大学物理08--1简谐振动

1、第八章第八章 振动振动 振动和波是物理中的重要领域：振动和波是物理中的重要领域： 大量存在大量存在 无无“序序”运动运动；分子热运动、；分子热运动、 有序运动有序运动；振动就是一种周期运动。；振动就是一种周期运动。 振动：描写某一系统状态的物理量在一定范围内作振动：描写某一系统状态的物理量在一定范围内作 周期性变化，则这系统的运动称为振动。周期性变化，则这系统的运动称为振动。 复杂的振动可以分解成若干个最简单的振动简谐振动复杂的振动可以分解成若干个最简单的振动简谐振动 简谐振动简谐振动最基本的振动，为研究复杂的振动打下基础。最基本的振动，为研究复杂的振动打下基础。 机械振动：物体在一定位置附近

2、所作的周期性往复运动机械振动：物体在一定位置附近所作的周期性往复运动 一）何谓简谐振动一）何谓简谐振动 X o F x )1(kxF 平衡位置为原点建立坐标平衡位置为原点建立坐标OX。 （回复力）（回复力） maF 0 2 2 kx dt xd m 81 简谐运动简谐运动 2 2 dt xd m Shockwave Flash Object 0 2 2 x m k dt xd 2 m k 令：令：)2(0 2 2 2 x dt xd 解此微分方程：解此微分方程： )3()cos(tAx A ：初始条件决定初始条件决定简谐振动的运动方程（振动方程）简谐振动的运动方程（振动方程） 定义定义:符合符

3、合1、2、3式特征的振动简谐振动式特征的振动简谐振动 )cos(tAx dt dx v dt dv a x 2 二）简谐振动的速度二）简谐振动的速度 加速度加速度 )sin(tA )cos( 2 tA ) 2 cos( tA )cos( 2 tA tx图图 tv 图图 ta 图图 T A A 2 A 2 A x v a t t t A A o o o T T 三）描述简谐振动的物理量三）描述简谐振动的物理量 )cos(tAx 1）振幅）振幅 : 离开平衡位置最大位移的绝对值离开平衡位置最大位移的绝对值 )cos(tAxAx max 类似的类似的 )sin(tAvAv max速度振幅速度振幅 )

4、cos( 2 tAa 2 max Aa加速度振幅加速度振幅 2 2）周期）周期 一周期一周期T后，振动状态就重复一次后，振动状态就重复一次 )(cosTtAx 2T 2 T costA cosTtA t+T时刻时刻 t时刻振动状态完全一样时刻振动状态完全一样 完成一次全振动所经历的时间。完成一次全振动所经历的时间。 4）角（圆）频率）角（圆）频率 单位（弧度单位（弧度/秒）秒） 2 秒内完成的振动次数秒内完成的振动次数 2 对弹簧谐振子对弹簧谐振子mk / k m T 2 2 m k 2 T 1 m k 2 1 3）频率）频率 T 1 单位：单位： 赫兹赫兹 HZ 2 单位时间完成振动的次数单

5、位时间完成振动的次数 T 2 固有周期固有周期 固有频率固有频率 决定于振动决定于振动 系统本身系统本身 )cos(tAx ) 2 cos( t T Ax )2cos(tAx 用周期，频率用周期，频率 振动方程振动方程 可以表示为：可以表示为： 振幅振幅 描述振动强度的物理量描述振动强度的物理量 周期，频率，圆频率周期，频率，圆频率 描述振动快慢的物理量描述振动快慢的物理量 描述的都是振动的总体情况，无法描述振动描述的都是振动的总体情况，无法描述振动 的细节情况，下面介绍其它的物理量的细节情况，下面介绍其它的物理量 5）相位：）相位： )(t 决定振动状态及进程的物理量。决定振动状态及进程的物

6、理量。 t=0时的相位称为初相。反映时的相位称为初相。反映t=0时的状态。时的状态。 )cos(tAx )sin(tAv )cos( 2 tAa 若相位已知，则振动状况就了如指掌了若相位已知，则振动状况就了如指掌了 用相位表示，可以更好的反映振动的周期性用相位表示，可以更好的反映振动的周期性 6）初相：）初相： 振动状态决定其振幅振动状态决定其振幅A、频率、频率 （或（或 T或或 ） 、初相初相 。 这三者称为振动三要素。这三者称为振动三要素。 )cos(tAx )cos( 111 tAx )cos( 222 tAx )()( 21 tt 21 21 21 21 振动振动“1”超前超前“2”

7、振动振动“1”落后落后“2” 振动振动“1”和振动和振动“2”同相；同相； 振动振动“1”和振动和振动“2”反相。反相。 规定：规定： 21 另另 在比较同频率的谐振动时，往往用到相位差概念。在比较同频率的谐振动时，往往用到相位差概念。 )cos(tAx )sin(tAv )cos( 2 tAa ) 2 cos( tA )cos( 2 tA 速度超前位移速度超前位移 2 加速度超前速度加速度超前速度 2 加速度的积累得到速度加速度的积累得到速度 速度的积累得到位移速度的积累得到位移 讨论一下讨论一下 t x a v )cos(tAx ) 2 cos( tAv )cos( 2 tAa x-t图图

8、 v-t图图 a-t图图 t )cos(tAx ) 2 cos( tAv )cos( 2 tAa x-t图图 v-t图图 a-t图图 红红 黄黄 绿绿 v x a 四）简谐振动的表示四）简谐振动的表示 重要的是将三要素表示出来。重要的是将三要素表示出来。 1）三角函数及其振动曲线）三角函数及其振动曲线 )cos(tAx t x 注意：对一个谐振动而言，计时起点不同，初相不同。注意：对一个谐振动而言，计时起点不同，初相不同。 t x )cos(tAx 设有一谐振动设有一谐振动 作大小为作大小为A的以的以旋转的 旋转的 旋转矢量旋转矢量 A 在在X轴上的投影点的坐标。轴上的投影点的坐标。 2）用旋

9、转矢量表示）用旋转矢量表示 X Y )(t A )cos(tAx 投影点作简谐振动投影点作简谐振动 故：旋转矢量可以表示简谐振动故：旋转矢量可以表示简谐振动 能把三要素一目了然地表示出来。能把三要素一目了然地表示出来。 优点：形象化，便于振动的合成。优点：形象化，便于振动的合成。 旋转矢量旋转矢量简谐振动简谐振动 振幅振幅矢量长度矢量长度 圆频率圆频率 角速度角速度 初相初相初始时刻矢量与初始时刻矢量与X轴夹角轴夹角 任意时刻矢量与任意时刻矢量与X轴夹角轴夹角 相位相位 X Y )(t A )cos(tAx 2 t v tAv 在在X轴上的投影轴上的投影 ) 2 cos( tAv x )sin

10、(tA 同样：同样： 2 Aa 在在X轴上的投影轴上的投影 )cos( 2 tAa x )cos( 2 tA a 3）用复数表示）用复数表示 欧拉公式欧拉公式 )cos(tAx cossin ie i 对一谐振动对一谐振动 为一复数为一复数 )( ti Ae A 的实部的实部 )( ti e AeRx x )( ti Ae把谐振动用复数代表：把谐振动用复数代表： 优点：便于谐振动的计算。优点：便于谐振动的计算。 X o F x )cos(tAx 动能：动能： )sin(tA dt dx v 2 2 1 mvE k 2 2 1 kxE P 五）简谐振动的能量五）简谐振动的能量 )(sin 2 1

11、 222 tmA 势能：势能： )(cos 2 1 22 tkA 系统总能：系统总能： pk EEE 2 m k 2 mk 22 2 1 mAE 2 2 1 kA 2 A 1）振动动能和振动势能相互转化，总能量守恒）振动动能和振动势能相互转化，总能量守恒 2 AE A是振动强度的标志是振动强度的标志 2） 另：另： 22 2 1 mA 2 2 1 kAE 2 max 2 1 mv 在任意位置处：在任意位置处：)(xv 22 2 1 2 1 kxmvEEE pk 2 2 1 kA )( 222 xA m k v)( 222 xA 22 xA 六）确定振动方程六）确定振动方程 )cos(tAx 利

12、用初始条件利用初始条件 0t 0 xx 0 vv 求求A 1）解析法）解析法 )2(sin 0 Av )1 (cos 0 Ax )sin(tA dt dx v 解方程即可解方程即可 2）公式法）公式法 )4( 0 0 x v tg )3( 2 2 0 2 0 v xA 3）旋转矢量法）旋转矢量法有时能简单求出有时能简单求出 例例1 一谐振动一谐振动X0=0.707cm，sscmov/10,/7. 7 0 求初相求初相 0 0 x v arctg 1 arctg 解：解： 看是否同时满足：看是否同时满足： )2(sin 0 Av )1 (cos 0 Ax )315(45 707.010 07.7

13、 arctg 13545 或 )4( 0 0 x v tg X 旋转矢量法旋转矢量法 第四象限第四象限 t x 例例2：谐振动的位移时间曲线如图，求振动方程：谐振动的位移时间曲线如图，求振动方程 0 04.0 8 . 0 由图可知：由图可知： mA04.0sT8 .0 T 2 5 .2 初始条件：初始条件： 0t时时 0cos 0 Ax2/2/ sin 0 Av02/ )2/5 .2cos(04.0tx 例例3：一弹簧：一弹簧 K ，如图：求振动方程，如图：求振动方程 0 l 1 l 2 lO X 建立坐标建立坐标 0)( 01 llkmg 在在O点点 m 在任意点在任意点X,弹力弹力)( 0

14、1 xllkf fmgF)( 01 xllkmg kx 0 2 2 kx dt xd m0 2 2 x m k dt xd 2 m k 令：令： 0 2 2 2 x dt xd 解此微分方程：解此微分方程： )cos(tAx 12 llA0tllxcos)( 12 4)4)复摆复摆 c l 很小很小已知：已知：l轴至质心的距离轴至质心的距离 mg 摆的质量摆的质量m及转动惯量及转动惯量J 对转动轴，对转动轴， JM 2 2 sin dt d Jmgl sin 2 2 J mgl dt d J mgl dt d 2 2 0 2 2 J mgl dt d 0 2 2 J mgl dt d 令令 J

15、 mgl 2 0 2 2 2 dt d 所以小角度复摆作谐振动所以小角度复摆作谐振动 2 T c l mg Z+ 对于单摆对于单摆2 mlJ mgl J T2 mgl ml 2 2 g l 2 mgl J 2 5 5）如图所示，一长为）如图所示，一长为L L的立方体木块浮于静水中，浸入的立方体木块浮于静水中，浸入 水中部分的高度为水中部分的高度为b b。今用手将木块压下去，放手让其。今用手将木块压下去，放手让其 开始运动。若忽略水对木块阻力，证明木块作谐振动。开始运动。若忽略水对木块阻力，证明木块作谐振动。 b X mg 浮 F 以水面为原点建立坐标以水面为原点建立坐标OX 受力分析：受力分析： gblmg 2 水 glxbF 2 )( 水浮 x 静止时，重力等于浮力静止时，重力等于浮力 一般位置，浮力为一般位置，浮力为 maFmg 浮 gblmg 2 水 glxbF 2 )( 水浮 magxblgbl)( 22 水水 2 2 2 dt xd mgxl 水 0 2 2 2 x m