实验十二 探究单摆的运动、用单摆测重力加速度

1、实验十二 探究单摆的运动、用单摆测重力加速度 【实验目的【实验目的】 1.1.探究影响单摆运动周期的因素。探究影响单摆运动周期的因素。 2.2.能正确熟练地使用秒表和游标卡尺。能正确熟练地使用秒表和游标卡尺。 3.3.学会用单摆测定当地的重力加速度。学会用单摆测定当地的重力加速度。 【实验原理【实验原理】 1.1.用控制变量法测量在摆角、摆球质量和摆长分别不同的情况用控制变量法测量在摆角、摆球质量和摆长分别不同的情况 下单摆的周期。下单摆的周期。 2.2.单摆在摆角小于单摆在摆角小于5 5时的振动是简谐运动，其固有周期为时的振动是简谐运动，其固有周期为 由此可得由此可得 因此测出摆长因此测出摆

2、长l和周期和周期T T，即可计，即可计 算出当地的重力加速度值。算出当地的重力加速度值。 T2 g ， l 2 2 4 g T ， l 【实验器材【实验器材】 铁架台（带铁夹），中心有孔质量不同的金属小球三个，约铁架台（带铁夹），中心有孔质量不同的金属小球三个，约1 m1 m 长的细线三根，米尺一把，游标卡尺，秒表等。长的细线三根，米尺一把，游标卡尺，秒表等。 【实验过程【实验过程】 一、探究单摆的振动周期一、探究单摆的振动周期 （一）探究过程（一）探究过程 1.1.研究研究T T和和A A的关系，可先令的关系，可先令m m、l、g g保持不变，改变振幅保持不变，改变振幅A A的值。的值。 （

3、1 1）取摆长、摆球质量均相同的两单摆（展示单摆，单摆已）取摆长、摆球质量均相同的两单摆（展示单摆，单摆已 固定在铁架台上），装置如图甲。固定在铁架台上），装置如图甲。 （2 2）将两摆拉到不同高度同时释放（摆角不能太大）。）将两摆拉到不同高度同时释放（摆角不能太大）。 （3 3）观察现象：两摆球同步振动。）观察现象：两摆球同步振动。 2.2.研究研究T T和和m m的关系，可令的关系，可令A A、l、g g不变，改变摆球的质量不变，改变摆球的质量m m。 （1 1）取摆长相同、摆球质量不同的两单摆，装置如图乙。）取摆长相同、摆球质量不同的两单摆，装置如图乙。 （2 2）在摆角很小的情况下将两

4、摆拉到相同的高度同时释放。）在摆角很小的情况下将两摆拉到相同的高度同时释放。 （3 3）观察现象：两摆球振动同步。）观察现象：两摆球振动同步。 3.3.研究研究T T和和l的关系，可令的关系，可令A A、m m、g g不变，改变不变，改变l的值。的值。 （1 1）取摆球质量相同、摆长不同的两单摆（展示单摆），装）取摆球质量相同、摆长不同的两单摆（展示单摆），装 置如图丙。置如图丙。 （2 2）将两摆拉到相同的高度同时释放。）将两摆拉到相同的高度同时释放。 （3 3）观察现象：两摆球振动不同步，且摆长越长，振动越慢。）观察现象：两摆球振动不同步，且摆长越长，振动越慢。 （二）分析与结论（二）分析

5、与结论 1.1.研究研究T T和和A A的关系时观察到两摆摆角不同即振幅不同，两摆球的关系时观察到两摆摆角不同即振幅不同，两摆球 振动同步，说明单摆的振动周期与振幅无关。振动同步，说明单摆的振动周期与振幅无关。 2.2.研究研究T T和和m m的关系时观察到两摆振动同步，说明单摆的振动周的关系时观察到两摆振动同步，说明单摆的振动周 期与摆球的质量无关。期与摆球的质量无关。 3.3.研究研究T T和和l的关系结论：单摆的振动周期与摆长有关，且摆长的关系结论：单摆的振动周期与摆长有关，且摆长 越长时周期越长。越长时周期越长。 二、用单摆测重力加速度二、用单摆测重力加速度 （一）实验步骤（一）实验步

6、骤 1.1.做单摆：选取一段长做单摆：选取一段长1 m1 m左右的细线，让细左右的细线，让细 线的一端穿过小球上的小孔，然后打一个比线的一端穿过小球上的小孔，然后打一个比 小孔稍大一些的线结。把线的上端用铁夹固小孔稍大一些的线结。把线的上端用铁夹固 定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使 铁夹伸出桌面之外，让摆球自由下垂，在单铁夹伸出桌面之外，让摆球自由下垂，在单 摆平衡位置处做上标记，如图所示。摆平衡位置处做上标记，如图所示。 2.2.测摆长：用米尺量出悬线长测摆长：用米尺量出悬线长l，精确到毫米；用游标卡尺，精确到毫米；用游标卡尺 测量摆球的直径测量摆

7、球的直径d d，也精确到毫米。，也精确到毫米。l+ + 就是单摆的摆长。就是单摆的摆长。 d 2 3.3.测周期：把此单摆从平衡位置拉开一个角度，并使这个角度测周期：把此单摆从平衡位置拉开一个角度，并使这个角度 不大于不大于5 5，然后释放小球。当摆球摆动稳定后过平衡位置时，然后释放小球。当摆球摆动稳定后过平衡位置时 按下秒表开始计时，测量单摆全振动按下秒表开始计时，测量单摆全振动3030次（或次（或5050次）的时间，次）的时间， 求出一次全振动的时间，即单摆的振动周期。反复测量三次，求出一次全振动的时间，即单摆的振动周期。反复测量三次， 计算出测得的周期的平均值。计算出测得的周期的平均值。

8、 4.4.改变摆长，重做几次实验。改变摆长，重做几次实验。 （二）数据处理（二）数据处理 1.1.公式法公式法 利用三次测得的单摆周期的平均值及对应摆长，借助公式利用三次测得的单摆周期的平均值及对应摆长，借助公式 算出对应的重力加速度算出对应的重力加速度g g，然后求出几次实验测出的，然后求出几次实验测出的g g 的平均值。的平均值。 2 2 4 g T l 2.2.图像法图像法 由单摆的周期公式由单摆的周期公式 得得 因此以摆长因此以摆长l为纵轴，以为纵轴，以T T2 2为为 横轴作出横轴作出l-T-T2 2的图像，是一条通过原点的图像，是一条通过原点 的直线，如图所示，求出图线的斜率的直线

9、，如图所示，求出图线的斜率k k， 即可求得即可求得g g值。值。 T2 g l 2 2 g T 4 ，l 2 22 g4kk TT ， 。 ll 【误差分析【误差分析】 1.1.系统误差系统误差 主要来自于单摆模型本身是否符合要求，即悬点是否固定，摆主要来自于单摆模型本身是否符合要求，即悬点是否固定，摆 球和摆长是否符合要求，最大摆角是否不超过球和摆长是否符合要求，最大摆角是否不超过1010，是否在同，是否在同 一竖直平面内摆动等。一竖直平面内摆动等。 2.2.偶然误差偶然误差 （1 1）主要来自于时间测量，测量时间时要求从摆球通过平衡）主要来自于时间测量，测量时间时要求从摆球通过平衡 位置

10、开始计时，在记次数时不能漏记或多记。同时应多次测量，位置开始计时，在记次数时不能漏记或多记。同时应多次测量， 再对多次测量结果求平均值。再对多次测量结果求平均值。 (2)(2)测长度和摆球直径时，读数也容易产生误差。秒表读数读测长度和摆球直径时，读数也容易产生误差。秒表读数读 到秒的十分位即可。到秒的十分位即可。 【注意事项【注意事项】 1.1.选择细线时应选择细、轻而且不易伸长，长度约选择细线时应选择细、轻而且不易伸长，长度约1 1米左右的米左右的 细线，小球应选密度较大、半径较小的金属球。细线，小球应选密度较大、半径较小的金属球。 2.2.单摆摆线的上端应夹紧，不能卷在铁夹的杆上，以免造成

11、悬单摆摆线的上端应夹紧，不能卷在铁夹的杆上，以免造成悬 点不固定，摆长变化的现象。点不固定，摆长变化的现象。 3 3测量摆长时应注意是悬点到球心的距离，等于摆线长加上测量摆长时应注意是悬点到球心的距离，等于摆线长加上 小球半径。注意摆线长与摆长的区别。小球半径。注意摆线长与摆长的区别。 4 4要使单摆在竖直平面内摆动，不要形成圆锥摆。要使单摆在竖直平面内摆动，不要形成圆锥摆。 5 5要注意控制摆球的最大摆角不超过要注意控制摆球的最大摆角不超过1010。 6 6计算单摆的振动次数时，应从小球通过最低位置时开始计计算单摆的振动次数时，应从小球通过最低位置时开始计 时，同方向再次通过最低位置时，计数

12、为时，同方向再次通过最低位置时，计数为1 1、22 7 7改变悬线长度多次测量，最后求出改变悬线长度多次测量，最后求出g g的平均值。的平均值。 【实验改进【实验改进】 在用单摆测量重力加速度时，若所用的摆球质量分布不均匀，在用单摆测量重力加速度时，若所用的摆球质量分布不均匀， 不能用摆线长加球半径得到单摆的摆长。我们采用如下方法解不能用摆线长加球半径得到单摆的摆长。我们采用如下方法解 决这个问题：决这个问题： 先量得从悬点到摆球顶部处的摆线长为先量得从悬点到摆球顶部处的摆线长为L L1 1，测得振动的周期为，测得振动的周期为 T T1 1；改变摆长后，量得从悬点到摆球顶部处的摆线长为；改变摆

13、长后，量得从悬点到摆球顶部处的摆线长为L L2 2，测，测 得振动的周期为得振动的周期为T T2 2；则；则 由由两式可求得当地的重力加速度两式可求得当地的重力加速度 1 1 Lr T2 g 2 2 Lr T2 g 2 21 22 21 LL g4 TT 。 热点热点 1 1 基本实验仪器使用与实验过程理解基本实验仪器使用与实验过程理解 【典例【典例1 1】(2013(2013安徽高考改编安徽高考改编) )根据单摆周期公式根据单摆周期公式 可以通过实验测量当地的重力加速度。如图甲所示，将细线的可以通过实验测量当地的重力加速度。如图甲所示，将细线的 上端固定在铁架台上，下端系一小钢球，就做成了单

14、摆。上端固定在铁架台上，下端系一小钢球，就做成了单摆。 T2 g ， l (1)(1)用游标卡尺测量小钢球直径用游标卡尺测量小钢球直径, ,示数如图乙所示示数如图乙所示, ,读数为读数为 mmmm。 (2)(2)以下是实验过程中的一些做法以下是实验过程中的一些做法, ,其中不正确的有其中不正确的有。 a.a.摆线要选择细些的、伸缩性小些的摆线要选择细些的、伸缩性小些的, ,并且尽可能长一些并且尽可能长一些 b.b.摆球尽量选择质量大些、体积小些的摆球尽量选择质量大些、体积小些的 c.c.为了使摆的周期大一些为了使摆的周期大一些, ,以方便测量以方便测量, ,开始时拉开摆球开始时拉开摆球, ,使

15、摆使摆 线相距平衡位置有较大的角度线相距平衡位置有较大的角度 d.d.拉开摆球拉开摆球, ,使摆线偏离平衡位置不大于使摆线偏离平衡位置不大于5 5, ,释放摆球释放摆球, ,当摆球当摆球 振动稳定后振动稳定后, ,从平衡位置开始计时从平衡位置开始计时, ,记下摆球做记下摆球做5050次全振动所用次全振动所用 的时间的时间tt, ,则单摆周期则单摆周期T=T= t 50 【标准解答【标准解答】(1)(18+6(1)(18+60.1) mm=18.6 mm0.1) mm=18.6 mm。 (2)(2)摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且尽可能长一些，摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且尽可能长一些

16、， 摆球尽量选择质量大些、体积小些的，都是为了更加符合单摆摆球尽量选择质量大些、体积小些的，都是为了更加符合单摆 的构成条件，故的构成条件，故a a、b b是正确的；摆线相距平衡位置的角度，以是正确的；摆线相距平衡位置的角度，以 不大于不大于5 5为宜，故为宜，故c c是错误的；拉开摆球，使摆线偏离平衡位是错误的；拉开摆球，使摆线偏离平衡位 置不大于置不大于5 5，释放摆球，当摆球振动稳定后，从平衡位置开，释放摆球，当摆球振动稳定后，从平衡位置开 始计时，记下摆球做始计时，记下摆球做5050次全振动所用的时间次全振动所用的时间tt，则单摆周期，则单摆周期 故故d d对。对。 答案：答案：(1)

17、18.6 (2)c(1)18.6 (2)c t T 50 ， 热点热点 2 2 实验数据的处理实验数据的处理 【典例【典例2 2】(2014(2014漳州模拟漳州模拟) )某同学在某同学在“利用单摆测重力加速利用单摆测重力加速 度度”实验中实验中: : (1)(1)为使周期测量精确为使周期测量精确, ,计时起点应从摆球经过计时起点应从摆球经过开开 始。始。 (2)(2)某同学在计时时某同学在计时时, ,错将摆球完成错将摆球完成3030次全振动记为次全振动记为3131次次, ,则他则他 测出的重力加速度值比真实值测出的重力加速度值比真实值( (选填选填“偏大偏大”或或 “偏小偏小”) )。 (3

18、)(3)为了提高实验精度为了提高实验精度, ,在实验中可改变几次摆长在实验中可改变几次摆长L,L,并测出相应并测出相应 的周期的周期T,T,从而得出一组对应的从而得出一组对应的L L与与T T的数据的数据, ,再以再以L L为横坐标为横坐标,T,T2 2 为纵坐标将所得数据连成直线为纵坐标将所得数据连成直线, ,并求得该直线的斜率为并求得该直线的斜率为k,k,如图如图 所示所示, ,则重力加速度则重力加速度g=g=( (用用k k表示表示) )。 【标准解答【标准解答】(1)(1)摆球在平衡位置速度大，经过平衡位置时间摆球在平衡位置速度大，经过平衡位置时间 短，计时准确，使周期测量精确。短，计

19、时准确，使周期测量精确。 (2)(2)设秒表计时的时间为设秒表计时的时间为t t，则，则 则则T T测 测 T T真 真， ， 据据 可知测出的重力加速度值比真实值偏大。可知测出的重力加速度值比真实值偏大。 (3)(3)由由 得得 即即 答案答案: :(1)(1)平衡位置平衡位置 (2)(2)偏大偏大 (3) (3) tt TT 3130 测真 ， 2 2 4L g T 2 2 4L g T 22 T4 k Lg ， 2 4 g k 。 2 4 k 1.1.在在“用单摆测定重力加速度用单摆测定重力加速度”的实验中：的实验中： （1 1）用二十分度的游标卡尺测）用二十分度的游标卡尺测 量摆球直径

20、的结果如图所示。量摆球直径的结果如图所示。 则小球的直径为则小球的直径为_mm_mm。 （2 2）为了减小测量周期的误差，摆球应在经过最）为了减小测量周期的误差，摆球应在经过最_ （选填（选填“高高”或或“低低”）点的位置时开始计时，并用秒表测量）点的位置时开始计时，并用秒表测量 单摆完成多次全振动所用的时间求出周期。单摆完成多次全振动所用的时间求出周期。 （3 3）若用）若用L L表示摆长，单摆完成表示摆长，单摆完成3030次全振动所用时间为次全振动所用时间为t t，那，那 么重力加速度的表达式为么重力加速度的表达式为g=_g=_。 【解析【解析】（1 1）游标卡尺读数方法：主尺读数对齐格数

21、）游标卡尺读数方法：主尺读数对齐格数精精 确度确度=17 mm=17 mm3 30.05 mm0.05 mm17.15 mm17.15 mm。 （2 2）摆球在最低点速度大，且在最低点做上标记，计时更准）摆球在最低点速度大，且在最低点做上标记，计时更准 确，因此计时起终点都应在摆球的最低点。确，因此计时起终点都应在摆球的最低点。 （3 3）将单摆的周期）将单摆的周期 答案：答案：(1)17.15 (2)(1)17.15 (2)低低 (3)(3) 22 22 t4L3 600 TggL 30Tt 代入得。 2 2 3 600 L t 2.2.在做在做“利用单摆测重力加速度利用单摆测重力加速度”实

22、验中，某同学先测得摆线实验中，某同学先测得摆线 长为长为89.2 cm,89.2 cm,摆球直径为摆球直径为2.06 cm,2.06 cm,然后用秒表记录了单摆振动然后用秒表记录了单摆振动 3030次全振动所用的时间如图甲中秒表所示，则次全振动所用的时间如图甲中秒表所示，则: : (1)(1)该单摆的摆长为该单摆的摆长为_cm,_cm,秒表所示读数为秒表所示读数为_s_s。 (2)(2)为了提高实验精度，在实验中可改变几次摆长为了提高实验精度，在实验中可改变几次摆长l, ,测出相应测出相应 的周期的周期T,T,从而得出一组对应的从而得出一组对应的l与与T T的数值，再以的数值，再以l为横坐标为

23、横坐标T T2 2为为 纵坐标，将所得数据连成直线如图乙所示，则测得的重力加速纵坐标，将所得数据连成直线如图乙所示，则测得的重力加速 度度g=_g=_。 (3)(3)现提供秒表、较长的细线、小铁球等器材，要求测出一棵现提供秒表、较长的细线、小铁球等器材，要求测出一棵 大树树干的直径大树树干的直径d d。请你设计一个能实际操作的实验，简要写。请你设计一个能实际操作的实验，简要写 出实验方案，并写出测得直径的表达式（要注明式子中所用符出实验方案，并写出测得直径的表达式（要注明式子中所用符 号的含义）。号的含义）。 【解析【解析】(1)(1)单摆的摆长单摆的摆长l= =l+ =90.23 cm,+

24、=90.23 cm,秒表所示读数为秒表所示读数为 57.0 s57.0 s。 (2)(2)由图像斜率由图像斜率 得得 (3)(3)可取细线长度等于树干周长制作一个单摆，用秒表测出单可取细线长度等于树干周长制作一个单摆，用秒表测出单 摆振动摆振动n n次的时间次的时间t,t,则利用单摆周期公式可得树干直径则利用单摆周期公式可得树干直径 答案答案: :(1)90.23 57.0 (2)9.86 m/s(1)90.23 57.0 (2)9.86 m/s2 2 (3) (3)见解析见解析 d 2 22 2 T4 k4 s / m, g l 2 2 4 g9.86 m/s k 。 2 23 gt d 4

25、n 。 3.3.在在“用单摆测定重力加速度用单摆测定重力加速度”的实验中，的实验中， （1 1）测量单摆的周期时，某同学在摆球某次通过最低点时，）测量单摆的周期时，某同学在摆球某次通过最低点时， 按下停表开始计时，同时数按下停表开始计时，同时数“1”1”，当摆球第二次通过最低点，当摆球第二次通过最低点 时数时数“2”2”，依此法往下数，当他数到，依此法往下数，当他数到“59”59”时，按表停止计时，按表停止计 时，读出这段时间时，读出这段时间t t，则该单摆的周期为，则该单摆的周期为( )( ) tttt A.B.C.D. 2929.53059 （2 2）在该实验中，如果摆球质量分布不均匀，于

26、是某同学设）在该实验中，如果摆球质量分布不均匀，于是某同学设 计了下面一种计算方法：第一次测量悬线长为计了下面一种计算方法：第一次测量悬线长为L L1 1，测得周期为，测得周期为 T T1 1；第二次测量悬线长为；第二次测量悬线长为L L2 2，测得周期为，测得周期为T T2 2，由此可推算出重，由此可推算出重 力加速度力加速度g=_g=_。 【解析【解析】（1 1）5858个二分之一周期即为时间个二分之一周期即为时间t t含有含有2929个周期，该个周期，该 单摆的周期为单摆的周期为 ，A A对。对。 t 29 （2 2）设摆球重心距离系点为）设摆球重心距离系点为d d，第一次测量时摆长为，

27、第一次测量时摆长为L L1 1+d+d，由，由 单摆的周期公式得单摆的周期公式得 第二次测量时摆长为第二次测量时摆长为L L2 2+d+d， 同理有同理有 联立解得联立解得 答案答案: :（1 1）A A （2 2） 1 1 Ld T2 g ， 2 2 Ld T2 g ， 2 21 22 21 4LL g TT 。 2 21 22 21 4LL TT 4.4.某实验小组在利用单摆测定当地重力加速度的实验中：某实验小组在利用单摆测定当地重力加速度的实验中： （1 1）用游标卡尺测定摆球的直径，测量结果如图所示，则该）用游标卡尺测定摆球的直径，测量结果如图所示，则该 摆球的直径为摆球的直径为_ c

28、m_ cm。 （2 2）小组成员在实验过程中有如下说法，其中正确的是）小组成员在实验过程中有如下说法，其中正确的是_ _。（选填选项前的字母）。（选填选项前的字母） A.A.把单摆从平衡位置拉开把单摆从平衡位置拉开3030的摆角，并在释放摆球的同时开的摆角，并在释放摆球的同时开 始计时始计时 B.B.测量摆球通过最低点测量摆球通过最低点100100次的时间次的时间t t，则单摆周期为，则单摆周期为 C.C.用悬线的长度加摆球的直径作为摆长，代入单摆周期公式计用悬线的长度加摆球的直径作为摆长，代入单摆周期公式计 算得到的重力加速度值偏大算得到的重力加速度值偏大 D.D.选择密度较小的摆球，测得的

29、重力加速度值误差较小选择密度较小的摆球，测得的重力加速度值误差较小 t 100 【解析【解析】（1 1）游标卡尺读数）游标卡尺读数= =主尺主尺+ +游标游标=0.9 cm+7=0.9 cm+70.01 cm0.01 cm =0.97 cm=0.97 cm。 （2 2）要使摆球做简谐运动，摆角应小于）要使摆球做简谐运动，摆角应小于1010，应选择密度较，应选择密度较 大的摆球，阻力的影响较小，测得重力加速度误差较小，大的摆球，阻力的影响较小，测得重力加速度误差较小，A A、D D 错；摆球通过最低点错；摆球通过最低点100100次，完成次，完成5050次全振动，周期是次全振动，周期是 B B 错；摆长应是错；摆长应是 若用悬线的长度加直径，则测出的重力加若用悬线的长度加直径，则测出的重力加 速度值偏大。速度值偏大。 答案：答案：（1 1）0.97 0.97 （2 2）C C t 50， d L 2 ， 5.(20125.(2012上海高考上海高考) )在在“利用单摆测重力加速度利用单摆测重力加速度” 的实验中的实验中: : (1)(1)某同学尝试用某同学尝试用DISDIS测量周期。如图测量周期。如图,