第三章 一元流体动力学基础(第一次)

1、流体力学 北方民族大学化工学院北方民族大学化工学院 任课教师：康亚明任课教师：康亚明 探索未知，传承文明探索未知，传承文明 作业点评作业点评 习题习题3-6: 一开口圆柱形容器，直径一开口圆柱形容器，直径D= 0.4m，上部为油，下部，上部为油，下部 为水。为水。(1) 若若a=0.2m, b=1.2m, c=1.4m, 求油的相对密度。求油的相对密度。 (2) 如如 果油的相对密度为果油的相对密度为0.84， a=0.5m，b=1.6m，求容器中水和油的，求容器中水和油的 体积。体积。 D B水 a b c A油 点评：点评：判断等压面，选择等压面，巧用传递性。判断等压面，选择等压面，巧用传

2、递性。 2 1 2w pb 21w ppa 1 () w pba 等压面等压面 传递性传递性 1 () w pba 1 () o pca 2 F2x F 习题习题3-11：圆筒行闸门，直径圆筒行闸门，直径D=4m，长度，长度L=10m，H1=4m， H2=2m。求作用于闸门上的静水总压力。求作用于闸门上的静水总压力Fx、Fy。 点评：点评：整体受力分析、整体受力分析、 压力体的叠加。压力体的叠加。 12x FFF y x 1 H 2 H D 1 F 1x F “转嫁危机转嫁危机” y x 1 H 2 H D 习题习题3-12：拦河大坝，坝内水深拦河大坝，坝内水深80m，坝外水深，坝外水深20m

3、，计算静，计算静 水压力作用下，大坝所受合力及其与水压力作用下，大坝所受合力及其与x轴方向。轴方向。 点评：点评：整体受力分析、整体受力分析、 选取压力体。选取压力体。 12x FFF y x 1x F 1 F 2x F 2 F Fy：选取压力体选取压力体 y F 2 G 2y F 1 G 1y F y x 12 GG 内容回顾内容回顾 核心问题核心问题1、匀加速直线运动中液体的平衡匀加速直线运动中液体的平衡 （1）质量力（两部分）质量力（两部分） （2）压强分布）压强分布 z 固定不变：固定不变： a 12 YY 12 XXX 0 12 ZZg Z Y a z x y g a () aa a

4、 ppxzph g 压强沿压强沿 x 轴线性变化。轴线性变化。 x 固定不变：固定不变： 压强沿压强沿 z 轴线性变化。轴线性变化。 （3）自由面方程）自由面方程 () a a pppxz g 自由面绝对压强：自由面绝对压强： 0 a pp 自由面相对压强：自由面相对压强： ()0 a xz g 自由面方程：自由面方程： a zx g 自由面与自由面与xOy面夹角：面夹角： 自由面为一与自由面为一与 y 轴平行的过坐标轴原点的倾斜面轴平行的过坐标轴原点的倾斜面 tan a g ,a x z y O 等压等压 另外有另外有,XaZg 有：有：()0adxgdz () a xzC g 代入流体平衡

5、微分方程：代入流体平衡微分方程： 0 积分，得：积分，得： （4）等压面方程）等压面方程 dp ()dpXdxYdyZdz 或或 a xzC g 结论：结论：匀加速直线运动中，液体的等匀加速直线运动中，液体的等 压面是与自由面平行的压面是与自由面平行的一系列倾斜面一系列倾斜面。 z a x a zxC g （1）质量力（两部分）质量力（两部分） （2）压强分布）压强分布 x、y 固定不变：固定不变： 2 x 12 YY 12 XXX 2 y 12 ZZg Z Y 22 () 2 aa r ppzph g 压强沿压强沿 z 轴线性变化。轴线性变化。 核心问题核心问题2 2、匀速旋转运动中液体的平

6、衡匀速旋转运动中液体的平衡 2 x 2 y 2 r A y x O z x y R （3）自由面方程）自由面方程 自由面自由面绝对压强绝对压强： 0 a pp 自由自由面相对压强面相对压强： 22 ()0 2 r z g 自由面方程：自由面方程： 2 22 22 () 22 r zxy gg 结论：自由面为一结论：自由面为一旋转抛物面旋转抛物面，形状与，形状与有关。有关。 22 2 R h g h , 22 () 2 a r pppz g z R y O x 22 2 R g 等压等压 另外有另外有 22 ,XxYyZg 有：有： 22 11 22 xygzC 22 ()0 xdxydygdz

7、 代入流体平衡微分方程：代入流体平衡微分方程： 0 积分，得：积分，得： （4）等压面方程）等压面方程 ()dpXdxYdyZdz 或或 22 1 2 rgzC 结论：匀速旋转运动中，液体的等压面是绕直轴旋结论：匀速旋转运动中，液体的等压面是绕直轴旋 转的抛物面，当转的抛物面，当 C 值不同时，得到值不同时，得到旋转抛物面簇旋转抛物面簇。 整理整理 22 2 r zC g z R y O x dp 22 2 r zC g 第三章第三章 一元一元流体动力学基础流体动力学基础 3.1 描述流体运动的描述流体运动的拉格朗日法拉格朗日法与与欧拉法欧拉法 3.2 （非）恒定元流的（非）恒定元流的概念概念

8、与与特征特征 3.3 流线与迹线的流线与迹线的概念概念及及区别区别 3.4 一元流动模型一元流动模型 特点：特点：概念多、较抽象概念多、较抽象 学习要求：学习要求：理解基本概念理解基本概念 学习进程：学习进程： 流体的基本特征流体的基本特征： 静力学静力学（相对平衡）相对平衡）动力学动力学 流动性流动性研究研究运动规律运动规律更有价值更有价值 动力学的主要问题：动力学的主要问题： 压强压强和和流速流速两者在两者在空间的分布空间的分布 由静到动：由静到动： 出现了和流速密切相关的出现了和流速密切相关的惯性力惯性力 和和粘性力粘性力 惯性力：惯性力： 由流体质点本身由流体质点本身流速变化流速变化引

9、起的。引起的。 粘性力：粘性力： 由流层与流层之间，质点与质点之间存由流层与流层之间，质点与质点之间存 在在流速差流速差引起的。引起的。 结论：结论： 流体动力学的流体动力学的基本问题基本问题是是流速问题流速问题 引言引言 受力变化受力变化 着眼于流体质点，跟踪着眼于流体质点，跟踪 质点描述其运动历程质点描述其运动历程 着眼于空间点，研究着眼于空间点，研究 质点流经空间各固定质点流经空间各固定 点的运动特性点的运动特性 蹲点蹲点 跟踪跟踪 3.1 描述流体运动的两种方法描述流体运动的两种方法 AB C D t1时刻时刻 A B C D t2时刻时刻 跟踪跟踪 拉格朗日法拉格朗日法 以研究单个液

10、体质点的运动以研究单个液体质点的运动 过程作为基础，综合所有质点的运动，构成整个过程作为基础，综合所有质点的运动，构成整个 液体的运动。液体的运动。 拉格朗日法拉格朗日法 着重于流体质点着重于流体质点 跟踪每个跟踪每个 流体质点流体质点 研究其位研究其位 移、速度、移、速度、 加速度等随加速度等随 时间的变时间的变 化情况化情况 综合流场中综合流场中 所有流体质所有流体质 点的运动点的运动 流场的流场的 运动运动 跟踪跟踪 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) xx a b c t yy a b c t zz a b c t , xyz u u u (a, b, c, t

11、) 通常称通常称 作拉格朗日变量作拉格朗日变量 全部质点的速度：全部质点的速度： ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) x y z x a b c t u t y a b c t u t z a b c t u t 质点流速在各轴的分量质点流速在各轴的分量 x z y O M （a，b，c） （t0） （x，y，z） t 结论：结论：轨迹方程是初始轨迹方程是初始 坐标与时间的连续函数坐标与时间的连续函数 缺点：缺点：过于复杂，实际上难于实现。过于复杂，实际上难于实现。 基本特点：基本特点：追踪流体质点的运动追踪流体质点的运动 优点：优点：可以直接运用流体力学建立起来的质点

12、或可以直接运用流体力学建立起来的质点或 质点系动力学来分析。质点系动力学来分析。 , xyz a aa 全部质点的加速度：全部质点的加速度： 2 2 2 2 2 2 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) x y z x a b c t a t y a b c t a t z a b c t a t 质点加速度在各轴的分量质点加速度在各轴的分量 只有在一些特殊情况（只有在一些特殊情况（波浪运波浪运 动。水滴动。水滴等的运动时）时使用等的运动时）时使用 欧拉法欧拉法 着重于研究空间着重于研究空间 固定点的情况固定点的情况 选定某一空选定某一空 间固定点间固定点 记录其位记录其

13、位 移、速度、移、速度、 加速度等随加速度等随 时间的变时间的变 化情况化情况 综合流场中综合流场中 许多空间点许多空间点 随时间的变随时间的变 化情况化情况 流场的流场的 运动运动 蹲点蹲点 二、欧拉法二、欧拉法 欧拉法欧拉法研究不同时刻，在某个空间点上研究不同时刻，在某个空间点上流体流体 物理量物理量的变化，如速度、加速度，以速度为例：的变化，如速度、加速度，以速度为例： ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) xx yy zz uux y z t uux y z t uux y z t 含义：标示某个流体质点在时间含义：标示某个流体质点在时间t，其空间位置为，其空间位

14、置为 （x,y,z）时的速度，其中（）时的速度，其中（x,y,z,t）称作）称作欧拉变量欧拉变量。 一一 、恒定恒定流动流动 流体内部任意空间位置上，流体运动参数都不随时流体内部任意空间位置上，流体运动参数都不随时 间而改变。间而改变。 恒定流中，运动参数仅是位置坐标的函数。恒定流中，运动参数仅是位置坐标的函数。 3.2 恒定流动与非恒定流动恒定流动与非恒定流动 欧拉变量不出现欧拉变量不出现 t ( , , ) ( , , ) ( , , ) xx yy zz uux y z uux y z uux y z 问题大大简化问题大大简化 还不够！还不够！ 二二 、非恒定流动、非恒定流动 流速等流体

15、内部物理量的空间分布与时间有关。流速等流体内部物理量的空间分布与时间有关。 含义：含义：反映了非恒定流中流速在空间的分布，也反反映了非恒定流中流速在空间的分布，也反 映了流速随时间的变化。映了流速随时间的变化。 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) xx yy zz uux y z t uux y z t uux y z t 特别说明：特别说明：今后的研究，主要是针对恒定流动。今后的研究，主要是针对恒定流动。 实际工程中的大多数流体，流速等参数不随时间而变，实际工程中的大多数流体，流速等参数不随时间而变， 或变化缓慢，按恒定流动计算或变化缓慢，按恒定流动计算可以满足工程要

16、求可以满足工程要求。 一一 、流线、流线 在某一时刻，由许多流体质点连成一条空间曲线，在某一时刻，由许多流体质点连成一条空间曲线， 曲线上所有质点在该时刻的速度矢量，都与这一曲线曲线上所有质点在该时刻的速度矢量，都与这一曲线 相切，该曲线即为这一时刻的一条流线。相切，该曲线即为这一时刻的一条流线。 （2）绘制流线）绘制流线 3.3 流线与迹线流线与迹线 1、任取一点、任取一点1，绘出此时过该点流体质点的流速，绘出此时过该点流体质点的流速 矢量矢量 u1； 2 2 u 44 u 2、在、在1点矢量线上取距点矢量线上取距 1 点点 很近的点很近的点 2，也绘出此时过该，也绘出此时过该 点流体质点的

17、流速矢量点流体质点的流速矢量 u2; （1）定义）定义 1 u 1 3 3 u 4、折线上相邻各点的距离无、折线上相邻各点的距离无 限接近，折线就变为光滑的曲线。限接近，折线就变为光滑的曲线。 用同样的方法可以绘出任意时刻任意点的流线，在用同样的方法可以绘出任意时刻任意点的流线，在 运动流体的整个空间上，可绘出一系列流线，称为运动流体的整个空间上，可绘出一系列流线，称为流流 线簇线簇。 恒定流中：恒定流中： 3、如此继续下去，可得到、如此继续下去，可得到1、2、3、4组成的一组成的一 条折线；条折线； 1 1 u 2 2 u 3 3 u 44 u 流线形状不随时间改变流线形状不随时间改变 非恒

18、定流中：非恒定流中：流线形状随时间改变流线形状随时间改变 （3）（非）恒定流中流线特点）（非）恒定流中流线特点 （4）流线的微分方程）流线的微分方程 ds x dx y dy z dz O 距离向量与流速向量重合。距离向量与流速向量重合。 xyz dxdydz uuu 沿流线的流动方向取微距离沿流线的流动方向取微距离 ds， ds是矢量，也称为距离向量是矢量，也称为距离向量 ， 轴向分量为轴向分量为 dx，dy，dz 。 ds u x x u y y u z z u O 与与ds 对应的还有流速向量对应的还有流速向量 ， 轴向分量为轴向分量为 ux，uy，uz 。 du 距离向量的三个分量与微

19、元距离向量的三个分量与微元 向量的三个轴向分量成比例。向量的三个轴向分量成比例。 流线的微分方程流线的微分方程 二、二、迹迹线线 同一质点在各不同时刻所占有的空间位置联系成同一质点在各不同时刻所占有的空间位置联系成 的空间曲线，称为的空间曲线，称为迹线迹线。 迹线是拉格朗日法对劳动的描绘。迹线是拉格朗日法对劳动的描绘。 三元流动：三元流动： 3.4 一元一元流动模型流动模型 运动要素是三个空间坐标的函数的流动运动要素是三个空间坐标的函数的流动 运动要素：运动要素：速度、加速度等；速度、加速度等；坐标变量：坐标变量：x, y, z 二元流动：二元流动： 运动要素是两个空间坐标的函数的流动运动要素

20、是两个空间坐标的函数的流动 一元流动：一元流动： 运动要素是一个空间坐标的函数的流动 运动要素是一个空间坐标的函数的流动 恒定元流假定恒定元流假定减少了欧拉变量中的时间变量减少了欧拉变量中的时间变量 欧拉变量还存在欧拉变量还存在 x，y，z 三个变量三个变量 问题还非常复杂问题还非常复杂 三元流动三元流动二元流动二元流动一元流动一元流动 一、流管、流束、过流断面、元流一、流管、流束、过流断面、元流 在流场中任取一封闭曲线在流场中任取一封闭曲线 C，要，要 求曲线求曲线 C 本身不是流线，它所包围本身不是流线，它所包围 的面积的面积 dA 无限小，经过曲线无限小，经过曲线 C 的的 每一点做流线

21、，这些流线所构成的每一点做流线，这些流线所构成的 管状表面管状表面，称为，称为流管流管。 A、流管、流管 流管以内的流体，称为流束。流管以内的流体，称为流束。 B、流束、流束 dA C C、流束的过流断面、流束的过流断面 垂直于流束的截面，称为垂直于流束的截面，称为流束的流束的过流断面过流断面。 当流束的过流断面无限小时对应的流束，称为元流。当流束的过流断面无限小时对应的流束，称为元流。 D、元流、元流 dA C 1、dA 为微面积，为微面积，dA 上各点的速度可以认上各点的速度可以认 为是均匀分布的。为是均匀分布的。 特点：特点： 2、当、当 dA 趋于趋于 0 时时, 元流的极限为一条流线

22、。元流的极限为一条流线。 无数元流的集合，称为总流。无数元流的集合，称为总流。 E、总流、总流 实质：实质：就是指边界具有一定规模。一定尺寸的就是指边界具有一定规模。一定尺寸的 实际流体。实际流体。 F、总流的过流断面、总流的过流断面 处处垂直于总流中全部流线的断面，称为总流的处处垂直于总流中全部流线的断面，称为总流的 过流断面过流断面 单位时间内通过某一过流断面的流体的总量，称单位时间内通过某一过流断面的流体的总量，称 为该过流断面的为该过流断面的流量流量。 体积流量体积流量 流速分布特点：流速分布特点： dQudA 三种形式：三种形式： A为过流断面为过流断面 G、流量、流量 A QudA

23、 u 的方向必为的方向必为 dA 的法向的法向 质量流量质量流量重量流量重量流量 沿过流截面常为中间大，边缘小。沿过流截面常为中间大，边缘小。 dA 断面上全部质点单位时间内的位移为断面上全部质点单位时间内的位移为u v A udA Q v AA A dA u 要点回顾 （1）拉格朗日法）拉格朗日法 （2）欧拉法）欧拉法 基本思路：基本思路：跟踪单个流体质点，并且随时间记跟踪单个流体质点，并且随时间记 录其坐标位置和相关物理量，从而摸清该质点随时录其坐标位置和相关物理量，从而摸清该质点随时 间变化的规律。间变化的规律。 若对每一个流体质点皆按此办理，那么全部流若对每一个流体质点皆按此办理，那么

24、全部流 体的运动规律即可知道。体的运动规律即可知道。 核心问题核心问题1、 拉格朗日法拉格朗日法与与欧拉法欧拉法 欧拉法研究不同时刻，在某个空间点上欧拉法研究不同时刻，在某个空间点上流体物流体物 理量理量的变化，如速度、加速度。的变化，如速度、加速度。 一一 、恒定流动、恒定流动 流体内部任意空间位置上，流体运动参数都不随时流体内部任意空间位置上，流体运动参数都不随时 间而改变，运动参数仅是位置坐标的函数。间而改变，运动参数仅是位置坐标的函数。 欧拉变量不出现欧拉变量不出现 t ( , , ) ( , , ) ( , , ) xx yy zz uux y z uux y z uux y z 问

25、题大大简化问题大大简化 核心问题核心问题2、 恒定流动与非恒定流动恒定流动与非恒定流动 二二 、非恒定流动、非恒定流动 流速等流体内部物理量的空间分布与时间有关。流速等流体内部物理量的空间分布与时间有关。 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) xx yy zz uux y z t uux y z t uux y z t 特别说明：特别说明：今后的研究，主要是针对恒定流动。今后的研究，主要是针对恒定流动。 实际工程中的大多数流体，流速等参数不随时间实际工程中的大多数流体，流速等参数不随时间 而变，或变化缓慢，按恒定流动计算而变，或变化缓慢，按恒定流动计算可以满足工程可以满足工程 要求要求。 核心问题核心问题3、 流线与迹线的流线与迹线的概念概念及及区别区别 恒定