工程力学弯曲应力教程

1、1 第第 八八 章章 弯弯 曲曲 强强 度度 问问 题题 2 回顾与比较 内力内力 A F N 应力应力 P I Mx FAy FQ M ? ? Mx 3 纯弯曲纯弯曲: : 梁段梁段CD上，只有弯矩，没有剪力纯弯曲上，只有弯矩，没有剪力纯弯曲 梁段梁段AC和和BD上，既有弯矩，又有剪力横力弯曲上，既有弯矩，又有剪力横力弯曲 8-1 8-1 纯弯曲时梁的正应力纯弯曲时梁的正应力 4 一、变形几何关系一、变形几何关系 5 1.梁的纯弯曲实验 横向线(a b、c d） 保持为直线，高度不变， 相互倾斜，仍垂直于纵 向线；纵向线变为弧线， 凸边伸长，凹边缩短， 中间有一纵向线长度不 变。 a b c

2、 d 中性层中性层 中中性性轴轴中中性性轴轴 （一）变形几何规律：（一）变形几何规律： a b c d MM 6 2:两个概念 中性层：长度不变的纵向纤维层； 中性轴：中性层与横截面的交线； 7 平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性 轴发生转动，距中性轴等高处，变形相等。 各纵向纤维之间无挤压 横截面上只有正应力。 3:推论 a b c d MM 8 4. 几何方程： y x d A (1) . y x y d ddy ) 1 11111 OO AB OOB A ABB A x 9 （二）、物理关系： 假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于 单项应力状态。 (2) . Ey E x

3、x 这表明，直梁的横截面上的正应力沿垂直于中性 轴的方向按直线规律变化。 10 （三）、静力学关系： dA y z(中性轴中性轴) x z y O dA M 0dd N z AA ES Ay E AF 0dd yz AA y EI Ayz E AzM M EI Ay E AyM z AA z dd 2 11 由于 不可能等于零，因而该两式要求： E 1. 横截面对于中性轴 z 的静矩 Sz 等于零；显然 这是要求中性轴 z 通过横截面的形心； 2. 横截面对于 y 轴和 z 轴的惯性积 Iyz 等于零； 在对称弯曲情况下，y 轴为横截面的对称轴，因而这 一条件自动满足。 12 杆的抗弯刚度。杆

4、的抗弯刚度。 zEIz )3( 1 LL Z Z EI M dA y z(中性轴中性轴) x z y O dA M M EI Ay E AyM z AA z dd 2 (4) . z x I M y 13 (5) . z m a x W M （四）最大正应力： max y I W z z 抗弯截面模量。抗弯截面模量。 14 正应力公式正应力公式: 变形几何关系: y 物理关系:E y E 静力学关系: Z 1 EI M Z I My 为梁弯曲变形后的曲率 1 为曲率半径, 15 正应力分布正应力分布: Z I My Z max max I My Z max W M max Z Z y I W

5、Z min W M 5.横截面上正应力的画法：横截面上正应力的画法： M min max M min max 16 线弹性范围线弹性范围正应力小于比例极限正应力小于比例极限 p； 精确适用于纯弯曲梁；精确适用于纯弯曲梁； 对于横力弯曲的细长梁对于横力弯曲的细长梁(跨度与截面高度比跨度与截面高度比 L/h5)，上述公式的误差不大，但公式中的上述公式的误差不大，但公式中的M应为所应为所 研究截面上的弯矩，即为截面位置的函数。研究截面上的弯矩，即为截面位置的函数。 zz EI xM xI yxM)( )( 1)( ， 6.公式适用范围：公式适用范围： 17 常见截面的常见截面的 IZ 和和 WZ 圆

6、截面圆截面: : 矩形截面矩形截面: : A dAyI 2 Z max Z Z y I W 64 4 Z d I 32 3 Z d W 12 3 Z bh I 6 2 Z bh W 18 常见截面的常见截面的 IZ 和和 WZ 空心矩形截面空心矩形截面: : A dAyI 2 Z max Z Z y I W 空心圆截面空心圆截面: : )1 ( 64 4 4 Z D I )1 ( 32 4 3 Z D W 1212 3 3 00 Z bhhb I )2/() 1212 ( 0 3 3 00 Z h bhhb W 19 BA l = 3m q=60kN/m x C 1m 30 z y 180 1

7、20 K 1.1.C 截面上截面上K点正应力点正应力 2.2.C 截面上最大正应力截面上最大正应力 3.3.全梁上最大正应力全梁上最大正应力 4.4.已知已知E=200GPa，C 截面的曲率半径截面的曲率半径 M x m67.5kN8/ 2 ql FS x 90kN 90kN mkN605 . 0160190 C M kN90 Ay FkN90 By F 45 33 Z m10832. 5 12 18. 012. 0 12 bh I MPa7 .61Pa107 .61 10832. 5 10)30 2 180 (1060 6 5 33 Z KC K I yM （压应力）（压应力） 解：解：1.

8、1.求支反力求支反力 20 2. C 截面最大正应力 C 截面弯矩 mkN60 C M C 截面惯性矩 45 Z m10832. 5 I MPa55.92Pa1055.92 10832. 5 10 2 180 1060 6 5 33 Z max max I yM C C BA l = 3m q=60kN/m x C 1m 30 z y 180 120 K FS x 90kN 90kN M x m67.5kN8/ 2 ql 21 3. 3. 全梁最大正应力全梁最大正应力 最大弯矩最大弯矩 mkN5 .67 max M 截面惯性矩截面惯性矩 45 m10832. 5 z I MPa17.104Pa

9、1017.104 10832. 5 10 2 180 105 .67 6 5 33 Z maxmax max I yM BA l = 3m q=60kN/m x C 1m 30 z y 180 120 K FS x 90kN 90kN M x m67.5kN8/ 2 ql 22 4. 4. C 截面曲率半径截面曲率半径 C 截面弯矩截面弯矩 mkN60 C M C 截面惯性矩截面惯性矩 45 Z m10832. 5 I m4 .194 1060 10832. 510200 3 59 C Z C M EI EI M 1 BA l = 3m q=60kN/m x C 1m 30 z y 180 1

10、20 K FS x 90kN 90kN M x m67.5kN8/ 2 ql 23 横力弯曲横力弯曲 8-2 8-2 正应力公式的推广正应力公式的推广 强度条件强度条件 24 横力弯曲正应力公式横力弯曲正应力公式: 弯曲正应力分布弯曲正应力分布 Z I My 弹性力学精确分析表明，弹性力学精确分析表明， 当跨度当跨度 l 与横截面高度与横截面高度 h 之比之比 l / h 5 （细长梁）时，纯弯曲（细长梁）时，纯弯曲 正应力公式对于横力弯曲近似正应力公式对于横力弯曲近似 成立。成立。 Z maxmax max I yM 横力弯曲最大正应力横力弯曲最大正应力 25 弯曲正应力强度条件弯曲正应力强

11、度条件 z I yM max max max 1.1.弯矩最大的截面上弯矩最大的截面上 2.2.离中性轴最远处离中性轴最远处 4.4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑 tt max, cc max, 3.3.变截面梁要综合考虑变截面梁要综合考虑 与与 yM, z I 26 根据强度条件可进行：根据强度条件可进行： 1、强度校核: max 2、截面设计: max M Wz 3、确定梁的许可荷载: z WM max 27 min, max max max z I yM 分析（分析（1 1） （2 2）弯矩）弯矩 最大的截面最大的截面M （3 3）

12、抗弯截面系数）抗弯截面系数 最最 小的截面小的截面 z W 图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。已知图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。已知: : ,kN5 .62,m16.0,m267.0,130 2 Fbammd 材料的许用应力材料的许用应力 .MPa60 mm160 1 d min, max max z W M 28 B截面：截面： MPa5 .41Pa105 .41 16. 0 322675 .62 32 6 33 1 max d Fa W M zB B MPa4 .46Pa104 .46 13. 0 321605 .62 32 6 33 2 max d Fb W M zC C

13、 C截面：截面： （5 5）结论）结论: :满足强度条件。 解解:（1 1）计算简图）计算简图 （2 2）绘弯矩图）绘弯矩图 （3 3）B截面，截面，C截面需校核截面需校核 （4 4）强度校核）强度校核 F Fa a F Fb b 29 分析分析: : （1 1）确定危险截面）确定危险截面 （3 3）计算）计算 max M （4 4）计算）计算 ，选择工，选择工 字钢型号字钢型号 z W 某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电 葫芦自重葫芦自重 起重量起重量 跨度跨度 材料的许用应力材料的许用应力 试选择工字钢的型号。试选择工字钢的型号。MPa

14、,140 kN,7 . 6 1 F,kN50 2 Fm,5 . 9l z W M max max （2 2） 30 z W M max max 计算计算 336 6 3 max cm962m10962 10140 4 5 . 910)507 . 6( M Wz 解：解：（1 1）计算简图）计算简图 （2）绘弯矩图）绘弯矩图 （3）根据）根据 （4 4）选择工字钢型号）选择工字钢型号, , 36c工字钢工字钢 3 cm962 z W 31 cctt max,max, , 分析：分析：非对称截面，要寻找中性轴位置 作弯矩图，寻找需要校核的截面 要同时满足 T型截面铸铁梁，型截面铸铁梁， 截面截面

15、尺寸如图示。试校核梁的强度。尺寸如图示。试校核梁的强度。 MPa,60,MPa30 ct 32 mm52 201202080 8020120102080 c y （2）求截面对中性轴z的惯性矩 46 2 3 2 3 m1064. 7 2812020 12 12020 422080 12 2080 z I z1 y z 52 解：解：（1）求截面形心 33 （5 5）C截面要不要校核？截面要不要校核？ t t MPa8 .28 Pa108 .28 1064. 7 1088105 . 2 6 6 33 max, （3 3）作弯矩图）作弯矩图 （4 4）B截面校核截面校核 tt MPa2 .27 m

16、ax, cc MPa1 .46 max, kN.m5 .2 kN.m4 A1 A2 A3 A4 34 dx 8-3梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力梁的切应力强度条件梁的切应力强度条件 . 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力 (1) 矩形截面梁矩形截面梁 从发生横力弯曲的梁中取出长为dx的微段，如图所示。 h b z y O 35 由于mm和nn上的弯矩不相等，故两截面上对应 点处的弯曲正应力1和2不相等。因此，从微段中用距离 中性层为y且平行于它的纵截面AA1B1B假想地截出的体积 元素mB1(图a及图b)，其两个端面mmA1A上与正应力对应 的法向内力F*N1和F*N1也不相等。 36

17、 * 1 1 1 * 1N * * d dd z z A z A z A S I M Ay I M A I My AF * 1 12 * N2 d d d d )d( d * * z z A z A z A S I MM Ay I MM Ay I MM AF 它们分别为 式中， 为面积A*(图b)对中性轴z的静矩； A*为 横截面上距中性轴z为y的横线AA1和BB1以外部分的面积 (图b中的阴影线部分)。 * d 1 * A z AyS 37 0 x F * N1 * N2S dFFF * S d d z z S I M F 即 由于 ，故纵截面AA1B1B上有切向内力dFS(图b)： * 1

18、N * 2N FF 38 为确定离中性轴z为y的这个纵截面上与切向内力dFS对 应的切应力，先分析横截面与该纵截面的交线AA1处横截 面上切应力的情况： 39 1. 由于梁的侧面为自由表面(图a和图b中的面mABn为 梁的侧表面的一部分)，其上无切应力，故根据切应力互等 定理可知，横截面上侧边处的切应力必与侧边平行； 2. 对称弯曲时，对称轴y处的切应力必沿y轴方向，亦 即与侧边平行。 40 从而对于狭长矩形截面可以假设： 1. 横截面上各点处的切应力均与侧边平行； 2. 横截面上距中性轴等远处的切应力大小相等。 z y y 41 xbFdd S 于是根据切应力互等定理可知，距中性层为y的纵截

19、 面AA1B1B上在与横截面的交线AA1处各点的切应力均与 横截面正交，且大小相等。至于在dx长度内可以认为没 有变化。这也就是认为，纵截面AA1B1B上的切应力 在 该纵截面范围内是没有变化的。于是有 42 以上式代入前 已得出的式子 * S d d z z S I M F bI SF z z * S xbFdd S bI SF bI S x M z z z z * S * d d 得 根据切应力互等定理可知，梁的横截面上距中性轴z 的距离为y处的切应力必与互等，从而亦有 43 bI SF z z * S 矩形截面梁横力弯曲时切应力计算公式矩形截面梁横力弯曲时切应力计算公式 z y y y1

20、 Ad 式中，FS为横截面上的剪力；Iz 为整个横 截面对于中性轴的惯性矩；b为矩形截面 的宽度(与剪力FS垂直的截面尺寸)；Sz* 为横截面上求切应力的点处横线以外部 分面积对中性轴的静矩， 。 * d 1 * A z AyS 上式就是矩形截面等直梁在对称弯曲时横截面上任一点处 切应力的计算公式。 44 横截面上切应力的变化规律横截面上切应力的变化规律 前已讲到，等直的矩形截面梁横力弯曲时，在对称弯 曲情况下距中性轴等远处各点处的切应力大小相等。现在 分析横截面上切应力在与中性轴垂直方向的变化规律。 上述切应力计算公式中，FS在一定的横截面上为一定 的量，Iz和b也是一定的，可见沿截面高度(

21、即随坐标y)的 变化情况系由部分面积的静矩Sz*与坐标y之间的关系确定。 bI SF z z * S 45 2 2 2 111 * 42 dd * y hb ybyAyS A h y z 2 2 S 2 2 S 4242 y h I F y hb bI F zz b h dy1 y y z O y1 46 A F bh F bh hF I hF z 2 3 2 3 1288 SS 3 2 S 2 S max 可见： 1. 沿截面高度系按二次 抛物线规律变化； 2. 同一横截面上的最大切 应力max在中性轴处(y=0): 2 2 S 42 y h I F z 47 (2) 工字形截面梁工字形截面

22、梁 1. 腹板上的切应力 dI SF z z * S 2 2 * 222 2 2 222 y hd h b y y h dy hh bSz 其中 48 2. 在腹板与翼缘交界处： 在中性轴处： h b dI F z 2 S min 对于轧制的工字钢，上式中的 就是型钢表中给 出的比值 ，此值已把工字钢截面的翼缘厚度变化和圆 角等考虑在内。 * max, z z S I x x S I 2 S * max,S max 222 hd h b dI F dI SF z z z 49 3. 翼缘上的切应力 翼缘横截面上平行于剪力 FS的切应力在其上、下边缘处 为零(因为翼缘的上、下表面 无切应力)，可

23、见翼缘横截面 上其它各处平行于FS的切应力 不可能大，故不予考虑。分析 表明，工字形截面梁的腹板承 担了整个横截面上剪力FS的 90%以上。 50 但是，如果从长为dx的梁段中用 铅垂的纵截面在翼缘上截取如图所示 包含翼缘自由边在内的分离体就会发 现，由于横力弯曲情况下梁的相邻横 截面上的弯矩不相等，故所示分离体 前后两个同样大小的部分横截面上弯 曲正应力构成的合力 和 不相等， 因而铅垂的纵截面上必有由切应力1 构成的合力。 * N1 F * N2 F * N1 * N2S dFFF h dx A* 自由边 1 1 * 1N F * 2N F 51 根据 可得出xFdd 1S 从而由切应力互

24、等定理可 知，翼缘横截面上距自由边为h 处有平行于翼缘横截面边长的 切应力1，而且它是随h按线性 规律变化的。 h h h I F h I F I SF z zz z 2 22 S S * S 1 h dx A* 自由边 1 1 * 1N F * 2N F 52 思考题思考题: : 试通过分析说明，图a中所 示上、下翼缘左半部分和右半 部分横截面上与腹板横截面上 的切应力指向是正确的，即它 们构成了“切应力流”。 53 (3) 薄壁环形截面梁薄壁环形截面梁 薄壁环形截面梁在竖直平面内弯 曲时，其横截面上切应力的特征如 图a所示： 1. 由于r0，故认为切应力的 大小和方向沿壁厚无变化； 2.

25、由于梁的内、外壁上无切应力， 故根据切应力互等定理知，横截面 上切应力的方向与圆周相切；(a) 54 3. 根据与y轴的对称关系可知： (a) 横截面上与y轴相交的各点 处切应力为零； (b) y轴两侧各点处的切应力其 大小及指向均与y轴对称。 55 2 0 0 0 * 2 2 r r rSz 薄壁环形截面梁横截面上的最大切应力max在中性轴 z上，半个环形截面的面积A*=r0，其形心离中性轴的距 离(图b)为 ，故求max时有 2 0 r 56 3 0 2 00 2 p 22drrrAI A zyz AAAA III AzAyAzyAI 2 dddd 22222 p 及 3 0p 2 1 r

26、II z 得出： 整个环形截面对于中性轴z 的惯性矩Iz可利用整个截面对于 圆心O的极惯性矩得到，如下： 57 从而有 A F r F r rF I SF z zSS 0 S 3 0 2 0S * max 2 2 2 2 式中， A=2r0为整个环形截面的面积。 58 (4) 圆截面梁 圆截面梁在竖直平面内弯曲 时，其横截面上切应力的特征如 图a所示：认为离中性轴z为任意 距离y的水平直线kk上各点处的切 应力均汇交于k点和k点处切线的 交点O ，且这些切应力沿y方向的 分量y相等。 (a) 因此可先利用公式 求出kk上各点的切应力竖向分 量y ，然后求出各点处各自的切应力。 kkz z y

27、bI SF * S 59 A F d F d d dd F dI SF z z 3 4 4 3 4 64 3 2 4 2 1 S 2 S 4 2 S * S max 圆截面梁横截面上的最大 切应力max在中性轴z处，其计 算公式为 60 . 梁的切应力强度条件梁的切应力强度条件 图a所示受满布均布荷载 的简支梁，其最大弯矩所在跨 中截面上、下边缘上的C点和 D点处于单轴应力状态(state of uniaxial stress) (图d及图e)，故 根据这些点对该梁进行强度计 算时其强度条件就是按单轴应 力状态建立的正应力强度条件 max 61 该梁最大剪力所在两个支 座截面的中性轴上E和F点

28、，通 常略去约束力产生的挤压应力 而认为其处于纯剪切应力状态 (shearing state of stress ) (图f及 图g)，从而其切应力强度条件 是按纯剪切应力状态建立的， 即梁的切应力强度条件为 亦即 max bI SF z z * max,max,S 式中，为材料在横力弯曲时的许用切应力。 62 梁在荷载作用下，必须同时满足正应力强度条件和切 应力强度条件。在选择梁的截面尺寸时，通常先按正应力 强度条件定出截面尺寸，再按切应力强度条件校核。 63 图a所示梁，其既有剪 力又有弯矩的横截面m-m 上任意点G和H处于如图h 及图i所示的平面应力状态 (state of plane

29、stress)。 64 需要指出，对于工字钢梁如果同一横截面上的弯矩和剪力 都是最大的(图a,b,c)(或分别接近各自的最大值) 则该截面上腹 板与翼缘交界点处由于正应力和切应力均相当大 (图d)，因此 处于平面应力状态(图e)。这样的点必须进行强度校核。 65 此外，在最大弯矩所在横截面上还有剪力的情况，工字 钢翼缘上存在平行于翼缘横截面边长的切应力，因此最大弯 曲正应力所在点处也还有切应力，这些点事实上处于平面应 力状态，只是在工程计算中对于它们通常仍应用按单轴应力 状态建立的强度条件。 66 例题例题4- -22 一简易吊车的示意图如图a所示，起重量 P=30 kN，跨长 l=5 m。吊

30、车大梁由20a号工字钢制成，许 用弯曲正应力=170 MPa，许用切应力=100 MPa。试 校核梁的强度。 P 67 解：解：吊车梁可简化为简支梁(图b)。 (c) (b) P (b) P 校核正应力强度 荷载移至跨中处(图b)时梁的横截面上的最 大弯矩比荷载在任何其它位置都要大。荷载在此最不利荷载 位置时的弯矩图如图c所示，mkN5 .37 4 max Pl M 68 由型钢规格表查得20a号工字钢的弯曲截面系数 为 。荷载在对应于弯矩的最不利荷载位置 时的最大弯曲正应力为 3 cm237 z W MPa158Pa10158 m10237 mN105 .37 6 36 3 max max z W M 其值小于许用弯曲正应力=170 MPa。 (c) 69 如果把吊车梁的自重 考虑在 内，则 m kN 273. 0 m kg 9 .27q mkN35.38mkN85. 0mkN5 .37 84 2 max qlPl M 而max=162 MPa，即仍满足正应力强度条件。 70 mm7 ,cm2 .17 * max, d S I z z 校核切应力强度。 荷载移至紧靠支座A处(如图)时梁