工程测量技术_第3章 误差理论

1、1 3 测量误差理论及测量误差理论及 实验数据处理实验数据处理 工程测试技术 2 3.1 测量误差的基本概念 n真值：被测参数在一定条件下总有一个客观存在的量，通常 称之为真值。测量的目的就是求得此真值。 n测量误差：测量值与真值之差称为测量误差。 n = l -A 测量误差 l 测量值 A 真值 n算术平均值对某参数进行n次测量，得到n个测量值：l1， l2，ln，其算术平均值为 n 偏差i为某测量值li与算术平均值之差，即 n注意：注意： n算术平均值不同于真值，偏差不同于误差。算术平均值不同于真值，偏差不同于误差。 nlllL n / )( 21 Lli i 3 3.1 测量误差的基本概

2、念 n研究测量误差理论所要解决的问题： n在实际测量中如何根据测定值获得近似的真值， 如何确定测量误差。 n3.1.2 研究测量误差理论的意义： n1、寻求正确认识测量误差的性质与分析测量 误差产生的原因，以及最大限度地消除或减 小测量误差的途径。 n2、寻求正确处理测量数据的理论和方法，以 便在同样条件下，能获得最精确最可靠地反 映真值的测量结果。 4 3.1 测量误差的基本概念 n3.1.3 测量误差测量误差产生的原因产生的原因 n1、测量、测量方法方法引起的误差，如：引起的误差，如： n间接测量中的误差，近似测量法引起的误差，测量时不正确间接测量中的误差，近似测量法引起的误差，测量时不正

3、确 的安装等。的安装等。 n2、测量、测量设备设备引起的误差，如：引起的误差，如： n标准仪器的误差，仪器设计，制造及使用中不完善引起的误标准仪器的误差，仪器设计，制造及使用中不完善引起的误 差等。差等。 n3、环境环境条件引起的误差，如：条件引起的误差，如： n影响测量误差的环境条件影响测量误差的环境条件-温度、湿度、气压、光照、振动、温度、湿度、气压、光照、振动、 电磁场、空气中的粉尘等。电磁场、空气中的粉尘等。 n4、测量、测量人员人员引起的误差。如：引起的误差。如： n生理特点、固有习惯、工作责任心、测量知识、仪器使用能生理特点、固有习惯、工作责任心、测量知识、仪器使用能 力、经验等。

4、力、经验等。 5 3.1 测量误差的基本概念 n3.1.4 测量误差的测量误差的分类分类 n 按测量的性质，测量误差可分为三类： n（1）系统误差系统误差对某一参数进行多次重复测量时，以确定的规 律（定值或线性或周期等）影响各次测量值的误差。系统误差越 小, 测量准确度越高。 n 定值系统误差定值系统误差数值和符号始终保持不变的。 n 变值系统误差变值系统误差其他情况。 原因：原因： 如如 零位零位的调整，零点校准不好等的调整，零点校准不好等 消除方法：消除方法： 不能不能用用增加增加测量测量次数次数来减小或消除。需要通过实验或来减小或消除。需要通过实验或分析分析 的方法查明其产生原因和变化规

5、律，采取相应措施减小的方法查明其产生原因和变化规律，采取相应措施减小 或消除或消除或或对测量结果对测量结果加以修正加以修正。 6 3.1 测量误差的基本概念 n（2）随机误差随机误差在一定的测量条件下，对某一参数进行多次重 复测量时，所得的各次测量值的误差无确定的规律无确定的规律，符号和数值 大小均不定的误差。（或偶然误差） 特征： a、进行多次重复测量时，误差有明显的随机性而无确定的规 律，但服从一定的统计规律。 b、随机误差表现为测量结果的分散性，随机误差越小，测量 精密度越高。 c、随机误差无法消除或校正，只能用统计的方法对其进行估 算。 7 3.1 测量误差的基本概念 原因：多种不显著

6、的误差因素综合作用的结果。 例如： 测量过程中测量仪器传动机构的摩擦、间隙等因素造 成的误差; 元器件性能的不稳定、测量力不稳定、零部件的变形; 温度、湿度、光照、电磁场等环境条件波动引起的误 差; 电源电压波动引起的误差等。 8 3.1 测量误差的基本概念 n（3）粗大误差粗大误差在一定的测量条件下，对某一参数进行 测量时，由于测量者的粗心大意或环境条件的突变等各种 原因所造成的使测定值受到显著歪曲的误差。在处理测量 数据时，这种带有粗大误差的测定值应剔除粗大误差的测定值应剔除。 n特征：进行多次重复测量时，具有粗大误差的数据明 显地比其它数据偏大或偏小，明显地不合理。这种误 差只有通过比较

7、才能发现。 n原因： n如人员记录、读数的粗糙或环境中冲击、振动等。 9 3.1 测量误差的基本概念 n3.1.5 测量误差的表示方法 n 绝对绝对误差测量值与真值之差，单位与被测参数单 位相同。 n = l -A n 相对相对误差绝对误差与被测参数的真值A的比值。 n =（ / A ）100 n 当误差当误差很小时很小时，可用绝对误差与测量值 l 的比值来 计算相对误差 n =（ / l ）100 10 3.1 测量误差的基本概念 n3.1.6 引用误差的概念 n在直读式指示仪表中，如电工仪表，常采用 “引用误差”来表示其精确程度，划分其等 级。在这类仪表的整个量程中，各刻度点的在这类仪表的

8、整个量程中，各刻度点的 示值和其对应的真值之差（即示值误差）都示值和其对应的真值之差（即示值误差）都 可能不同可能不同，所以在计算各点示值的相对误差 时很麻烦。为了计算和划分精度等级，引用 了“引用误差”的概念。 n引用误差引用误差：将各点示值误差与满刻度值之比 的百分数称为该点的“引用误差”。 11 n电工仪表的精度等级分为0.1，0.2，0.5，1.0，1.5， 2.5和5.0七级七级，这些等级数字都表示该级仪表所允许 的“最大最大引用误差”的百分数。 n例： n检定测量上限（满刻度值）为100伏的电压表时，若 在25伏刻度点的示值误差为1伏，50伏刻度点的示值 误差为2伏，则根据定义算出

9、在25伏刻度点处的引用引用 误差为误差为1%，在50伏刻度点处的引用误差为引用误差为2%。 n若在50伏刻度点处的示值误差是各刻度点示值误差的 最大值，该电压表的最大引用误差为2%，它不超过 2.5%，因而此电压表的精度等级为2.5级。 3.1 测量误差的基本概念 12 3.1 测量误差的基本概念 n如果仪表为M级，则仅说明合格仪表最大引用 误差不会超过M%，而不能认为它在各刻度点 的示值误差都具有M%的精度。 n设仪表的满刻度值为Xm，测量点为Xi，则该仪 表在Xi点邻近处： n示值误差的绝对误差 n示值误差的相对相对误差 n一般地，一般地，Xi越接近越接近Xm，越小，测量精度越高。越小，测

10、量精度越高。 因此利用这类仪表进行测量时，要尽可能利用因此利用这类仪表进行测量时，要尽可能利用 满刻度值满刻度值2/3以上以上的一段量程。的一段量程。 %MX m %M X X i m 13 n3.1.6 确定测量误差的基本方法 n 逐项分析法逐项分析法定义？ n对测量中可能产生的误差进行分析，逐项计算它们的误差值，将 其中主要项目，根据其性质不同的规律综合成总的极限测量误差。 n优点：能反映出各种误差成分在总误差中所占的比重，能了解产 生误差的主要原因，并据此提出减小误差的主要措施。 n缺点：有时为分析简便起见，将复杂问题简化，计算时按各因素 影响最严重的情况来考虑，所以极限误差往往偏大。

11、n适用：拟定测量方案，研制新量仪，研究提高现有测量方法和量 仪的精度。 3.1 测量误差的基本概念 14 n 实验统计法定义？ n应用数理统计方法，对在实际条件下所获得的测量数 据进行分析处理，确定其最可靠的测量结果和估算其 极限误差。 n 特点：能估算各影响因素实际综合作用下的测量极 限误差，但不能发现定值系统误差。 n适用：一般测量工作的误差估算。 n实际工作中，两种方法综合应用两种方法综合应用，相互补充、验证补充、验证， 对测量误差做出更全面、更客观的分析与估算。 3.1 测量误差的基本概念 15 3.1.7 准确度、精密度和精确度比较 我们来看以下几种情况： 1、如果在测量误差中，系统

12、误差很小，而随机误差很大， 这时测定值的重复性就很差，围绕着平均值分布得很分 散，而平均值很接近于真值。 2、测定值的平均值远离真值，即系统误差较大，但测定 值表现出重复性很好，围绕着平均值很密集。 3、如果在测量误差中系统误差和随机误差都很小，这时 平均值很接近于真值，随机误差的分布范围也很小。 3.1 测量误差 的基本概念 16 精密度精密度：反映随机误差随机误差大小和数据的相对差异和重复性，说明 测定值的分散程度分散程度的，它用随机误差的分布范围（极限随机 误差）或标准误差来评定。极限随机误差小，就是精密度高， 反之，就是精密度低。 准确度准确度：反映系统误差系统误差大小和数据的平均准确

13、性，说明这些测 定值的分布中心偏离真值的程度的，它用系统误差的大小来 评定。系统误差小，就是准确度高，反之，就是准确度低。 第一种情况就是精密度低而准确度高，第二种情况就是精密 度高而准确度低，第三种情况就是精密度和准确度都高，是 我们所希望的。 精密度和准确度都高，通常称之为精确度精确度高。所以精确度是 反映系统误差和随机误差的综合指标。 3.1 测量误差 的基本概念 17 3.2 随机误差的估算 n3.2.1 随机误差的实验随机误差的实验统计统计规律规律 n 从任何单独从任何单独一次一次测量来看，随机测量来看，随机误差误差的大小和符号是的大小和符号是不确定不确定的，然的，然 而在一定条件下

14、进行而在一定条件下进行大量大量的重复测量的总体来看，却有一定的规律，的重复测量的总体来看，却有一定的规律， 即随机误差的即随机误差的统计规律统计规律。 n 实验统计法实验统计法，理论基础是，理论基础是“概率论与数理统计概率论与数理统计”。 n 基本概念基本概念 n 总体：总体： 一项一项统计工作统计工作中被研究对象的中被研究对象的全体全体。 n 个体：个体： 所研究对象的一个单位，如，一个具体的测定值。所研究对象的一个单位，如，一个具体的测定值。 n 样本样本： n总体中抽出的一部分个体总体中抽出的一部分个体总合总合。样本所包含的。样本所包含的个体数目个体数目称为称为样本容样本容 量量(N)。

15、 18 3.2 随机误差的估算 n随机误差的实验统计规律 n 例如：为研究某种电感比较仪的测量误差，采用该仪器对 100mm高精度量块进行200次重复测量，得到200个数据，该如 何处理和评价这组数据呢？ n 实验统计法：实验统计法： n（1）将所测数据进行分组统计。按数据的实际分布范围，即最 大值与最小值之差，分成m个相等的间隔，即m组。m取值参考 表（P6页） n分组间距：x(Xmax-Xmin)/m（而且要求x(Xmax-Xmin)/m） n（2）统计频数，计算频率 n 统计N个测值分别落在各组内的数目ni，称为频数，并计算 频率（相对频数）fi=ni/N： 19 3.2 随机误差的估算

16、 n（3）绘制频率直方图 n 以测值为横坐标，各组数据频率为纵坐 标，绘制频率直方图。 n频率直方图反映了样本数据的 分布特征。数据的密集位置密集位置， 离散程度，数据所在的范围所在的范围， 分布的对称情况对称情况，是否存在是否存在 偏离中心较远的数据偏离中心较远的数据等， 因此，基本给出了测量数据 的统计规律。 n频率分布图频率分布图：直方图的长方形顶边中点 连接的折线图。ksdensity 20 3.2 随机误差的估算 n（4）样本均值，样本方差，样本标准差样本均值，样本方差，样本标准差 n 样本均值：就是样本中全部数据的算术平均值。 n样本均值表示样本分布中心的位置。 n 样本方差： 式

17、中： 称为剩余误差（残差）, N-1 数据的自由度（间 隙）。 n样本标准误差（或标准差）： n样本方差或标准差的大小反映了样本数据对其均值的离散程度， 即反映了数据的分散程度。 N i iN x N xxx N x 1 21 1 )( 1 2 1 2 )( 1 1 N i i xx N S xxi N i i xx N S 1 2 )( 1 1 21 3.2 随机误差的估算 n3.2.2 随机误差的理论统计规律 n n概率及概率密度概率及概率密度 n 概率：在相同条件下所进行的大量重复实验中，某一随机概率：在相同条件下所进行的大量重复实验中，某一随机 事件事件E出现的出现的频率频率f = n

18、/N（即频数即频数n对样本容量对样本容量N 之比），之比）， 当当N充分大时，趋向于一个稳定值，该值就是给定条件下随充分大时，趋向于一个稳定值，该值就是给定条件下随 机事件出现的机事件出现的概率概率。记为。记为P(E)，即，即 n P(E)= n/N 式中式中N充分地大充分地大 22 3.2 随机误差的估算 n频率频率直方直方图，样本容量增加，图，样本容量增加， 组距缩小时，形成组距缩小时，形成概率密度曲概率密度曲 线线。如右图如右图 n同一对象多次重复测量，若各同一对象多次重复测量，若各 次数据相互独立，则这组测量次数据相互独立，则这组测量 数据符合数据符合高斯分布高斯分布 n正态分布正态分

19、布（高斯高斯分布）：通常分布）：通常 多种均多种均不占优的的独立随机因素随机因素 综合影响下的随机变量的概率综合影响下的随机变量的概率 密度函数为密度函数为 2 2 2 )( 2 1 )( x e xpy x被测数据，被测数据，理论平均值理论平均值 标准误差，标准误差，e自然对数底自然对数底 23 3.2 随机误差的估算 n随机误差x在（x1，x2）范围内的概率 )()( 2 1 2 1 2 1 2 1 )()( 12 0 2 0 2 22 )( 21 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 zzdzedze dzedxedxxpxxxP z z z z z z z xx x x

20、x Z Z dZe Z 0 2 2 2 1 )( n（Z）称为）称为拉普拉斯函数拉普拉斯函数，对应于各种，对应于各种Z值的值的 （Z）函数可查表）函数可查表2-3。 n其中 24 3.2 随机误差的估算 n随机变量x的取值在下列范围内时的概率： %9999. 0)58. 2(2)58. 258. 2( xP %73.999973. 0)3(2)33( xP %959500. 0)96. 1(2)22( xP %26.686826. 0)1(2)( xP x max 1/2y x 0y 是曲线最高点 故此曲线以故此曲线以x轴为渐近线轴为渐近线。 这说明具有正态分布的随机变 量，其理论分布范围为无

21、穷大。 25 3.2 随机误差的估算 n正态分布的四个特点四个特点： n1、单峰性： n绝对值较小的随机误差（xi-)比绝对 值较大的随机误差出现的可能性大， 即出现的次数多。 n2、对称性： n绝对值相等而符号相反的随机误差出 现的可能性相同。 n3、相消性： n随着测量次数的无限增加，随机误差 的代数和趋近于零。抵偿性。抵偿性。 n4、有界性： n在一定条件下，随机误差的分布实际 上有一定的范围。3。 26 3.2 随机误差的估算 n若令 n即1-表示随机变量x落在（-t, +t）范围内的概率，称为置 信概率或或置信度置信度，它表示随机变量x会落在（-t, +t）范围 内的可靠程度可靠程度

22、。 n则称为显著水平或信度信度， n它表示x在（-t, n+t）范围内时所具有 n的不可靠程度不可靠程度。（-t, n+t）则称为置信区间置信区间， n t称为置信限置信限，t称为置置 n信系数信系数。 txtP 1)( 27 3.2 随机误差的估算 3.2.3 样本均值的标准差 样本均值 本身也是一个随机变量。 若各组数据是高斯分布，其均值也是高 斯分布，中心，其标准差 N1 原来总体的标准差，N样本容量 m xxx , 21, ), 2 , 1(mjx j j x N x 28 3.2 随机误差的估算 当N增大时， 的比值减小，测量精度提高。 但当N20以后， 减小很慢，靠增加测量次数来

23、提高精度效率很低。 因此 测量次数测量次数 N一般一般 不超过不超过20。 x 1/ N 1 x N 29 3.2 随机误差的估算 n理论平均值含义 n没有系统误差时，可 认为为真值 n样本样本均值 可作为 的估计值 n测量中，设法消除系 统误差后，以 作为 真值的估计值 x x 30 3.2 随机误差的估算 极限误差：为总体的标准差 用样本均值 作结果，极限误差 总体未知时，重复测量次数不多时， 的极限误差按t分布估算（见P19） t(k， )置信系数，信度， k自由度：自由度：k=N-1，S样本的标准误差 3 lim x N x 3 lim N S kt x )( lim x 31 3.2

24、 随机误差的估算 n作业：例2-2、例2-3 n 何为置信度？置信度的含义？ 32 3.3 系统误差的发现与消除 n3.3.1 定值系统误差定值系统误差的发现与消除的发现与消除 n 定值系统误差不影响随机误差的剩余误差(vi=xi-x)及分布 规律，只影响其均值，无法从数据的处理中发现定值系统误 差，也发现系统误差，必须采用其它方法：无法用重复测量 的方法 n 1）消除产生系统误差的根源（如零位零位变动）； n 2）测量后对测定值修正（如采用更高精度高精度仪器）； n 3）测量过程中采用适当方法抵消系统误差（如异号异号法）。 n 3.3.2 变变值系统误差值系统误差的影响的影响 n 变值系统误

25、差既影响随机误差分布曲线的位置，又影响 其分布规律，必须消除。 33 3.3 系统误差的发现与消除 n变值系统误差变值系统误差的发现与消除的发现与消除 n1）观察剩余误差剩余误差变化 n按测量顺序将剩余误差排序，如大小有规律地向一个方向变 化，其符号：“-+”或“+-”，则有累积系统误差 n若符号有规律交替变化，则有周期性系统误差 n若符号大体上正负相间，则无变值系统误差。 n 2）对剩余误差进行对剩余误差进行校验校验 n将前K个剩余误差相加，后K个剩余误差相加，其和相减和相减得， 若显著不为零，则有累积系统误差。 n当发现有显著系统误差时，应分析和实验，查明原因并设 法消除。 34 3.4

26、粗大误差粗大误差的剔除 n由于粗大误差粗大误差会显著歪曲测量结果，所以在处理测量数据时，应将 含有粗大误差粗大误差的测定值剔除出去。但是在测定值中剔除可疑的数值， 不能不能根据主观随意剔除主观随意剔除，应依据一定标准。 n 3.4.1 3准则准则（来伊达来伊达标准） n具有正态分布的随机误差常以3作为实际分布范围，超出 3的 误差可能性是很小的（0.27%）。 n因此，当某个测定值的误差误差（通常用剩余误差来代替通常用剩余误差来代替）超过 3 （可用测量值的样本标准误差S作估计值）时，即 时就应作为粗大误差予以剔除。 n当测量次数较少时当测量次数较少时， 3标准可靠性较差标准可靠性较差，此时常

27、用其它标准。 3xxi i 35 n3.4.2 格拉布斯格拉布斯（Grubbs）标准 n多次重复测量，取得N个测量值x1，x2，xN，并假定这些 测定值为正态分布的，计算出： n若测定值中的最大值或最小值的剩余误差满足以下关系： n就认为该测定值xi含有粗大误差，应予以剔除。 n式中g0是决定于测量次数N和信度信度的数值，可查表获得。表 示按上式剔除粗大误差可能错判的概率，通常=0.05或 =0.01。 N i i x N x 1 1 N i i xx N s 1 2 )( 1 1 Sgxx ii 0 3.4 粗大误差的剔除 36 n g0 数 值 表 N N N N 0.050.010.05

28、0.010.050.010.050.01 3 1.151.16102.182.41172.482.78242.642.99 4 1.461.49112.232.48182.502.82252.663.01 5 1.671.75122.282.55192.532.85302.743.10 6 1.821.94132.332.61202.562.88352.813.18 7 1.942.10142.372.66212.582.91402.873.24 8 2.032.22152.412.70222.602.94502.963.34 9 2.112.32162.442.75232.622.96100

29、3.173.59 与表与表2-5不一样，此表中选用不一样，此表中选用测量次数测量次数N，而，而非自由度非自由度N-1 37 3.5 函数误差与误差传递 n直接测量与间接测量 n直接对所要研究的参数进行测量时称为直接测量法直接测量法，但 在测量工作中，由于各种原因不能或不宜直接测量，而 是直接测量与所研究参数有一定函数关系的其它参数 （称为基本参数或原始参数）并根据函数关系计算出所 研究参数的大小，这种方法称为间接测量法间接测量法。 n 例如：图示电路中，如果测得电阻R及R两端 n的电压U，根据公式可计算出通过R的电流I。 n R U I R U I 38 3.5 函数误差与误差传递 n问题：

30、n1、误差U和误差R通过公式计算的电流I会产生多大误差。 n2、如果给定电流I的允许误差，则直接测量U和R时的误差应 如何控制。 n这就是这就是函数误差问题函数误差问题，实际就是研究，实际就是研究误差的传递问题误差的传递问题，也就，也就 是说，基本参数的误差将以什么样的关系传递到间接测量的是说，基本参数的误差将以什么样的关系传递到间接测量的 参数上去？参数上去？ n3.5.1 函数误差传递的基本关系式 n设要间接间接测量的参数y与直接直接测量的基本参数 之间的函 数关系为： m xxx, 21 ),( 21m xxxFy 39 3.5 函数误差与误差传递 n根据 n将上式按泰勒公式展开，并略去

31、二次及二次以上的微量项， 可得到近似等式： n实际是函数y 的全微分，令 n则可写成 n式中的 称为误差传递系数误差传递系数，表示第第i个自变量的误差个自变量的误差 dxi传给函数传给函数y时放大或缩小的倍数时放大或缩小的倍数。它反映了某个参数的误 差对间接测量结果影响的大小。 ),( 2211mm dxxdxxdxxFdyy m m m dx x F dx x F dx x F xxxFdyy 2 2 1 1 21 ),( m m dx x F dx x F dx x F dy 2 2 1 1 mmdx CdxCdxCdy 2211 ), 2 , 1(mi x F C i i i i x F

32、 C 40 3.5 函数误差与误差传递 n3.5.2 函数误差的计算 n间接测量时,可根据各基本参数的测量误差，利用上 述关系式，可求间接测量结果的误差。这类问题称 为第一类第一类问题。 n1、函数函数系统误差系统误差的计算的计算 设各基本参数 的系统误差分别 为 ，将其代入前面公式中的微分 量 ，可得到函数的系统误差 例题：例题：在电流I的间接测量中，设测量U所产生的 系统误差为U，测量R的系统误差为R，试计 算函数I的系统误差I。 m xxx, 21 m xxx, 21 m dxdxdx, 21 m i iimm xCxCxCxCy 1 2211 41 解：令U的误差传递系数为CU，R的误

33、差传递系数为CR，则 因此I的系统误差 n2、函数函数随机误差随机误差的计算的计算 设各基本参数 的随机误差分别为 将 其代入前面公式中的微分量 ，得函数随机误 差的表达式： 函数随机误差的标准误差标准误差为（各基本参数的随机误差是两两 相互独立的）： 2 1 R U R I C RU I C RU )( 1 2 R RU U R R RU R U RCUCI RU m xxx, 21 m , 21 m dxdxdx, 21 m i iimmy CCCC 1 2211 m i iimmy CCCC 1 22222 2 2 2 2 1 2 1 42 3.5 函数误差与误差传递 设各基本参数基本参

34、数的随机误差为正态分布，且相互独立，它们的 极限随机误差取为 ，则函数的随机误差函数的随机误差也为正态 分布，其极限随机误差亦取为 ，于是函数的极函数的极 限随机误差限随机误差与各基本参数的极限随机误差基本参数的极限随机误差的关系为 例题：例题：在所示的电路中，直接测量U时的极限随机误差 为 ，测量R时的极限随机误差为 ，假设都是 正态分布，试计算函数I的极限随机误差 及标准误差 。 解：U和R的误差传递系数 I的标准误差 I的极限随机误差 ii 3 lim yy 3 lim m i ii m i ii m i iiyy CCC 1 2 lim 2 1 22 1 22 lim )3(33 UU

35、 3 lim RR 3 lim I limI 2 1 R U R I C RU I C RU 2 4 2 2 2 22221 RURRUUI R U R CC 2 lim4 2 2 lim2 2 lim 22 lim 2 lim 1 RURRUUI R U R CC R U I 43 3.5 函数误差与误差传递 n3.5.3 函数误差的分配误差的分配 n若给定函数误差，要求确定各个基本参数所允许的测量 误差，这就是函数误差的分配问题，称为第二类第二类问题。 n目的？目的？在实际测量中，解决这类问题主要是为了确定各 基本参数的测量方法及选用测量设备，以保证间接测量 结果的精度。 n函数系统误差系

36、统误差应该用消除或修正各基本参数系统误差的 办法来解决。 n本节主要是研究函数随机误差的分配问题。 n若给定函数误差 ，并设各基本参数的随机误差相互独 立，为保证间接测量结果的精度，应满足 y 2 1 22 y m i ii C 44 3.5 函数误差与误差传递 n一般按下列步骤求解： n1、先、先按等作用原则等作用原则分配误差 所谓等作用原则就是认为各个基本参数的误差对函数的影响相等， 即 n2、按实际情况调整误差 需要根据实际可能性和经济性，对每一基本参数的允许测量误差 加以调整，以避免按等作用原则分配误差可能会出现不合理的情 况。 n3、调整后的验算 既要能充分扩大各基本参数的允许误差，

37、又要保证实际总误差不 超过给定的函数误差。 222 2 2 2 2 1 2 1mm CCC m C y ii 2 22 m C y i i 1 m C y i i lim lim 1 2 1 22 y m i ii C 或 45 3.6 不等精度测量 n3.6.1 权的概念与确定 n 3.6.1.1 不等精度测量的概念 n等精度测量等精度测量： n对于单次测量值而言，指测量方法、测量仪器、测量环境 条件及测量人员水平都相同的情况下，对某一参数所进行 的任何一次测量任何一次测量，都具有同等的可靠程度具有同等的可靠程度，对于多次重复 测量的算术平均值而言，重复测量次数也相同，这样得到 的任何一个算

38、术平均值都具有算术平均值都具有同等的可靠程度同等的可靠程度。 n不等精度测量不等精度测量： n为得到更精确更可靠的测量结果，在测量方法、测量仪器、 测量环境条件、测量人员水平以及重复测量次数等诸因素 中，改变一个或几个的情况下进行测量以获得不同的测量 结果。 46 3.6 不等精度测量 n3.6.1.2 权的概念权的概念 n在不等精度测量不等精度测量中，各测量结果的可靠程度是不 一样的。所以不能简单地取各测量结果的算术平 均值作最后测量结果，而让可靠程度大的测量结 果在最后结果中占较大比重，可靠程度小的占较 小比重。各测量结果的可靠程度或它们在最后结 果中应占的比重，可用一数值表示，这就是该测

39、 量结果的“权”，通常用p表示。 n3.6.1.3 权的确定权的确定 n1、在不等精度测量中，权权的大小可根据各组测量 值的算术平均值算术平均值的标准误差来确定。 47 3.6 不等精度测量 n设在不等精度测量中，各组测得值的算术平均值 的标准误差为 而这些平均值的权权为 则它们之间 n即每组算术平均值的权算术平均值的权与其相应的标准误差的平方标准误差的平方成反比。 n2、如果不等精度测量仅仅为测量的次数不同次数不同，而测量 方法、仪器、环境条件及人员等都不变，则可用各组 重复测量的次数n来作为各组算术平均值的权。 即 。 n例如在相同条件下对某量作三组不等精度的测量，第一 组测量3次，第二组

40、测量5次，第三组测量2次，则各组算 术平均值的权为 m xxx, 21 , 21m xxx , 21m ppp 22221 1 : 1 : 1 : 21m xxx m ppp ii np 2 , 5 , 3 321 ppp 48 3.6 不等精度测量 n3.6.2 加权算术平均值 n若对同一参数进行m组不等精度测量，得到m个算术平均值 n 设已知各组的测量次数为 则可确定各 组的权 于是各组测量结果的加权算术平均值加权算术平均值为： n简化计算式 n n 为接近 的任意数。 , 21m nnn m xxx, 21 , 21m ppp m i i m i ii m mm p xp ppp xpx

41、pxp x 1 1 21 2211 m mm ppp xxpxxpxxp xx 21 0022011 0 )()()( i x 0 x 49 3.6 不等精度测量 n3.6.3 加权算术平均值的标准误差 n求加权算术平均值的标准误差有两种方法。 n1、当已知已知各组算术平均值的标准误差标准误差 时，各组的权可得 出，则加权算术平均值的标准误差为： n2、当已知已知各组算术平均值的剩余剩余误差 时，设各组算术平 均值的剩余误差为： n则加权算术平均值的标准误差标准误差为 n式中m为测量的组数。 m i i i x m i xx p p ppp p ii 1 21 i x i xxxxxx mm

42、, , , 2211 )(1( 21 22 22 2 11 m mm x pppm ppp 50 3.7 误差的合成 n研究误差的合成“总误差”的目的： n对一项测量或对一台仪器进行精度分析时，需要对 由各种因素引起的原始误差逐项研究，通过理论计 算或实验，确定它们的大小，然后按一定的规律， 合成为总误差，以便对测量结果的精度或仪器的精 度作出总的评定。或者对各单项误差在总误差中所 占的比重加以估算，比较它们的影响程度，从而找 出提高测量精度的有效途径。 n测量误差按其性质不同，有系统误差、随机误差和粗 大误差之分，粗大误差应在测量过程中尽量避免，并 在处理测量数据时予以剔除，所以是不应计入总

43、误差 的，而系统误差和随机误差则需要采用不同方法将它 们合成总误差。 51 3.7 误差的合成 n3.7.1 随机随机误差的合成：误差的合成： n设通过分析已知影响直接测量结果的单项随机误差有n个， 并通过分析或实验统计或经验估计已知各随机误差的极限 误差值 。总的极限随机误差是按同等可靠性的原则， 即按置信度相等的原则来计算。 n在测量中，常用对应于某一给定的置信概率 的极限 误差 来表示随机误差的大小。 n对于服从某种分布的随机误差，在给定置信概率下的极限 误差为 n随机误差的标准误差，t在该分布时与给定的置信概 率相对应的置信系数。 i lim 1 lim t lim 52 3.7 误差

44、的合成 n例如，服从正态分布的随机误差，当给定置信 概率为0.9973时，其对应的置信系数t=3，故 极限误差为 n当给定置信概率为0.99时，其对应的置信系数 t=2.58，故极限误差为 n当给定置信概率为0.95时，其对应的置信系数 t=1.96，故极限误差为 n等概率原则：在随机误差合成时，各单项随机 误差与合成后的总极限随机误差对应于同一置 信概率，这就是等概率原则。 3 lim 58. 2 lim 96. 1 lim 53 3.7 误差的合成 n根据给定的置信概率，以及各随机误差的分布，就可确定对应的置 信系数ti，于是各随机误差的标准误差为： n当各单项随机误差为正态分布，则总误差

45、也为正态分布，此时总误 差的置信系数t与各单项随机误差的置信系数t取为相等。 n根据概率论原理，合成后总的随机误差的标准误差与各单项 随机误差的标准误差之间满足：（各单项随机误差相互独立） n当给定置信概率为0.9973时，则各单项随机误差的置信系数 ti=3，故总误差的t=3，则 m i i i t 1 2 lim )( m i i i t tt 1 2 lim lim )( m i i 1 2 limlim i i i t lim 54 3.7 误差的合成 n3.7.2 相关系数 n两随机变量与之间线性关联的紧密程度，用相关系数来表示。 n一组实验数据（i,i)(i=1,2,N)的相关系数

46、（样本相关系数）的 定义： n式中 N i i N i i N i ii 1 2 1 2 1 )()( )( N i i N 1 1 N i i N 1 1 55 3.7 误差的合成 n的取值范围为 n当 时，表示与正相关，即一个误差增大 时，另一个误差的取值平均地增大;当 时， 表示与负相关，即一个误差增大时，另一个误差的 取值平均地减小;当 时表示完全正相关，当 时，表示完全负相关，表示表示与与之间存在着确定的之间存在着确定的线线 性函数关系性函数关系。当 时表示两误差相互独立或毫无 线性关系。愈接近0，两误差线性相关程度愈小， 愈接近1，则线性相关愈密切。 11 01 10 1 1 0 56 3.7 误差的合成 n3.7.3 系统误差的合成 n系统误差可分为： 1、定值系统误差：数值、符号一定。 2、变值系统误差：用极限误差表示，只能或只 需估计出其不致超过的极限范围ei。 n1、定值系统误差的合成 设有r个定值系统误差1,2,r, 则总的系统 误差（代数和代数和）为： r i ir 1 21 57 3.7 误差的合成 n2、变值系统误差变值系统误差的合成 n（1）绝对和法： 式中：ei(1，2，s)为单项未定系统误差的绝对绝对 值值。当s较小时切合实际，当s较大时偏于保守。