§8.4双曲线的简单几何性质例题(一)_第1页
§8.4双曲线的简单几何性质例题(一)_第2页
§8.4双曲线的简单几何性质例题(一)_第3页
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文档简介

1、例1 已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为2，另一双曲线与椭圆有公共焦点，且椭圆的长半轴比双曲线的实半轴大4，两曲线的离心率之比为3：7，求两曲线方程.解：若焦点在x轴上，设所求椭圆及双曲线方程分别为：离心率分别为e1,e2，依题意：a1a2=4且e1：e2=：，又c1=c2=,a1=7,a2=3.故所求椭圆与双曲线方程分别为：或当焦点在y轴上时，可得两曲线方程为或例2 直线yax1=0和双曲线3x2y2=1相交于A、B两点，a为何值时，以AB为直径的圆经过原点.解：如图所示，若以AB为直径的圆经过原点，则有OAOB,设A(x1、y1)、B（x2、y2）,则即x1x2+y1y2=0 把y

2、=ax+1代入3x2y2=1得3x2(ax+1)2=1化简得 （3a2）x22ax2=0 x1+x2=,x1x2=则y1y2=(ax1+1)(ax2+1)=a2x1x2+a(x1+x2)+1=把y1y2=1代入得x1x2+1=0，即+1=0a=1，再由，若方程有解，0，则4a2+42(3a2)0解得,即a=1成立.当a=1时，以AB为直径的圆各过原点.例3 在双曲线(a0,b0)的两条渐近线上分别取A、B两点，使，其中c是半焦距，O是中心，求AB中点P的轨迹方程.解：设A（x1,x1）,B(x2,x2),P(x,y).由中点坐标公式得x1+x2=2x, (x1x2)=2yx1x2=,4x1x2

3、=4x2又c4=x1x2=a24a2=4x2整理得 即为所求轨迹方程.说明：此题利用点在渐近线上特点，能够简化假设点的坐标，减少解题层次.例4 已知双曲线c的实半轴长与虚半轴长的乘积等于，c的两个焦点为F1、F2，直线l过F2点，且与直线F1F2的夹角为,tan=,l与F1F2线段的垂直平分线的交点是P，线段PF2与双曲线的交点为Q，且，求此双曲线的方程.说明：此题意在增强学生建立坐标系的意识，并进一步熟悉双曲线的几何性质及待定系数法.解：如图，以F1F2所在的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立坐标系设双曲线方程为 (a0,b0)F1(c,0),F2(c,0)PF2：y=(xc).P(0,c)又由

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