第2章静电场(6) 分界面上的边界条件(P20)

1、第二章第二章 静电场静电场 2.1 库仑定律与电场强度库仑定律与电场强度 2.2 静电场的无旋性与电位函数静电场的无旋性与电位函数 2.3 静电场中的导体与电介质静电场中的导体与电介质 2.4 高斯通量定理高斯通量定理 2.5 泊松方程和拉普拉斯方程泊松方程和拉普拉斯方程 2.6 分界面上的边界条件分界面上的边界条件 2.7 导体系统的电容导体系统的电容 2.8 静电场能量和静电力静电场能量和静电力 2 电位移电位移 的边界条件的边界条件D nn DD 21 tt EE 21 电位移电位移 的边界条件的边界条件E 3 2-6 分界面上的边界条件分界面上的边界条件 二、电场强度二、电场强度 的边

2、界条件的边界条件E 一、电位移一、电位移 的边界条件的边界条件D 三、介质分界面上电场方向的关系三、介质分界面上电场方向的关系 nn DD 21 tt EE 21 2 1 2 1 tan tan 4 二、电场强度二、电场强度 的边界条件的边界条件E 一、电位移一、电位移 的边界条件的边界条件D 三、介质分界面上电场方向的关系三、介质分界面上电场方向的关系 2-6 分界面上的边界条件分界面上的边界条件 5 在静电场问题中，常遇到两种不同介质（在静电场问题中，常遇到两种不同介质（ 12） 的分界面。一般情况下，介质的分界面上会出现的分界面。一般情况下，介质的分界面上会出现净束净束 缚电荷缚电荷，这

3、些电荷影响到电场的分布，其结果使电场，这些电荷影响到电场的分布，其结果使电场 强度强度 或电位移或电位移 在分界面上发生突变。在分界面上发生突变。 D E 定义定义：电位移电位移 和电场强度和电场强度 在介质分界面上在介质分界面上 各自满足的变化关系。各自满足的变化关系。 D E 一、电位移一、电位移 的边界条件的边界条件D 边界条件边界条件（静电场分界面上的）： 6 1 2 考虑两个电容率分别为考虑两个电容率分别为 1和和 2的均匀电介质，的均匀电介质， S 在其分界面上取微小闭合圆柱面在其分界面上取微小闭合圆柱面S， 一、电位移一、电位移 的边界条件的边界条件D 1 2 0 S h n 其

4、轴线与分界面正交，其轴线与分界面正交， 上下两底面紧贴分界面两侧上下两底面紧贴分界面两侧( h0)，底面积元，底面积元S0。 注注: 21 7 1 2 n 1 2 1 D 2 D S 由有介质时的高斯定理得由有介质时的高斯定理得 下底上底 SDSDSD S ddd 21 202101 coscosSDSD 0 S 2211 coscosDD nn DD 21 : :分界面上自由电荷面密度分界面上自由电荷面密度 一、电位移一、电位移 的边界条件的边界条件D 即即 S SD d 0 S 202101 coscosSDSD （2-69） 注注: 21 8 nn DD 21 =0（分界面上分界面上没有

5、没有自由电荷时）：自由电荷时）： nn DD 21 电位移的法向分量连续。电位移的法向分量连续。 0（分界面上分界面上有有自由电荷时）：自由电荷时）： 电位移的法向分量不连续。电位移的法向分量不连续。 nn DD 21 (2-69) (2-71) 9 nn DD 21 nn DD 21 (2-69)(2-69) (2-71)(2-71) 用电位用电位 表示表示 nn 2 2 1 1 nn 2 2 1 1 (2-72)(2-72) (2-73)(2-73) 10 在均匀电介质中，电位移与电场强度在均匀电介质中，电位移与电场强度 的关系为：的关系为： 1 2 n 1 2 1 D 2 D S ED

6、n n nEED nn )( 介质方程介质方程 n ED nn 1 1111 n ED nn 2 2222 nn DD 21 nn 2 2 1 1 nn DD 21 nn 2 2 1 1 (2-72) (2-73) E 又 11 电场强度的法向分量电场强度的法向分量： 在分界面两侧有突变在分界面两侧有突变。 “分界面上没有自由电荷时，分界面上没有自由电荷时， 电位移的法向分量连续电位移的法向分量连续” 也可以写成 nn EE 2211 nn DD 21 12 二、电场强度二、电场强度 的边界条件的边界条件E 一、电位移一、电位移 的边界条件的边界条件D 三、介质分界面上电场方向的关系三、介质分

7、界面上电场方向的关系 2-6 分界面上的边界条件分界面上的边界条件 13 在分界面附近，作一在分界面附近，作一极扁极扁(BC0)的矩形回路的矩形回路ABCD， 所以所以 即即 tt EE 21 电场强度的切向分量电场强度的切向分量： 在分界面两侧连续在分界面两侧连续。 1 2 n 2 1 E 2 E A B CD 1 由由环路定理环路定理得得: 000 2211 CDEABE lElElElElE DACDBCABC sinsin ddddd 二、电场强度二、电场强度 的边界条件的边界条件E 2211 sinsinEE 0d C lE 14 (2-76)(2-76) 用电位用电位 表示表示 2

8、1 (2-77)(2-77) tt EE 21 15 D E tt EE 21 则则 2 2 1 1 tt DD 电位移矢量的切向分量电位移矢量的切向分量 在分界面两侧不连续在分界面两侧不连续 在均匀电介质中，在均匀电介质中， 电位移与电场强度的关系：电位移与电场强度的关系： ED 介质方程介质方程 16 二、电场强度二、电场强度 的边界条件的边界条件E 一、电位移一、电位移 的边界条件的边界条件D 三、介质分界面上电场方向的关系三、介质分界面上电场方向的关系 2-6 分界面上的边界条件分界面上的边界条件 17 三、介质分界面上电场方向的关系三、介质分界面上电场方向的关系 a. 理想介质理想介

9、质 均匀、各向同性、线性介质均匀、各向同性、线性介质 b.分界面上没有自由电荷分界面上没有自由电荷 =0 nn DD 21 tt EE 21 电位移电位移 的法向分量连续的法向分量连续: 2 2 1 1 tt DD 电场强度电场强度 的切向分量连续的切向分量连续: 即即 （电场强度和电位移矢量在分界面上的偏折）（电场强度和电位移矢量在分界面上的偏折） 18 2 2 1 1 tt DD nn DD 21 n t n t D D D D 2 2 21 1 1 11 2 2 1 1 tan 1 tan 1 2 1 2 1 tan tan 2 1 r r 电场中电场线和电位移线的折射定律电场中电场线和

10、电位移线的折射定律。 1 2 n 2 1 E 2 E 1 1 D 2 D 19 2 2 1 1 tan 1 tan 1 1 2 n 2 1 E 2 E 1 1 D 2 D 电位移电位移 和电场强度和电场强度 ： 在两种介质在两种介质( ( 1 12 2) )分界面上分界面上 一般要改变方向（一般要改变方向（ 1 12 2），）， 除非除非 1 1= = 2 2=0=0。 E D 1= 2=0的例子：的例子：平行板、同轴线、同心球平行板、同轴线、同心球 20 例例2-11 P69 两块很大的平行导电板，板间距离为两块很大的平行导电板，板间距离为d，而且，而且d比平比平 行板的长和宽都小得多。两板

11、接于直流电压行板的长和宽都小得多。两板接于直流电压U上充上充 电后断开电源，然后在板间放入一块均匀介质板，电后断开电源，然后在板间放入一块均匀介质板， r=9。设介质的厚度比。设介质的厚度比d略小一点，留下一小的空略小一点，留下一小的空 气隙。求放入介质板前后平行板间的电场强度。气隙。求放入介质板前后平行板间的电场强度。 解：解：放入介质板前，平行板间的电场为均匀电场： 放入介质板前，平行板间的电场为均匀电场： d U E 0 方向：从正极板指向负极板。方向：从正极板指向负极板。 d 21 nn DD 21 下极板与空气的分界面上：下极板与空气的分界面上： d 1 2 1 E 2 E 1 D

12、2 D d U ED 0000 放入介质板后导板表面的自由电荷总量和分布放入介质板后导板表面的自由电荷总量和分布 如何？如何？ 说明了什么？说明了什么？ 0 2 D（导体内场强为（导体内场强为0）? 011 DDD n （导体表面附近的场强方导体表面附近的场强方 向处处与表面垂直向处处与表面垂直） ? 22 上极板与空气分界面上：上极板与空气分界面上： 因为先断电，后放入均匀介质板，所以放入介因为先断电，后放入均匀介质板，所以放入介 质板后导板表面的自由电荷总量和分布质板后导板表面的自由电荷总量和分布 不变，不变， 即空气隙中的即空气隙中的D0不变。不变。 d 1 2 1 E 2 E 1 D

13、2 D nn DD 21 0 1 D（导体内场强为（导体内场强为0） ED 此即放入介质后平行板间的电场强度，此即放入介质后平行板间的电场强度， 方向方向：从正极板指向负极板。：从正极板指向负极板。 d U d UDDD E r 999 0 0 0 0 0 2 022 DDD n 23 例例2-13 P71 在聚苯乙烯（在聚苯乙烯（ =2.6 0 ）与空气的分界面两边，聚苯）与空气的分界面两边，聚苯 乙烯中的电场强度乙烯中的电场强度E1=2500V/m，电场方向与分界面，电场方向与分界面 法线的夹角是法线的夹角是 1=20。 求：求：(1) 空气中电场方向与分界面法线的夹角空气中电场方向与分界

14、面法线的夹角 2 ； (2) 空气中的电场强度空气中的电场强度E2和电位移和电位移D2 。 01 6 . 2 02 1 E 1 D 1 解：解： 分界面上没有自由电荷，分界面上没有自由电荷， =0， 2 1 2 1 tan tan n 2 E 2 D 2 24 14. 020tan 6 . 2 tantan 0 0 1 1 2 2 8 2 即即 tt EE 21 2211 sinsinEE )/(6144 8sin 20sin 2500 sin sin 2 1 12 mVEE )/(1044. 5614410854. 8 2812 222 mC ED 25 E 介电常数为介电常数为 的无限大均

15、匀各向同性、的无限大均匀各向同性、 线性介质中的电场强度为线性介质中的电场强度为 ， 如果在介质中如果在介质中沿沿电场方向挖一窄缝，电场方向挖一窄缝， 则缝中则缝中电场强度电场强度的大小为（的大小为（ ）。）。 思考题思考题 垂直垂直 E 0 A. E B. 0 E C. 0 0 )( E D. 26 作业作业 2-3; 2-6; 2-7； 2-8。 27 例题例题一高压电器设备中用一块均匀的陶瓷片一高压电器设备中用一块均匀的陶瓷片 （r=6.5 ）作为绝缘，其击穿场强为）作为绝缘，其击穿场强为107V/m，已知高，已知高 压电在陶瓷片外空气中激发均匀电场，其场强压电在陶瓷片外空气中激发均匀电

16、场，其场强 E1与陶与陶 瓷面法线成瓷面法线成1=300角，大小为角，大小为E1=2.0104V/m 。求：。求： （1）陶瓷中的电位移）陶瓷中的电位移 D2 和场强和场强E2 的大小和方向，的大小和方向， （2）陶瓷表面上极化电荷的面密度。）陶瓷表面上极化电荷的面密度。 解：解： (1)如图中所示，设陶瓷内电如图中所示，设陶瓷内电 位移位移 的方向与法线成的方向与法线成2角角 1 2 D1= 1E1 D2= 2E2 陶瓷陶瓷 2 空气空气 1 n 28 由边界条件由边界条件 2211 coscosDD可知可知 2 1 11 2 1 12 cos cos cos cos EDD 27 2412 /1095. 5 / 258. 0 866. 0 100 . 21085. 81 mC mC 2 1 2 1 2 1 r r tan tan 175 2 . 7533577