高等数学级数6

1、1 三角函数系的正交性三角函数系的正交性 函数展开成傅里叶级数函数展开成傅里叶级数 小结小结 思考题思考题 作业作业 ( (傅氏级数傅氏级数Fourier series) 问题的提出问题的提出 第六节第六节 傅里叶傅里叶( (Fourier) )级数级数 正弦级数或余弦级数正弦级数或余弦级数 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 2 上一节详细研究了一种重要的函数项级数上一节详细研究了一种重要的函数项级数: : 幂级数幂级数. . 下面研究另一种重要的函数项级数下面研究另一种重要的函数项级数: : 这种级数是由于这种级数是由于研究周期现象的需要而研究周期现象的需要而 产生产生的的. 它在电工、力

2、学和许多学科中都有很它在电工、力学和许多学科中都有很 重要的应用重要的应用. 傅里叶傅里叶(Fourier,1768-1830) 法国数学家和法国数学家和 物理学家物理学家. 法国科学院院士法国科学院院士,英国皇家学会会员英国皇家学会会员. 傅里叶傅里叶 级数级数. . 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 3 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 1757年年, ,法国数学家克莱罗在研究太阳引法国数学家克莱罗在研究太阳引 起的摄动时起的摄动时, , 1 0 cos2)( n n nxAAxf 1759年年, ,拉格朗日在对声学的研究中也使用拉格朗日在对声学的研究中也使用 了了三角级数三角

3、级数. . 用三角函数的正交性得到了将函数表示成三角用三角函数的正交性得到了将函数表示成三角 1777年年, ,欧拉在研究天文学的时候欧拉在研究天文学的时候, , 级数时的系数级数时的系数, , 也就是现今教科书中傅里叶级数也就是现今教科书中傅里叶级数 的系数的系数. . 大胆地采用了大胆地采用了 历史朔源历史朔源 三角级数三角级数表示函数表示函数: : 2 0 cos)( 2 1 nxdxxfAn其中其中 4 微分方程是分不开的微分方程是分不开的. . 析学的发展析学的发展. . 形所采用的三角级数方法进行加工处理形所采用的三角级数方法进行加工处理, , 1753年年, , 的解表示为三角级

4、数的形式的解表示为三角级数的形式, ,这为函数的傅里叶这为函数的傅里叶 展开这个纯数学问题奠定了物理基础展开这个纯数学问题奠定了物理基础, ,促进了分促进了分 在历史上在历史上, , 丹丹 贝努利首先提出将弦振动方程贝努利首先提出将弦振动方程 1822年年, ,傅里叶在傅里叶在热的解析理论热的解析理论一书中一书中 对于欧拉和贝努利等人就一些孤立的，对于欧拉和贝努利等人就一些孤立的，特殊的情特殊的情 发展成发展成 一般理论一般理论. . 三角级数的出现和发展三角级数的出现和发展与求解与求解 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 5 一、问题的提出一、问题的提出 在自然界和人类的生产实践中在自然

5、界和人类的生产实践中, 周而复始周而复始 的现象的现象, 周期运动是常见的周期运动是常见的. 如行星的飞转如行星的飞转,飞轮的旋转飞轮的旋转,蒸气机活塞的蒸气机活塞的 往复运动往复运动,物体的振动物体的振动,声、光、电的波动等声、光、电的波动等. 数学上数学上,用周期函数来描述它们用周期函数来描述它们.最简单最基本最简单最基本 的周期函数是的周期函数是 )sin( tA谐函数谐函数 周期周期 2 振幅振幅时间时间 角频率角频率 初相初相 简谐波简谐波 简谐振动简谐振动 正弦型函数正弦型函数 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 6 如矩形波如矩形波 t t tu 0, 1 0, 1 )( 当

6、当 当当 不同频率正弦波不同频率正弦波 ,sin 4 t ,3sin 3 1 4 t ,5sin 5 1 4 t ,7sin 7 1 4 t 除了正弦函数外除了正弦函数外,常遇到的是常遇到的是非正弦周期函数非正弦周期函数, 较复杂的较复杂的 周期现象周期现象 逐个叠加逐个叠加分解分解 ,9sin 9 1 4 t 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 O t u 1 1 7 tusin 4 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 1 1 O t u 2 2 2 2 2 3 2 3 8 )3sin 3 1 (sin 4 ttu 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 O t u 1 1 2 2

7、2 2 2 3 2 3 9 )5sin 5 1 3sin 3 1 (sin 4 tttu 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 O t u 1 1 2 2 2 2 2 3 2 3 10 )7sin 7 1 5sin 5 1 3sin 3 1 (sin 4 ttttu 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 O t u 1 1 2 2 2 2 2 3 2 3 11 )9sin 9 1 7sin 7 1 5sin 5 1 3sin 3 1 (sin 4 )( ttttttu )0,( tt )9sin 9 1 7sin 7 1 5sin 5 1 3sin 3 1 (sin 4 tttttu 傅里

8、叶傅里叶(Fourier)级数级数 O t u 1 1 2 2 2 2 2 3 2 3 12 设想设想 一个较复杂的周期运动一个较复杂的周期运动(如矩形波如矩形波)分解分解 为简谐振动的迭加为简谐振动的迭加.会给分析问题带来方便会给分析问题带来方便. 是把一个复杂的是把一个复杂的周期函数周期函数 f(t) )sin( nn tnA 反映在数学上反映在数学上, 的迭加的迭加,表示为各类表示为各类正弦函数正弦函数 1 0 )sin( n nn tnAA 谐波分析谐波分析 或再利用三角恒等式或再利用三角恒等式, 1 0 )sincoscossin( n nnnn tnAtnAA 变形为变形为 即即

9、傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 13 , 2 0 0 A a 令令,sin nnn Aa ,cos nnn Ab . xt 三角级数三角级数 1 0 )sincos( 2n nn nxbnxa a 1 0 )sincoscossin( n nnnn tnAtnAA 0 A nn A sin nn A cost 函数函数 f (t) 满足什么条件满足什么条件, 系数系数 nn baa, 0 才能展为才能展为 如何确定如何确定? 为简便计为简便计,先来讨论以先来讨论以 为周期的函数为周期的函数 f(x), 2 解决上述问题起着关键作用的是解决上述问题起着关键作用的是: 三角函数系的正交性三

10、角函数系的正交性(orthogonality). 1 0 )sincos( 2n nn nxbnxa a 1 三角级数三角级数? 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 14 , 1 三角函数系三角函数系 二、三角函数系的二、三角函数系的正交性正交性 的的正交性正交性是指是指:其中任何两个其中任何两个不同的函数的乘积不同的函数的乘积 上上的的积积分分为为零零，, 在一个周期长的区间在一个周期长的区间 而任而任 一个函数的自乘一个函数的自乘(平方平方)在在 ,cos x,sin x,2cos x,2sin x,cosnx,sinnx 或或上上的的积积分分为为 , .2 为为 1nxcosxd 1

11、nxsin xd 0 即有即有 xd12 2 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 orthogonality 15 xnxmxdsinsin xnxmxdcossin), 2 , 1,( nm其中其中 xnxdcos 2 xnxdsin 2 nm , 0 nm , 0 xnxmxdcoscos nm , 0 nm , 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 16 1.1.傅里叶系数傅里叶系数 (Fourier coefficient) 1 0 )sincos( 2 )( k kk kxbkxa a xf若有若有 .)1( 0 a求求 2 2 0 a xxfad)( 1 0 x a d 2

12、0 利用三角函数系的正交性利用三角函数系的正交性 两边积分两边积分 1 dsindcos k kk xkxbxkxa 0 0 1 0 )sincos( 2 )( k kk kxbkxa a xf xd xd xd 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 三、函数展开成傅里叶级数三、函数展开成傅里叶级数 17 .)2( n a求求 xnxxfdcos)( dcossindcoscos 1 xnxkxbxnxkxa k k k 1 0 )sincos( 2 )( k kk kxbkxa a xf xnxandcos 2 n a xnxxfandcos)( 1 ), 3 , 2 , 1( n ,co

13、snx两边同乘两边同乘逐逐项项积积分分到到再再从从 xnx a dcos 2 0 利用三角函数系的正交性利用三角函数系的正交性 nk 0 0 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 18 .)3( n b求求 xnxxfbndsin)( 1 ), 3 , 2 , 1( n xnxxfdsin)( dsinsindsincos 1 xnxkxbxnxkxa k k k n b 1 0 )sincos( 2 )( k kk kxbkxa a xf ,sinnx两边同乘两边同乘逐逐项项积积分分到到再再从从 xnx a dsin 2 0 利用三角函数系的正交性利用三角函数系的正交性 0 nk 0 傅里

14、叶傅里叶(Fourier)级数级数 19 ,2)(为周期的函数为周期的函数是以是以设设 xf或或且在且在, 2 , 0 则则 xnxxfandcos)( 1 xnxxfbndsin)( 1 ), 2 , 1 , 0( n ), 2 , 1( n xnxxfdcos)( 1 xnxxfdsin)( 1 0 2 0 2 ,上可积上可积 希自己证明希自己证明 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 20 1993,研究生考题研究生考题,填空填空,3分分 的傅里叶级数的傅里叶级数设设)( ,)( 2 xxxxf 则则展开式为展开式为)sincos( 2 1 0 nxbnxa a n nn ).( 3

15、b系数系数 3 2 xnxxfbndsin)( 1 解解 由由傅里叶系数公式傅里叶系数公式 , 3 n xxxxbd3sin)( 1 2 3 xxxxxxd3sind3sin 1 2 dxxx 3sin 3 2 偶偶 奇奇 0 2 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 0 21 ), 2 , 1(,dsin)( 1 ), 2 , 1 , 0(,dcos)( 1 nxnxxfb nxnxxfa n n 2 0 2 0 ), 2 , 1(,dsin)( 1 ), 2 , 1 , 0(,dcos)( 1 nxnxxfb nxnxxfa n n 傅里叶系数傅里叶系数 1 0 )sincos( 2n

16、nn nxbnxa a 由由这些这些系数系数作成的三角级数作成的三角级数 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 22 称为函数称为函数 f(x)(诱导出诱导出)的的傅里叶级数傅里叶级数, f(x) 1 0 )sincos( 2n nn nxbnxa a 注注 f(x)的傅里叶级数不见得收敛；的傅里叶级数不见得收敛； 即使收敛，即使收敛， 级数的和也不一定是级数的和也不一定是 f(x).不能无条件的不能无条件的 下面的下面的傅里叶级数收敛定理傅里叶级数收敛定理回答了我们回答了我们. 所以所以, 把符号把符号“ ” 它的傅里叶级数收敛，它的傅里叶级数收敛， 记为记为 当当 f(x)满足什么条件时

17、，满足什么条件时， 并收敛于并收敛于f(x)本身本身. 换为换为 “=”. 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 23 2. 狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)充分条件充分条件 狄利克雷狄利克雷(德德)1805-1859 它它在在的的周周期期函函数数是是周周期期为为设设函函数数,2)( xf :,上上满满足足条条件件区区间间 ;,)1(处处处处连连续续外外除除有有限限个个第第一一类类间间断断点点 .)2(只只有有有有限限个个极极值值点点 (收敛定理收敛定理) 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 0 1 (cossin)( ) 2 nn n a anxbnxS x ( ),f xx则由

18、产生的傅里叶级数在任 一点 都收敛 , 且在上它的和函数为 24 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 当当x是是f (x)的连续点时的连续点时 , 2 )0()0( xfxf 当当x是是f (x)的间断点时的间断点时 当当 时时 x )(xS 傅氏级数的和函数与函数傅氏级数的和函数与函数f(x)的关系的关系 ),(xf 由定理可知由定理可知: 在在 f(x)的连续点处的连续点处, 都收敛到都收敛到 f(x)自身自身 即使有间断点即使有间断点,函数也有傅氏级数函数也有傅氏级数, 间断点上级数不收敛到函数值间断点上级数不收敛到函数值, 只不过在只不过在 而是收敛到而是收敛到 间断点处左右极限的

19、算术平均值间断点处左右极限的算术平均值 收收敛敛到到左左端端点点的的右右极极限限处处在在端端点点, x 术术平平均均值值和和右右端端点点的的左左极极限限的的算算 0 1 (cossin)( ) 2 nn n a anxbnxS x , 2 )()(ff 0 0 25 (1)函数展开成傅里叶级数的条件比展开成函数展开成傅里叶级数的条件比展开成 (2) 周期函数的三角级数展开是唯一的周期函数的三角级数展开是唯一的,就是就是 常说把常说把 f (x)在在 上展开成傅氏级数上展开成傅氏级数., (3) 要注明要注明傅氏级数的和函数与函数傅氏级数的和函数与函数f (x)相等相等 注注 幂级数的条件低幂级

20、数的条件低得得多多; 其其傅里叶级数傅里叶级数, 2 0 a 它它的的常常数数项项 xxfad)( 1 0 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 的区域的区域. 就是函数就是函数 在一个周期内的平均值在一个周期内的平均值; 26 设函数设函数 f (x)以以 为周期为周期, 且且 2 .0,1 ,0, 1 )( 2 时时当当 时时当当 xx x xf 其傅氏级数在其傅氏级数在 处收敛于处收敛于( ). x 1992,研究生考题研究生考题,填空填空,3分分 2 2 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 27 解解上上满满足足狄狄利利克克雷雷条条件件，在在区区间间由由于于,)( xf 可以将可

21、以将f (x)展开为傅氏级数展开为傅氏级数. 因为因为 )0( f )0( f 所以所以,收收敛敛于于的的傅傅氏氏级级数数在在点点 xxf)( 2 )0()0( ff ,1)1(lim 22 x x , 1)1(lim x 2 2 .0,1 ,0, 1 )( 2 时时当当 时时当当 xx x xf 其傅氏级数在其傅氏级数在 处收敛于处收敛于( ). x 设函数设函数f(x)以以 为周期为周期,且且 2 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 28 周期函数的周期函数的傅里叶级数解题程序傅里叶级数解题程序: : 并验证是否满足狄氏条件并验证是否满足狄氏条件 (画图目的画图目的: 验证狄氏条件验证

22、狄氏条件;由图形写出收敛域由图形写出收敛域; 易看出奇偶性可减少求系数的工作量易看出奇偶性可减少求系数的工作量); (2) 求出傅氏系数求出傅氏系数; (3) 写出傅氏级数写出傅氏级数, 并注明它在何处收敛于并注明它在何处收敛于f (x). 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 (1) 画出画出 f (x)的图形的图形, 29 解解 u(t)的图象的图象 计算傅里叶系数计算傅里叶系数 tnttuandcos)( 1 ), 2 , 1( n ttuad)( 1 0 奇奇 0 奇奇 0 将其展开为傅氏级数，将其展开为傅氏级数， 并按狄利克雷定理写出此级数的和并按狄利克雷定理写出此级数的和. 例例

23、 xxfad)( 1 0 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 Ot u m E m E 2以以 为周期的矩形脉冲的波形为周期的矩形脉冲的波形 0, 0, )( tE tE tu m m 1 ( )cosd n af xnx x 30 tnttubndsin)( 1 )cos1( 2 n n Em )1(1 2 n m n E 偶偶 tnt Em dsin 0 cos 2 nt n Em , 4 n Em , 0 , 5 , 3 , 1 n , 6 , 4 , 2 n 0 2 tn n E tu n m )12sin( 12 14 )( 1 )5sin 5 1 3sin 3 1 (sin 4

24、 ttt Em f(x) 1 0 )sincos( 2n nn nxbnxa a 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 故故u(t)的傅里叶级数为的傅里叶级数为 31 时时当当 kt 由于由于u(t)满足狄利克雷充分条件满足狄利克雷充分条件, ,), 2, 1, 0(处处不不连连续续在在点点 kkt 2 mm EE 收敛于收敛于 2 )( mm EE 0 所以所以,得得 tn n E n m )12sin( 12 14 1 ),(tu 时时当当 kt , 0 tn n E tu n m )12sin( 12 14 )( 1 ),2, 0;( tt 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 u(

25、t)的图象的图象 Ot u m E m E 和函数图象和函数图象 Ot u m E m E 32 且且为为周周期期以以函函数数,2)( xf ,0, ( ) 0,0, xx f x x 解解 计算傅里叶系数计算傅里叶系数 xxfad)( 1 0 0 d 1 xx 2 例例 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 2 3 2 3 Ox y 将将 f (x) 展开为傅里叶级数展开为傅里叶级数. f (x) 的图象的图象 33 xnxxfandcos)( 1 0 dcos 1 xnxx )cos1( 1 2 n n 0 2 cossin1 n nx n nxx , 2 2 n , 0 , 5 , 3

26、 , 1 n ;, 6 , 4 , 2 n )1(1 1 2 n n xnxxfbndsin)( 1 0 dsin 1 xnxx 0 2 sincos1 n nx n nxx n n cos . )1( 1 n n 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 34 1 1 2 sin )1( cos)1(1 1 4 n n n nx n nx n xxx5cos 5 1 3cos 3 1 cos 2 4 22 .3sin 3 1 2sin 2 1 sin xxx )(xf 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 故故 f (x)的傅里叶级数的傅里叶级数 35 由于由于f (x)满足狄利克雷充分条件

27、满足狄利克雷充分条件, ,), 2, 1, 0()12(处处不不连连续续在在点点 kkx 2 )0()0( ff 收敛于收敛于 ).()12(xfkxx处处收收敛敛于于在在连连续续点点 22 0 由由收敛定理收敛定理得得 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 2 3 2 3 Ox y 的图象的图象)(xf和和函函数数的的图图象象 2 2 3 2 3 Ox y 36 )(xf xx3sin 3 1 3cos 3 2 2 x2sin 2 1 x4sin 4 1 xx5sin 5 1 5cos 5 2 2 ).,3,;( xx xxsincos 2 4 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 37

28、 上有定义上有定义;, (3) F(x)可展为傅氏级数可展为傅氏级数; 注注 , )(2,)2(xF的的函函数数外外补补充充定定义义成成为为在在 );()(,),()4(xfxF 内内 ,)5( x 作作 法法 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 对于非周期函数对于非周期函数,如果如果 f (x)只在区间只在区间 上有定义上有定义, 并且满足狄氏充要条件并且满足狄氏充要条件,也可展开成 也可展开成 傅氏级数傅氏级数. (1) f (x) 在在 (周期延拓周期延拓); ).0()0( 2 1 ff 级数收敛于级数收敛于 38 解解 , 例例 将函数将函数 xx xx xf 0, 0, )(

29、展开为傅氏级数展开为傅氏级数. 拓广的周期函数拓广的周期函数的傅氏级数展开式在的傅氏级数展开式在 xxfad)( 1 0 0 d 2 xx 计算傅里叶系数计算傅里叶系数 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 Ox y 2 2 所给函数在区间所给函数在区间满足狄氏充要条件满足狄氏充要条件, 收敛于收敛于 f (x). , 上 39 xnxxfandcos)( 1 )1(cos 2 2 nx n 1)1( 2 2 n n xxxf,)( 0 dcos 2 xnxx 偶函数偶函数 , 6 , 4 , 2, 0 , 5 , 3 , 1, 4 2 n n n xnxxfbndsin)( 1 0 奇函数

30、奇函数 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 40 1 2 )12cos( )12( 14 2 )( n xn n xf )( x 所求函数的傅氏展开式为所求函数的傅氏展开式为 xxx5cos 5 1 3cos 3 1 cos 4 2 22 利用傅氏展开式求级数的和利用傅氏展开式求级数的和 , 0)0(,0 fx时时当当 22 2 5 1 3 1 1 8 xxxf,)( 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 41 , 4 1 3 1 2 1 1 222 设设 85 1 3 1 1 2 22 1 , 6 1 4 1 2 1 222 2 , 4 1 3 1 2 1 1 222 3 4 2 ,

31、24 2 21 , 6 2 . 12 2 收收= 和和 , 4 21 3 1 2 1 8 2 2 24 2 3 21 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 42 北方交大考题北方交大考题 95级级, (6分分) 2)( | 2 , 2 |, )(以以写出写出设设xf xx xx xf 为周期的傅氏级数的为周期的傅氏级数的和函数和函数S(x)在在 上的上的, 解解 S(x) = , x 2 x ,x x 2 , 0 , 2 x 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 表达式表达式. 43 98 (A) 填空题填空题 (3分分) , 6 1 2 1 2 n n 已知级数已知级数 则级数则级数 的

32、和的和 1 2 12 1 n n 等于等于8 2 1 2 2 1 6 n n 1 2 )12( 1 n n 1 2 1 2 1 4 1 )12( 1 nn nn 解解 64 1 )12( 1 2 1 2 n n 2222 4 1 3 1 2 1 1 1 1 2 )2( 1 n n 8)12( 1 2 1 2 n n 所以所以, 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 44 由奇函数与偶函数的积分性质由奇函数与偶函数的积分性质 系数的公式系数的公式,易得下面的结论易得下面的结论. 和傅里叶和傅里叶 n a n b 此时称傅里叶级数为此时称傅里叶级数为nxb n n sin 1 即即 xnxxfa

33、ndcos)( 1 ), 2 , 1 , 0( n 0 ), 2 , 1( n xnxxfbndsin)( 1 2 0 xnxxfdsin)( (sine series) 正弦级数正弦级数, 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 sine series and cosine series 四、正弦级数和余弦级数四、正弦级数和余弦级数 它的傅里叶系数为它的傅里叶系数为 1.2( ),f x当周期为的奇函数展成傅里叶级数时 45 n b 此时称傅里叶级数为此时称傅里叶级数为 nxa a n n 1 0 cos 2 即即 ), 2 , 1( n ), 2 , 1( n n a 0 dcos)( 2

34、 xnxxf xnxxfandcos)( 1 xnxxfbndsin)( 1 0 注注 将函数展为傅里叶级数时将函数展为傅里叶级数时, 先要考查函数先要考查函数 是非常有用的是非常有用的.是否有奇偶性是否有奇偶性, 0 a 0 d)( 2 xxf (cosine series)余余弦级数弦级数, 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 它的傅里叶系数为它的傅里叶系数为 2.2( ),f x当周期为的偶函数展成傅里叶级数时 46 xx xx xf 0, 0, )( 2 的函数的函数试将周期为试将周期为 解解 函数的图形如图函数的图形如图,电学上称为 电学上称为 偶函数偶函数 0 a 0 d)(

35、2 xxf 0 d 2 xx 0 dcos)( 2 xnxxfan )1(cos 2 2 nx n 1)1( 2 2 n n 0 dcos 2 xnxx 的的图图象象)(xf 例例 展为傅里叶级数展为傅里叶级数. 锯齿波锯齿波. 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 O x y 2 2 3 47 , 6 , 4 , 2, 0 , 5 , 3 , 1, 4 2 n n n ,)(处处处处连连续续由由于于xf所以所以 1 2 )12cos( )12( 14 2 )( n xn n xf x xxx5cos 5 1 3cos 3 1 cos 4 2 22 0 n b nxa a n n 1 0 c

36、os 2 余余弦级数弦级数 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 O x y 2 2 3 48 解解 所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件. 为为周周期期的的是是以以时时 2)()12(xfkx ), 2 , 1 , 0(, 0 nan 奇函数奇函数 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 2 2 3 3x y O 设设 f (x)是周期为是周期为 的周期函数的周期函数,它在它在例例 2, 上 上的表达式为上的表达式为,)(xxf 将将 f (x)展开成傅氏级数展开成傅氏级数. f (x)的图形的图形 49 2 )0()0( ff 收敛于收敛于 2 )( , 0 ),()

37、12(xfkxx处收敛于处收敛于在连续点在连续点 0 dsin)( 2 xnxxfbn 0 dsin 2 xnxx 0 2 sincos 2 n nx n nxx n n cos 2 1 )1( 2 n n ), 2 , 1( n ,), 2, 1, 0()12(处不连续处不连续在点在点 kkx 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 的的图图形形)(xf 2 2 3 3x y O 和函数图象和函数图象 2 2 3 3x y O 50 )3sin 3 1 2sin 2 1 (sin2)( xxxxf 1 1 sin )1( 2 n n nx n ),3,;( xx nxb n n sin 1

38、正弦级数正弦级数 1 )1( 2 n n n b), 2 , 1( n 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 51 例例 在无线电设备中在无线电设备中,常用电子管整流器将交流电常用电子管整流器将交流电 转换为直流电转换为直流电.已知电压已知电压 t为时间为时间 试将试将E(t)展为傅氏级数展为傅氏级数. |sin|)(ttE 解解 为为)(tE , 0 n b), 2 , 1( n 在整个数轴上连续在整个数轴上连续. ttad |sin| 2 0 0 0 4 dsin 2 tt 偶函数偶函数, , 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 2 2 1 t E O 所给函数满足狄利克雷充分条件，

39、所给函数满足狄利克雷充分条件， 52 0 dcossin 2 tnttan 0 1 )1cos( 1 )1cos(1 n tn n tn )1( n n为奇数为奇数 n为偶数为偶数 0 1 dcossin 2 ttta0 0 d)1sin()1sin( 1 ttntn , 0 . )1( 4 2 n )( t (n=1时也对时也对) 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 24 111 ( cos2cos4cos6) 31535 ttt ( )E t 53 上上函数定义在函数定义在, 0 上上函函数数延延拓拓到到一一个个周周期期, 数数轴轴上上函函数数按按周周期期延延拓拓到到整整个个 级数级数

40、上的函数展开成傅立叶上的函数展开成傅立叶定义在定义在, 0 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 54 上上的的使使函函数数成成为为,. 1 上上有有上上的的函函数数延延拓拓到到把把, 0 上上的的使使函函数数成成为为,. 2 奇延拓奇延拓 偶延拓偶延拓 两种两种: 正弦级数正弦级数. 偶函数偶函数, 奇函数奇函数, 余弦级数余弦级数; 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 因而展开成因而展开成 因而展开成因而展开成 55 上有定义上有定义., 0 作法作法 3. F(x)可展开为傅氏级数可展开为傅氏级数, 这个级数必定是这个级数必定是 )()(xfxF 得到得到 f (x)的的正弦级数正弦级数 的展开式的展