第六章 结构位移计算

1、Displacement of Statically Determinate Structures A A A A Ax Ay P Ax Ay A A A P Ax Ay t 铁路工程技术规范规定铁路工程技术规范规定: (1) 刚度要求刚度要求 在工程上，吊车梁允许的挠度在工程上，吊车梁允许的挠度 1/600 跨度；跨度； 桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁 最大挠度最大挠度 1/700 和和1/900跨度跨度 高层建筑的最大位移高层建筑的最大位移 1/1000 高度。高度。 最大层间位移最大层间位移 1/800 层高。层高。 (2) 超静定、动力和稳定计算超

2、静定、动力和稳定计算 (3）施工要求）施工要求 公路工程：公路工程：1/600跨度跨度 （3）理想联结）理想联结 (Ideal Constraint)。 （principle of superposition) (1) 线弹性线弹性 (Linear Elastic), (2) 小变形小变形 (Small Deformation), (Dummy-Unit Load Method) (Principle of Virtual Work) 一、功一、功(Work)、实功、实功(Real Work)和虚功和虚功 (Virtual Work) 力力力作用点沿力方向上的位移力作用点沿力方向上的位移 力在

3、自身所产生的位移上所作的功力在自身所产生的位移上所作的功 P PW 2 1 力在非自身所产生的位移上所作的功力在非自身所产生的位移上所作的功 t PW P Ct t (Principle of Virtual Work) 一、功一、功(Work)、实功、实功(Real Work)和虚功和虚功 (Virtual Work) 1 P 11 12 2 P 21 22 1 P 2 P 12 位移状态位移状态 （虚力状态） （虚位移状态） （1）属）属同一同一体系；体系； （2）均为可能状态。即位移）均为可能状态。即位移 应满足应满足变形协调条件变形协调条件； 力状态应满足力状态应满足平衡条件平衡条件。

4、 （3）位移状态与力状态）位移状态与力状态完全无关完全无关； (Principle of Virtual Work) 二、广义力二、广义力(Generalized force)、广义位移、广义位移 (Generalized displacement) P PWMW M A B M M MMMMW BABA )( PP A B P P PPW BA BA )( （1）刚体系的虚位移原理）刚体系的虚位移原理 去掉约束而代以相应的去掉约束而代以相应的 反力，该反力便可看成外反力，该反力便可看成外 力。则有：刚体系处于平力。则有：刚体系处于平 衡的必要和充分条件是：衡的必要和充分条件是： 对于任何对于

5、任何可能可能的的 虚位移，作用于刚虚位移，作用于刚 体系的所有外力所体系的所有外力所 做虚功之和为零。做虚功之和为零。 P 0 A X 2/PYB 2/PYA 2 3/2 0 2 3 2 22 P PP 原理的表述：原理的表述： 任何一个处于平衡状态的变形体，当任何一个处于平衡状态的变形体，当 发生任意一个虚位移时，变形体所受外力发生任意一个虚位移时，变形体所受外力 在虚位移上所作的总虚功在虚位移上所作的总虚功We，恒等于变，恒等于变 形体各微段外力在微段变形位移上作的虚形体各微段外力在微段变形位移上作的虚 功之和功之和Wi。也即恒有如下虚功方程成立。也即恒有如下虚功方程成立 （2）变形体的虚

6、功原理）变形体的虚功原理 We = =Wi 外力虚功外力虚功 = = 变形虚功变形虚功 变形体虚功原理的证明变形体虚功原理的证明: xq 1.1.利用利用变形连续条件变形连续条件计算计算 所有微段的外力虚功之和所有微段的外力虚功之和We 微段外力分微段外力分 为两部分为两部分 体系外力体系外力 相互作用力相互作用力 微段外力功微段外力功 分为两部分分为两部分 体系外力功体系外力功d dWe 相互作用力功相互作用力功d dWn 微段外力功微段外力功 d dW= d dWe+d+dWn 所有微段的外力功之和所有微段的外力功之和: : W=d dWe+ +d dWn =d dWe =We 2.2.利

7、用利用平衡条件平衡条件条件计算条件计算 所有微段的外力虚功之和所有微段的外力虚功之和 W 微段外力功微段外力功 分为两部分分为两部分 在刚体位移上的功在刚体位移上的功d dWg 在变形位移上的功在变形位移上的功d dWi 微段外力功微段外力功 d dW= d dWg+d+dWi 所有微段的外力功之和所有微段的外力功之和: : W=d dWi =Wi ab a b 微段位移分微段位移分 为两部分为两部分 刚体位移刚体位移 变形位移变形位移 baab baba 故有故有We= =Wi成立。成立。 ab ab b 为什么为什么d dWn0?(0?(相互作用力相互作用力+协调位移协调位移) ) 为什么

8、为什么dWdWn n0?(0?(刚体位移刚体位移+ +平衡条件平衡条件) ) 任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚 位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功We,恒恒 等于变形体各等于变形体各微段外力微段外力在微段在微段变形位移变形位移上作的虚功之和上作的虚功之和Wi。 变形体虚功原理的证明变形体虚功原理的证明: xq 1.1.利用变形连续性条件计算利用变形连续性条件计算 所有微段的外力虚功之和所有微段的外力虚功之和 W 微段外力分微段外力分 为两部分为两部分 体系外力体系外力 相互作用力相

9、互作用力 微段外力功微段外力功 分为两部分分为两部分 体系外力功体系外力功d dWe 相互作用力功相互作用力功d dWn 微段外力功微段外力功 d dW= d dWe+d+dWn 所有微段的外力功之和所有微段的外力功之和: : W=d dWe+ +d dWn =d dWe =We 2.2.利用平衡条件条件计算利用平衡条件条件计算 所有微段的外力虚功之和所有微段的外力虚功之和 W 微段外力功微段外力功 分为两部分分为两部分 在刚体位移上的功在刚体位移上的功d dWg 在变形位移上的功在变形位移上的功d dWi 微段外力功微段外力功 d dW= d dWg+d+dWi 所有微段的外力功之和所有微段

10、的外力功之和: : W=d dWi =Wi ab a b 微段位移分微段位移分 为两部分为两部分 刚体位移刚体位移 变形位移变形位移 baab baba 故有故有We= =Wi成立。成立。 ab ab b 几个问题几个问题: 1. 虚功原理里存在两个状态：虚功原理里存在两个状态： 力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调条件。力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调条件。 2. 原理的证明表明原理的证明表明:原理适用于原理适用于任何任何 (线性和非线性线性和非线性)的的 变形体变形体，适用于，适用于任何结构任何结构。 3. 原理可有两种应用：原理可有两种应用： 实际待分析的平衡力状态，

11、虚设的协调位移状态，实际待分析的平衡力状态，虚设的协调位移状态， 将将平衡问题化为几何问题来求解平衡问题化为几何问题来求解。 实际待分析的协调位移状态，虚设的平衡力状态，实际待分析的协调位移状态，虚设的平衡力状态， 将将位移分析化为平衡问题来求解位移分析化为平衡问题来求解。 Wi 的计算的计算: Wi =N+Q+Mds 微段外力微段外力: 微段变形可看成由如下几部分组成微段变形可看成由如下几部分组成: （3）变形体虚功方程的展开式）变形体虚功方程的展开式 M dMM N dNN QdQQ q ds 微段剪切微段剪切 ds 微段拉伸微段拉伸 ds ds 微段弯曲微段弯曲 对于直杆体系，由于变形互

12、不耦连，有对于直杆体系，由于变形互不耦连，有: We =N+Q+Mds 1）虚位移原理虚位移原理: 虚功原理用于虚功原理用于虚设的虚设的协调位协调位 移状态移状态与与实际的实际的平衡力状态平衡力状态之间。之间。 例例. 求求 A 端的支座反力端的支座反力(Reaction at Support)。 解：去掉解：去掉A端约束并代以反力端约束并代以反力 X，构造相应的虚位移状态，构造相应的虚位移状态. AB a C (a) b P X (b) P X C (c) 直线直线 待分析平衡的力状态待分析平衡的力状态 虚设协调的位移状态虚设协调的位移状态 0 CX PX由外力虚功总和为零，即：由外力虚功总

13、和为零，即： ba CX /将将代入得代入得: abPX/ 通常取通常取 xX 1 单位位移法单位位移法(Unit-Displacement Method) (1)对静定结构，这里实际用的是刚体虚位移原理，实质上是对静定结构，这里实际用的是刚体虚位移原理，实质上是 实际受力状态的平衡方程实际受力状态的平衡方程 (2)虚位移与实际力状态无关虚位移与实际力状态无关,故可设故可设 (3)求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系。求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系。 (4)用几何法来解静力平衡问题用几何法来解静力平衡问题 0 B M 1 x 例例. 求求 A 端支座发生竖向位移端支座发生竖向位移

14、 c 时引起时引起C点的竖向位移点的竖向位移 . 2） 虚力原理虚力原理: 虚功原理用于虚功原理用于虚设的虚设的平衡力状平衡力状 态态与与实际的实际的协调位移状态协调位移状态之间。之间。 解：首先构造出相应的虚设力状态。即，在拟求位移之解：首先构造出相应的虚设力状态。即，在拟求位移之 点（点（C点）沿拟求位移方向（竖向）设置点）沿拟求位移方向（竖向）设置单位荷载单位荷载。 A B a C b A C c 1 AB C A Y 由由 求得：求得： 0 B MabYA/ 01cYA acb/ 解得：解得： 这是这是单位荷载法单位荷载法 (Unit Load Method) (1)所建立的所建立的虚

15、功方程虚功方程, 实质上是实质上是几何方程几何方程。 (2)虚设的力状态与实虚设的力状态与实 际位移状态无关，故际位移状态无关，故 可设单位广义力可设单位广义力 P=1 (3)求解时关键一步是求解时关键一步是 找出虚力状态的静力找出虚力状态的静力 平衡关系。平衡关系。 (4)是用静力平衡法来是用静力平衡法来 解几何问题。解几何问题。 虚功方程为：虚功方程为： 单位位移法单位位移法(虚位移原理虚位移原理) 平衡方程平衡方程 单位荷载法单位荷载法 (虚力原理虚力原理) 几何方程几何方程 6.3 荷载作用产生的位移计算荷载作用产生的位移计算 一一.单位荷载法单位荷载法 1P 求求k点竖向位移点竖向位

16、移. 由变形体虚功方程由变形体虚功方程: 变形协调的 位移状态 平衡的力 状态 We =Wi 适用于各种杆件体系适用于各种杆件体系(线性线性,非线性非线性). We =P iP P=1 i iP 位移位移 广义荷载广义荷载 Wi =NP +QP +MP ds iP =NP +QP +MP ds MQN 6.3 荷载作用产生的位移计算荷载作用产生的位移计算 一一.单位荷载法单位荷载法 k iP 1P 求求k点竖向位移点竖向位移. 变形协调的 位移状态 平衡的力 状态 -适用于各种杆件体系适用于各种杆件体系(线性线性,非线性非线性). 对于由对于由线弹性线弹性直杆直杆组成的结构，有：组成的结构，有

17、： EI M , GA kQ , EA N P P P P P P ds EI MM GA QkQ EA NN PPP ip 适用于线弹性适用于线弹性 直杆体系直杆体系, iP =NP +QP +MP ds q P Q P M 1 P Q M xl ds EI MM GA QkQ EA NN PPP p A 例例 1：已知图示梁的：已知图示梁的E 、G, 求求A点的竖向位移。点的竖向位移。 解：构造虚设单位力状态解：构造虚设单位力状态. 0)(, 0)(xNxN P )()(, 1)(xlqxQxQ P 1P x 2/)()(,)( 2 xlqxMlxxM P l h b q A dx EI

18、xlq GA kxlq l 2 )()( 0 3 )( 82 42 EI ql GA qkl )(5 . 2/,10/1/ , 5/6,12/, 3 钢砼 GElh kbhIbhA GA qkl EI ql QM 2 , 8 : 24 设 2 4 GAl EIk M Q 100 1 M Q 对于细长杆对于细长杆,剪切变形剪切变形 对位移的贡献与弯曲变对位移的贡献与弯曲变 形相比可略去不计形相比可略去不计. 例例 2：求曲梁：求曲梁B点的竖向位移点的竖向位移(EI、EA、GA已知已知) R O B A P 解：构造虚设的力状态如图示解：构造虚设的力状态如图示 Rdds NPN QPQ RMPRM

19、 P P P sin,sin cos,cos sin,sin P=1 R P R P M P N P Q ds EI MM GA QkQ EA NN PPP ip )( 444 3 EI PR GA kPR EA PR )(5 . 2/,10/1/ , 5/6,12/, 3 钢砼 GERh kbhIbhA EA PR GA kPR EI PR NQM 4 , 4 , 4 : 3 设 1200 1 M N 400 1 M Q 小曲率杆可利用直杆公式近小曲率杆可利用直杆公式近 似计算似计算;轴向变形轴向变形,剪切变形对位剪切变形对位 移的影响可略去不计移的影响可略去不计 6.3 荷载作用产生的位移

20、计算荷载作用产生的位移计算 一一.单位荷载法单位荷载法 1.梁与刚架梁与刚架 二二.位移计算公式位移计算公式 ds EI MM P ip 2.桁架桁架 ds EA NN P ip EA lNN P 3.组合结构组合结构 AE lNN ds EI MM PP ip 4.拱拱 ds EA NN EI MM PP ip 解：解： 例例:求图示桁架求图示桁架(各杆各杆EA相同相同)k点水平位移点水平位移. P a a k 1 0 0 P P P2 NP EA lNN P kx )()21 (2222 ) 1)() 1)( 1 EA Pa aP aPaP EA 练习练习:求图示桁架求图示桁架(各杆各杆E

21、A相同相同)k点竖向位移点竖向位移. a a P k 0 0 P2 P NP EA lNN iP kx )()221 ( 2)2)(2(1 1 EA Pa aPaP EA 1 1 1 2 2 N 1 1 0 2 1 N 例例: 1)求求A点水平位移点水平位移 6.3 荷载作用产生的位移计算荷载作用产生的位移计算 一一.单位荷载法单位荷载法 二二.位移计算公式位移计算公式 所加单位广义力与所求广义位移相对应所加单位广义力与所求广义位移相对应,该单位该单位 广义力在所求广义位移上做功广义力在所求广义位移上做功. 三三.单位力状态的确定单位力状态的确定 P A B 2)求求A截面转角截面转角 3)求

22、求AB两点相对水平位移两点相对水平位移 4)求求AB两截面相对转角两截面相对转角 1P1P1P 1P B A ? AB (b) 试确定指定广义位移对应的单位广义力。试确定指定广义位移对应的单位广义力。 A ? A (a) P=1 P=1 P=1 A B C d ? BC (c) d P 1 d P 1 A B C 2 d 1 d (d) ? ACAB 1 1 d 1 1 d 2 1 d 2 1 d 试确定指定广义位移对应的单位广义力。试确定指定广义位移对应的单位广义力。 A B ? AB (e) P=1 P=1 C (f) C 左右 =？ P=1P=1 试确定指定广义位移对应的单位广义力。试确

23、定指定广义位移对应的单位广义力。 P=1 ? A (g) A ? AB (h) A B P=1 P=1 试确定指定广义位移对应的单位广义力。试确定指定广义位移对应的单位广义力。 在杆件数量多的情况下在杆件数量多的情况下,不方便不方便. 下面介绍下面介绍 计算位移的图乘法计算位移的图乘法. EI sMM P iP d (Graphic Multiplication Method and its Applications) 刚架与梁的位移计算公式为：刚架与梁的位移计算公式为： 一、图乘法 s EI MM P d sMM EI Pd 1 xMx EI Pd tan 1 xxM EI Pd tan c

24、c y EI x EI 1tan (对于等对于等 截面杆截面杆) (对于直杆对于直杆) xMM EI Pd 1 )tan( xM 图乘法求位移公式为图乘法求位移公式为: EI y c ip 图乘法的图乘法的 适用条件是适用条件是 什么什么? 图乘法是图乘法是Vereshagin于于 1925年提出的，他当时年提出的，他当时 为莫斯科铁路运输学院为莫斯科铁路运输学院 的的学生学生。 例例. 试求图示梁试求图示梁B端转角端转角. 解解: s EI MM P B d EI yc A B P 2/ l2/ l EI B A B 1M 4/Pl 1 MP )( 16 1 2 1 42 11 2 EI P

25、l Pl l EI 为什么弯矩图在为什么弯矩图在 杆件同侧图乘结杆件同侧图乘结 果为正果为正? M 例例. 试求图示结构试求图示结构B点竖向位移点竖向位移. 解解: s EI MM P By d EI yc Pl MP )( 3 4 ) 3 2 2 1 ( 1 3 EI Pl llPlllPl EI 1 l P EI B EI l l M 二、几种常见图形的面积和形心位置的确定方法二、几种常见图形的面积和形心位置的确定方法 C 2n l 2 )1( n ln 1 n hl h 二次抛物线二次抛物线 M图图 2 1 EI ql qll EI B 3 2 24 1 2 1 ) 8 1 3 2 (

26、1 （ ） P M图图 2 8 1 ql B A q 1 例例:求图示梁求图示梁(EI=常数常数,跨长为跨长为l)B截面转角截面转角 B 解解: 三、图形分解三、图形分解 B 求求 1 A B mkN 20 mkN 40 m10 EI 40 20 MP A B mkN 20 A B mkN 40 40 20 3/23/1 )( 3 500 ) 3 1 2010 2 1 3 2 4010 2 1 ( 1 EI EI B M 三、图形分解三、图形分解 B 求求 1 A B mkN 20 mkN 40 m10 EI 40 20 MP 3/22/1 )( 3 500 ) 2 1 2010 3 2 20

27、10 2 1 ( 1 EI EI B )( 3 500 ) 3 2 20 20(110 2 11 EI EI B 当两个图形均当两个图形均 为直线图形时为直线图形时,取那取那 个图形的面积均可个图形的面积均可. M )( 16 ) 43 1 2 1 22 1 42 1 22 43 2 2 1 22 1 ( 1 2 EI Pl PllPlll Pll EI B 4/Pl MP 三、图形分解三、图形分解 B 求求 1 )( 16 ) 2 1 42 1 ( 1 2 EI PlPl l EI B 取取 yc的图形必的图形必 须是直线须是直线,不能是曲不能是曲 线或折线线或折线. A B 2/ l EI

28、 2/ l P 2/1 M 能用能用 M图面积乘图面积乘 MP图竖标吗图竖标吗? 三、图形分解三、图形分解 B 求求 1 A B mkN 20 mkN 40 m10 EI MP )( 100 )20 3 2 60(110 2 11 EI EI B )( 100 ) 2 1 1020 3 2 6010 2 1 ( 1 EI EI B 40 20 60 20 40 20 )( 100 ) 2 1 1020 3 2 6010 2 1 ( 1 EI EI B M 三、图形分解三、图形分解 B 求求 1 MP )( 24 ) 1 3 2 42 1 2 1 83 2 ( 1 3 22 EI ql ql l

29、 ql l EI B A B 4/ 2 ql l EI q 4 2 ql 8/ 2 ql q 8/ 2 ql M 三、图形分解三、图形分解 C 求求C截面竖向位移截面竖向位移 MP )( 4048 19 ) 16 3 3 2 32 3 42 1 16 3 2 1 8 )4/( 43 2 16 3 3 2 32 3 4 3 2 1 16 3 2 1 8 )4/3( 4 3 3 2 ( 1 422 22 EI qllqllllql lqllllql EI B 16/3l 8/ 2 ql 4/3l4/ l A B EI q C 1P 32/3 2 ql q 32/3 2 ql 4/3l q 32/3

30、 2 ql q32/3 2 ql 4/ l q 32/3 2 ql 8/) 4/3 ( 2 lq 8/) 4/( 2 lq M 三、图乘法小结三、图乘法小结 1. 图乘法的应用条件：图乘法的应用条件： （1）等截面直杆，）等截面直杆，EI为常数；为常数； （2）两个）两个M图中应有一个是直线；图中应有一个是直线； （3） 应取自直线图中。应取自直线图中。 c y 2. 若若 与与 在杆件的同侧，在杆件的同侧， 取正值；取正值； 反之，取负值。反之，取负值。 c y c y 3. 如图形较复杂，可分解为简单图形如图形较复杂，可分解为简单图形. 例例 1. 已知已知 EI 为常数，求为常数，求C、

31、D两点相对水平位移两点相对水平位移 。 CD 三、应用举例三、应用举例 A l q B h q 8/ 2 ql h 1 1 h MP )( 12 83 21 3 2 EI qhl hl ql EIEI y c CD 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图 M 例例 2. 已知已知 EI 为常数，求铰为常数，求铰C两侧截面相对转角两侧截面相对转角 。C 三、应用举例三、应用举例 解：解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图 A l q B l C l q 4/ql 4/ql MP 11 0 l /1 1 M )( 24 2 1 83 21 3 2 E

32、I ql ql EIEI yc CD 4/ 2 ql 4/ 2 ql 例例 3. 已知已知 EI 为常数，求为常数，求A点竖向位移点竖向位移 。 A 三、应用举例三、应用举例 )( 48 22 ) 22 1 8 2 3 2 23 2 4 2 2 1 23 2 42 1 ( 1 4 222 EI ql EI lql l lql l lql l EIEI yc CD 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图 A q l l l q 4/ql MP 4/ 2 ql 2/1 1 M 2/ l 例例 4. 图示梁图示梁EI 为常数，求为常数，求C点竖向位移。点竖向位移。 三、应用

33、举例三、应用举例 M 2/ l A l/2 q B C l/2 MP 2/ 2 ql 1 C )( 128 5 ) 48224 3 28 3 3 1 ( 1 3 22 EI ql lqllllql EIEI yc C 8/ 2 ql )( 24 1 22 1 23 11 3 2 EI ql lql l EIEI yc c 32/ 2 ql 例例 4. 图示梁图示梁 EI 为常数，求为常数，求C点竖向位移点竖向位移 。 三、应用举例三、应用举例 M 2/ l A l/2 q B C l/2 MP 2/ 2 ql 1 C )( 384 17 ) 23 1 822 1 23 2 222 1 22 1

34、 3223 2 ( 1 4 2 22 EI ql lqll lqlllqll EI EI yc c 8/ 2 ql q 8/ 2 ql2/ 2 ql 2/ 2 ql 8/ 2 ql 例例 4. 图示梁图示梁 EI 为常数，求为常数，求C点竖向位移点竖向位移 。 M 2/ l A l/2 q B C l/2 MP 2/ 2 ql 1 C )( 384 17 ) 22 1 82 23 2 422 1 24 3 823 1 ( 1 4 2 22 EI ql lqll lqlllqll EI EI yc c 8/ 2 ql q 8/ 2 ql 2/ql q 8/ 2 ql 4/ 2 ql 2/ql 8

35、/ 2 ql 8/ 2 ql A l P B l P l )( 3 10 )24 3 2 2 1 ( 1 3 EI Pl lPlllPll EI EI yc ABY 图示结构图示结构 EI 为常数，求为常数，求AB两点两点(1)相对竖向位相对竖向位 移移,(2)相对水平位移相对水平位移,(3)相对转角相对转角 。 M MP 练习练习 11 Pl l 1 1 ll M 0 EI yc ABX 0 EI yc AB 对称弯矩图对称弯矩图 反对称弯矩图反对称弯矩图 对称结构的对称弯矩图与对称结构的对称弯矩图与 其反对称弯矩图图乘其反对称弯矩图图乘,结果结果 为零为零. 11 1 1 M 作变形草图作

36、变形草图 P P Pl 11 1 1 绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向，注意绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向，注意 反弯点的利用。如：反弯点的利用。如： 求求B点水平位移。点水平位移。 练习练习 解：解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图 MP )( 8 5 4 1 2 3 2 2 11 3 EI Pl llPl EI llPl EIEI yc B Pl AB l l EI4 P EIEI 1 注意注意:各杆刚度各杆刚度 可能不同可能不同 M l 已知已知 EI 为常数，求为常数，求C、D两点相对水平位移两点相对水平位移 ,并画出变形图。并画出变形

37、图。 CD MP l 1 1 l M )( 12 11 ) 83 2 2 1 3 2 2 1 ( 1 4 2 22 EI ql l ql llqlllqll EIEI y c CD 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图 A l q B l C D ql q 2 ql ql 已知已知 EI 为常数，求为常数，求B截面转角。截面转角。 MP 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图 A B kN/m2 m4 kN6 m2 m3 1 12 4 )( 3 8 ) 2 1 44 3 2 1 3 1 124 2 1 ( 1 EI EIEI y c B M

38、 )( 3 11 2 3 ) 3 2 ( 2 1 3 2 2 1 1 3 EI Pl l lPl l llPlllPllPll EIEI yc B 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图 求求B点水平位移点水平位移,EI=常数。常数。 A l P B l l MP Pl Pl2 A 1 B l 2 l M 练习练习 解：解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图 )( 4 3 4 )2)(2( 1 4 3 2 2 11 3 EA Pl EI Pl lP EA llPl EIEA lNN EI y Pic B 求求C、D两点相对水平位移两点相对水平位移

39、 。 CD A B l l EA EI CDP P EI l MP Pl Pl 1 1 M l l 已知：已知： E、I、A为常数，求为常数，求 。 Cy A B C P 2 l 2 l a D 解：作荷载内力图和单位荷载内力图解：作荷载内力图和单位荷载内力图 )( 44822 11 43 2 ) 422 1 ( 2 3 EA Pa EI Pl a P EA lPll EI Cy A B C P 2 l a D 4 Pl P M 2/PNP 2 l A B C 1 2 l a D 4 l M 2/1 i N 2 l 若把二力杆换成弹簧若把二力杆换成弹簧,该如何计算该如何计算? B支座处为刚度支

40、座处为刚度k的弹簧，该如何计算的弹簧，该如何计算C点竖向位移？点竖向位移？ 4 Pl P M 2/ P PS 4 l M 2 1 i S A B C 2 l k 2 l =1P A B C 2 l k 2 l k SS s EI MM iPP d 练习练习 解：解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图 )( 42 1 2 1 2 ) 23 2 22 1 2223 1 22 1 42 ( 1 3 k P EI Pl k PlPl l lPl l lPl l lPl l EI EI yc B 求求A点竖向位移点竖向位移,EI=常数常数 。 1/2 M MP Pl 2/Pl 2/

41、P ll P l A k 1 k 6. 5 静定结构温度变化时的位移计算静定结构温度变化时的位移计算 (Analysis of Displacements in a Statically Determinate Structures Induced by Temperature Changes) 6. 5 静定结构温度变化时的位移计算静定结构温度变化时的位移计算 变形体虚功方程为变形体虚功方程为: We =Wi We =1kP其中其中: 荷载作用荷载作用求求K点竖向位移点竖向位移. /EIk PP M We =1kt 温度作用温度作用求求K点竖向位移点竖向位移. 关键是计算微段的温度变形关键是

42、计算微段的温度变形 pi dMW p dM kp dsQduN tt pi dMW 设温度沿杆件截面高度线性变化，杆轴温设温度沿杆件截面高度线性变化，杆轴温 度度 ，上、下边缘的温差，上、下边缘的温差 ,线膨胀系数线膨胀系数 0 t t 12 ttt stu t dd 0 h thth tt h h tt 2112 12 1 10 )( 微段的温度变形分析微段的温度变形分析 h st t d d 无剪应变无剪应变 h sM tsNt h st MstN MN d d d d )ddsQdu( 0 0 ttkt 若若,/ 2 21 hhh2 120 /)(ttt Mit h t lNt )( 0

43、 温度引起的位移计算公式温度引起的位移计算公式: h sM tsNt it d d 0 对等对等 截截 面面 直直 杆杆: 上式中的正、负号：上式中的正、负号： 若若 和和 使杆件的同一边使杆件的同一边 产生拉伸变形，其乘积为正。产生拉伸变形，其乘积为正。 Mt 例：例： 刚架施工时温度为刚架施工时温度为20 ，试求冬季外侧温度为，试求冬季外侧温度为 -10 ，内侧温度为，内侧温度为 0 时时A点的竖向位移点的竖向位移 。已知。已知 l=4 m, ,各杆均为矩形截面杆，高度各杆均为矩形截面杆，高度 h=0.4 m C 0 C 0 C 0 Ay 5 10 解：构造虚拟状态解：构造虚拟状态 Ct

44、Ct 0 0 0 103020 25 2 2002010 )( , )()( iiAy h t lNt 0 l M 1 N l )(125 ll h ll h 10 1 2 1 10 1 )(.m0050 例：例： 求图示桁架温度改变引起的求图示桁架温度改变引起的AB杆转角杆转角. 解：构造虚拟状态解：构造虚拟状态 lNt iAB0 N 41aat)/( a4 t t t t a A B a2 1 a2 1 0 a/1 a/1a/1a/1a/1 )( t 4 (Analysis of Displacements in a Statically Determinate Structures Induced by Support Movement) 1 c 2 c 3 c K K KC 1 K 1 R 2 R 3 R 变形体虚功方程为变形体虚功方程为: We =Wi We =1kC+R1 C1 +R2 C2+R3 C3 Wi =0 其中其中: 计算公式为计算公式为: iiic CR 例例1：求：