段的内力 A B C 2P P P 1 1 2 2 2P N1

7、 N2 020 1 - PNXPN2 1 020 2 -+ PPNX PN 2 2P P x 2 2、轴力与轴力图、轴力与轴力图 拉压杆的内力称为轴力，用拉压杆的内力称为轴力，用 N N 表示表示 轴力的正负号规定： 轴力的方向与所在截面的外法线方向一致时，取 正；反之取负。 轴力沿横截面的分布图称为轴力图：轴力沿横截面的分布图称为轴力图： 为了表明横截面上的轴力沿轴线变化的情 况，选定一定比例尺，以平行于杆轴线的坐标 表示横截面所在的位置，以垂直于杆轴线的坐 标表示横截面上轴力的数值，这样绘出的图形 称为轴力图。 N |N|max=100kN + - - 150kN100kN50kN 100

8、kN NII= - -100kN II II NII I I II II 50kN 100kN NI=50kN I NI I 50kN 求轴力的简化方法： 某截面的轴力等于该截面一侧所有外力的代数 和； 外力指向截面为负；背离截面为正。 N N N 1 2 3 10 5 20 - - kN kN kN 2.3 2.3 拉压杆横截面上的应力拉压杆横截面上的应力 1 1、应力的概念、应力的概念 为了描写内力的分布规律，我们将为了描写内力的分布规律，我们将单位面积的内力称为应力单位面积的内力称为应力。 在某个截面上，在某个截面上， 与该截面垂直的应力称为与该截面垂直的应力称为正应力正应力。 与该截面

9、平行的应力称为与该截面平行的应力称为剪应力剪应力。 记为： 记为： 应力的单位：应力的单位：Pa 2 11m/NPa 工程上经常采用兆帕（工程上经常采用兆帕（MPa）作单位作单位 Pamm/NMPa 62 1011 2 2、拉压杆横截面上的应力、拉压杆横截面上的应力 杆件在外力作用下不但产生内力，还使杆杆件在外力作用下不但产生内力，还使杆 件发生变形所以讨论横截面的应力时需要知道件发生变形所以讨论横截面的应力时需要知道 变形的规律，我们可以做一个实验变形的规律，我们可以做一个实验 PP P P 说明杆内纵向纤维的伸长量是相同的，或者说明杆内纵向纤维的伸长量是相同的，或者 说横截面上每一点的伸长

10、量是相同的说横截面上每一点的伸长量是相同的 P N 如果杆的横截面积为：如果杆的横截面积为：A A A N 根据前面的实验，我么可以得出结论，即横根据前面的实验，我么可以得出结论，即横 截面上每一点存在相同的拉力截面上每一点存在相同的拉力 例例2-1 2-1 图示矩形截面（图示矩形截面（b b h h）杆，已知杆，已知b b = 2= 2cmcm ， h h=4=4cm cm ，P P1 1 = 20 KN = 20 KN， P P2 2 = 40 KN = 40 KN， P P3 3 = 60 KN = 60 KN，求，求ABAB段段 和和BCBC段的应力段的应力 A BC P1 P2 P3

11、 P1N1 x 0 11 +-PNKNPN20 11 MPammN mm N A N 25/25 4020 100020 2 2 1 1 1 压应力压应力 P3 N20 32 - PN KNPN60 32 压应力压应力 MPa A N 75 2 2 2 5kN |N|max=5kN N 2kN 1kN 1kN + + - - f f20 f f10 f f30 2kN4kN6kN 3kN 1 1 3 3 2 2 例2-2:做轴力图并求各个截面应力 f f20 f f10 f f30 MPa8 . 2 )1030( 4102 A N MPa7 .12 )1010( 4101 A N MPa9 .

12、15 )1020( 4105 A N 23 3 3 3 3 23 3 2 2 2 23 3 1 1 1 - - - - - - - - - - f f20 f f10 f f30 2kN4kN6kN 3kN 例例2-3 图示为一悬臂吊车，图示为一悬臂吊车， BC为为 实心圆管，横截面积实心圆管，横截面积A1 = 100mm2， AB为矩形截面，横截面积为矩形截面，横截面积A2 = 200mm2，假设起吊物重为假设起吊物重为 Q = 10KN，求各杆的应力。求各杆的应力。 30 A B C 首先计算各杆的内力：首先计算各杆的内力： 需要分析需要分析B点的受力点的受力 Q F1 F2 x y 0X

13、0F30cosF 21 +- 0Y 0Q60cosF 1 - KN20Q2F 1 KN32.17F3 2 1 F 12 30 A B C Q F1 F2 x y BC杆的受力为拉力，大小等于杆的受力为拉力，大小等于 F1 AB杆的受力为压力，大杆的受力为压力，大 小等于小等于 F2 由作用力和反作用力可知：由作用力和反作用力可知： 最后可以计算的应力：最后可以计算的应力： BC杆：杆： MPa200 mm100 KN20 A F A N 2 1 1 1 1 1 AB杆：杆： MPa6 .86 mm200 KN32.17 A F A N 2 2 2 2 2 2 - - - 1、已知实心圆截面阶梯

14、轴受力、已知实心圆截面阶梯轴受力P1 = 20KN， P2 = 50KN，AB 段直径段直径d1 = 20mm，BC段直径段直径d2 = 30mm，求两段杆横截面的求两段杆横截面的 正应力。正应力。 A B C P1 P2 2、已知某活塞杆直径为、已知某活塞杆直径为 D = 60mm，退刀槽直径为退刀槽直径为 d = 40mm， 拉力拉力 P 等于等于 300KN，求杆内横截面最大正应力。求杆内横截面最大正应力。 D 退刀槽 PP 课堂练习课堂练习 2.4 2.4 轴向拉压的变形分析轴向拉压的变形分析 细长杆受拉会变长变细，细长杆受拉会变长变细， 受压会变短变粗受压会变短变粗 d L P P

15、d-D Dd L+D DL 长短的变化，沿轴线方向，称为长短的变化，沿轴线方向，称为 纵向变形纵向变形 粗细的变化，与轴线垂直，称为粗细的变化，与轴线垂直，称为 横向变形横向变形 P P P P 1 1、纵向变形、纵向变形 l l lll-D 实验表明实验表明 A Pl l D 变形和拉力成正比变形和拉力成正比 引入比例系数引入比例系数E，又拉压杆的轴力等于拉力又拉压杆的轴力等于拉力 EA Nl l D EA Nl l D E E 体现了材料的性质，称为材料的体现了材料的性质，称为材料的拉伸弹性模量拉伸弹性模量，单单 位与应力相同位与应力相同 称为胡克（虎克）定律称为胡克（虎克）定律 显然，纵

16、向变形与显然，纵向变形与E 成反比，也与横截面积成反比，也与横截面积A 成反比成反比 EAEA 称为抗拉刚度称为抗拉刚度 为了说明变形的程度，令为了说明变形的程度，令 l l l llD - 称为纵向线应变，显然，伸长为正号，缩短为负称为纵向线应变，显然，伸长为正号，缩短为负 号号 EA Nl l D l l l llD - EEA N1 E 也称为胡克定律：也称为胡克定律：当应力不当应力不 超过比例极限时，则正应力与超过比例极限时，则正应力与 纵向线应变成正比纵向线应变成正比 称为胡克（虎克）定律称为胡克（虎克）定律: tgE 2 2、横向变形、横向变形 P P PP l l h h hhh

17、-D 同理，令同理，令 h h h hhD - 为横向线应变为横向线应变 实验表明，对于同一种材料，存在如下关系：实验表明，对于同一种材料，存在如下关系： 称为泊松比，是一个材料常数称为泊松比，是一个材料常数 - 负号表示纵向与横向负号表示纵向与横向 变形的方向相反变形的方向相反 EEA N1 E - E最重要的两个材料弹性常数，可查表最重要的两个材料弹性常数，可查表 2.5 2.5 拉伸和压缩时材料的力学性能拉伸和压缩时材料的力学性能 力学性质：在外力作用下材料在变形和破坏方面所力学性质：在外力作用下材料在变形和破坏方面所 表现出的力学性能表现出的力学性能 试件和实验条件试件和实验条件 常温

18、、静常温、静 载载 v材料拉伸时的力学性质材料拉伸时的力学性质 材料拉伸时的力学性质材料拉伸时的力学性质 低碳钢的拉伸低碳钢的拉伸 材料拉伸时的力学性质材料拉伸时的力学性质 o a b c e f 明显的四个阶段明显的四个阶段 1 1、弹性阶段、弹性阶段obob P 比例极限比例极限 E e 弹性极限弹性极限 E tan 2 2、屈服阶段、屈服阶段bcbc（失去抵失去抵 抗变形的能力）抗变形的能力） s 屈服极限屈服极限 3 3、强化阶段、强化阶段cece（恢复抵抗恢复抵抗 变形的能力）变形的能力） 强度极限强度极限 b 4 4、局部颈缩阶段、局部颈缩阶段efef P e s b 胡克定律胡克

19、定律 材料拉伸时的力学性质材料拉伸时的力学性质 两个塑性指标两个塑性指标: : %100 0 01 - l ll 断后伸长率断后伸长率 断面收缩率断面收缩率%100 0 10 - A AA %5 为塑性材料：为塑性材料： 低碳钢、铝合低碳钢、铝合 金、青铜等金、青铜等 %5 为脆性材料：为脆性材料： 铸铁、高碳钢、铸铁、高碳钢、 混凝土混凝土 低碳钢的低碳钢的%3020 %60 为塑性材料为塑性材料 0 材料拉伸时的力学性质材料拉伸时的力学性质 其它材料拉伸时的力学性其它材料拉伸时的力学性 质质 对于没有明对于没有明 显屈服阶段的塑显屈服阶段的塑 性材料，用名义性材料，用名义 屈服极限屈服极限

20、p0.2 p0.2来 来 表示。表示。 o %2 . 0 2 . 0p 材料拉伸时的力学性质材料拉伸时的力学性质 o bt 对于脆性材料（铸铁），拉伸时的应力对于脆性材料（铸铁），拉伸时的应力 应变曲线为微弯的曲线，没有屈服和颈缩现应变曲线为微弯的曲线，没有屈服和颈缩现 象，试件突然拉断。断后伸长率约为象，试件突然拉断。断后伸长率约为0.5%0.5%。 为典型的脆性材料。为典型的脆性材料。 bt bt拉伸强度极限（约为 拉伸强度极限（约为140MPa140MPa）。）。它是它是 衡量脆性材料（铸铁）拉伸的唯一强度指标。衡量脆性材料（铸铁）拉伸的唯一强度指标。 材料压缩时的力学性质材料压缩时的力

21、学性质 试件和实验条件试件和实验条件 常温、静载常温、静载 材料压缩时的力学性质材料压缩时的力学性质 塑性材料（低碳钢）的压缩塑性材料（低碳钢）的压缩 屈服极限屈服极限 S 比例极限比例极限 p 弹性极限弹性极限 e 拉伸与压缩在屈服拉伸与压缩在屈服 阶段以前完全相同。阶段以前完全相同。 E E - - 弹性摸量弹性摸量 材料压缩时的力学性质材料压缩时的力学性质 脆性材料（铸铁）的压缩脆性材料（铸铁）的压缩 o bt bc 脆性材料的抗拉与抗压脆性材料的抗拉与抗压 性质不完全相同性质不完全相同 压缩时的强度极限远大压缩时的强度极限远大 于拉伸时的强度极限于拉伸时的强度极限 btbc 材料压缩时

22、的力学性质材料压缩时的力学性质 2.6 2.6 拉压杆的强度条件拉压杆的强度条件 安全系数和许用应力安全系数和许用应力 工作应力工作应力 A FN n u 极限应力极限应力 塑性材料塑性材料 脆性材料脆性材料 ）（ 2 . 0pSu ）（ bcbtu 塑性材料的许用应力塑性材料的许用应力 s p s s nn 2 . 0 脆性材料的许用应力脆性材料的许用应力 b bc b bt nn n n 安全系数安全系数 许用应力许用应力。 拉压杆的强度条件拉压杆的强度条件 强度条件强度条件 A FN max A FN max 根据强度条件，可以解决三类强度计算问题根据强度条件，可以解决三类强度计算问题 （1 1）强度校核：）强度校核： N F A（2 2）设计截面：）设计截面： AFN （3 3）确定许可载荷：）确定许可载荷： 拉压杆的强度条件拉压杆的强度条件 例题例题 D=350mmD=350mm，p=1MPap=1MPa。螺栓螺栓 =40MPa=40MPa， 求活塞杆直径。求活塞杆直径。 pDF 2 4 每个螺栓承受轴力为总压力的每个螺栓承受轴力为总压力的1/61/6 解：解： 油缸盖受到的力油缸盖受到的力 根据强度条件根据强度条件 A FN ma