材料力学B第5章弯曲应力

1、第五章 弯曲应力 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学 在纵向对称面内受一对大小相等、方向相反的力偶作用的梁段称在纵向对称面内受一对大小相等、方向相反的力偶作用的梁段称 为处于为处于纯弯曲纯弯曲状态。状态。 可以看出可以看出, , 纯弯曲状态下任意横截面上的内力都等于该力偶纯弯曲状态下任意横截面上的内力都等于该力偶. . 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学 纯弯曲纯弯曲 只在常值弯矩作用下的梁段. 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学 横力弯曲横力弯曲 剪力和弯矩同时存在的梁段. 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学 观察变形现象观察变形现象 1.横向线仍保持直线. 2.纵向线弯曲为

2、曲线. 3.纵向线仍与横向线相 正交. 4.底部纵线伸长，顶部纵 线缩短. 5.纵线间距离保持不变. 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学 1) 平面假设平面假设 对于纯弯曲，各横截面变形后仍然保持为平面，且仍与对于纯弯曲，各横截面变形后仍然保持为平面，且仍与 梁轴正交，只是横截面间做相对转动。梁轴正交，只是横截面间做相对转动。 变形假设变形假设 2) 单向受力假设单向受力假设 各纵向线只在其直线方向受力作用，各纵向线之间无各纵向线只在其直线方向受力作用，各纵向线之间无 挤压或拉伸作用。挤压或拉伸作用。 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学 推论推论 1.横截面上只存在正应力横截面上只存在

3、正应力. (纵向线与横向线保持直角纵向线与横向线保持直角.) 2.正应力分布不是均匀的正应力分布不是均匀的. (纵向线中既有伸长也有缩短的纵向线中既有伸长也有缩短的.) 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学 中性层和中性轴中性层和中性轴 如图所示，当梁弯曲时，底部各纵向纤维伸长，顶部各纵向纤如图所示，当梁弯曲时，底部各纵向纤维伸长，顶部各纵向纤 维缩短。底部拉伸且顶部压缩，梁的底部和顶部之间必有一个维缩短。底部拉伸且顶部压缩，梁的底部和顶部之间必有一个 平面，其上各纵向纤维长度不变化，该平面被称为梁的平面，其上各纵向纤维长度不变化，该平面被称为梁的中性层中性层， 中性层与各横截面的交线成为中

4、性层与各横截面的交线成为中性轴中性轴。 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学 x y dq q q qqyy d dd)( 1 x G HOOG HGH GH OO1 变形前 ab cd GH OO1 H O1 ab cd G O x y 变形后 中性层中性层曲率半径曲率半径，与弯矩、截面几何性质及材料力学，与弯矩、截面几何性质及材料力学 性质有关。性质有关。 y距中性层的距离。距中性层的距离。 1 变形几何关系变形几何关系 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学 2 物理关系物理关系 xx Ey E x x x y MM (y) x y M M (y) x y MM (y) x y MM

5、(y) 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学 正应力的分布规律正应力的分布规律 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学 3 静力等效关系静力等效关系 0ddd z x AAA ESEyE FAAy A 0 z S 这表明：这表明：中性轴必定通过截面形心中性轴必定通过截面形心. y z A z AySd 横截面对中性轴的横截面对中性轴的静矩静矩（或面积矩）（或面积矩）. 0 E 由于 ，则必有 0 d A S A Ay y zA C 则 两个问题：两个问题：中性层位置？曲率半径中性层位置？曲率半径 =？ 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学 静力等效关系静力等效关系 () 0 d dd y

6、A yz AA MA z EI EyzE Ayz A 0 yz I 横截面上无侧弯矩！横截面上无侧弯矩！ y z 由于由于y轴是对称轴，则必有轴是对称轴，则必有 横截面对横截面对y轴、轴、z轴的轴的惯性积惯性积。 A yz AyzId 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学 静力等效关系静力等效关系 2 2 ()dd d z AA z A Ey MA yA EIE yAM z z EI M 1 EIz 截面抗弯刚度截面抗弯刚度 AyI A z d 2 截面对截面对Z Z轴的轴的惯性矩惯性矩 y z 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学 max max / zz MM IyW xx Ey E

7、x y z z EI M 1 联立方程联立方程 最后可得最后可得 x z My I 称为称为抗弯截面模量抗弯截面模量 max z z I W y y z 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学 弯曲正应力的分布弯曲正应力的分布 maxmax max max z z M y I max max z z M y I y z y z 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学 y z b h 3 2 12 6 22 z z bh Ibh W hh 3 2 12 6 22 y y hb I hb W bb 4 3 64 32 22 yz d Id WWW dd z y d 抗弯截面模量抗弯截面模量 第五章

8、第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学 D d y z zc yc C h1h b b1 )1 ( 6 3 3 11 2 max bh hbbh y I W z z )1 ( 6 3 3 11 2 max hb bhhb z I W y y D dD y I WWW z yz )1 ( 32 4 3 max 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学 纯弯曲纯弯曲 梁的受力段受剪力和弯 矩同时作用，弯矩是横 截面在梁轴上的位置函 数。 梁的纯弯曲段只受弯矩 的作用，并且各横截面 上弯矩相等。 横力弯曲横力弯曲 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学 这里，弯矩这里，弯矩M是截面位置是截面位置x的函数的函

9、数。 max max ( )( ) / zz M xM x IyW x z M x y I （ ） 对于足够长的等截面直梁，横力弯曲时横截面对于足够长的等截面直梁，横力弯曲时横截面 上的正应力仍可按纯弯曲的正应力公式计算。上的正应力仍可按纯弯曲的正应力公式计算。 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学 z I yM maxmax max 解决三类问题解决三类问题 (1) 校核强度校核强度 (2) 设计截面尺寸设计截面尺寸 (3) 计算许用载荷计算许用载荷 max max z M W z M W max z MW z W M max max或或 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学 q=50k

10、N/m A B 2m 1m 例例 5-1 T形截面梁受力及几何尺寸如图所示，已知截面对中性形截面梁受力及几何尺寸如图所示，已知截面对中性 轴的惯性矩轴的惯性矩Iz=2610cm4,（1）试求梁上的最大拉应力和最大压）试求梁上的最大拉应力和最大压 应力，并指明产生于何处。（应力，并指明产生于何处。（2）若）若=160MPa，校核此梁的校核此梁的 强度。强度。 c y z y1=142mm y2=48mm RBRA (1) 求支反力求支反力 kN5 .37 A RkN5 .112 B R 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学 q=50kN/m A B 2m 1m RARB (2) 画弯矩图画弯矩

11、图 kN5 .37 A RkN5 .112 B R x1 37.5 62.5 50 14.1 25 m75. 0 1 x mkN1 .14 C M mkN25 B M 极值点弯矩：极值点弯矩： C点：点： B点：点： mkN25 max B MM 最大弯矩：最大弯矩： FQ M (kN) (kN.m) CB C B 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学 14.1 25 M (kN.m) C B c y z y1=142mm y2=48mm z I yM maxmax max C截面截面 B截面截面 最大拉应力可能发生在最大拉应力可能发生在C截面的下边缘或截面的下边缘或B截面的上边缘截面的上边

12、缘 MPa7 .76 102610 142101 .14 4 6 1 max z C I yM C MPa0 .46 102610 481025 4 6 2 max z B I yM B 故最大拉应力为故最大拉应力为 ， 发生在发生在C截面的下边缘截面的下边缘MPa7 .76 max C (3) 求最大应力求最大应力 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学 14.1 25 M (kN.m) C B c y z y1=142mm y2=48mm z I yM maxmax max C截面截面 B截面截面 最大压应力只可能发生在最大压应力只可能发生在B截面的下边缘截面的下边缘 136MPa 102

13、610 1421025 4 6 1 max z B I yM B (4) 强度校核强度校核 160MPaMPa7 .76 max C 160MPa136MPa max B 满足强度要求。满足强度要求。 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学 y x FQ+dFQ M M+dM FQ dx 1 x y z 2 2 t t1 1 t t b xdx 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学 y x FQ+dFQ M M+dM FQ dx 1 x y z 2 2 t t1 1 t t b xdx 211 ()0 NN XFFb dxt 11d d z N AA

14、zz MSM FAy A II 2 (d) z N z MMS F I 1 d d Qz z zz F S SM x bIbI t 因为因为 1 ( ) Q z F S y bI ttt ) 4 ( 2 ) 2 ( 2 2 2 2 y hb y h b y h AyS cz 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学 y x FQ+dFQ M M+dM FQ dx 1 x y z 2 2 t t1 1 t t b xdx 1 ( ) Q z F S y bI ttt ) 4 ( 2 ) 2 ( 2 2 2 2 y hb y h b y h AyS cz max 3 1.5 2 Q F A tt 2

15、 2 () 24 Q z F h y I t rec FQ 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学 A FQ max 2 3 t A 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学 同理 Q max f F A t 梁腹板面积. web Flange f A 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学 A A FQ max 3 4 t 同理 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学 需进行弯曲切应力强度条件校核的情况：需进行弯曲切应力强度条件校核的情况： max tt 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学 解解: 1) 画出内力图，确定可能的危险截画出内力图，确定可能的危险截 面面. max 3600 3

16、 5400 22 N Q qL F Nm4050 8 33600 8 22 max qL M q=3.6kN/m A L=3m x M 8 2 qL B x FQ 2 qL 2 qL 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学 q=3.6kN/m A L=3m B x FQ 2 qL 2 qL 2) 计算最大应力并校核强度. max 5400N Q F max 4050NmM 7MPa6.25MPa 18. 012. 0 405066 22 maxmax max bh M W M z max max 1.5 5400 1.5 0.12 0.18 MPaMPa 0.3750.9 Q F A t t

17、梁是安全的. x M 8 2 qL 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学 q=3.6kN/m A L=3m B 3) 计算 max/max 的比率. max 5400N Q F max 4050NmM max 6.25MPa= max 0.375MPa=t maxmax max 2 16.7 3 zQ MAL WFh t x FQ 2 qL 2 qL x M 8 2 qL 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学 对弯曲梁的强度起主要影响的是正应力对弯曲梁的强度起主要影响的是正应力. 梁的弯曲正应力强度条件梁的弯曲正应力强度条件 max max z M W 因此提高弯曲梁强度的措施应是减小弯矩

18、因此提高弯曲梁强度的措施应是减小弯矩M和提高和提高 抗弯截面模量抗弯截面模量Wz 。 maxmaxmax 1 z Mand W 显然显然 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学 F/2 l/2 F/2 l/4l/4 1. 载荷及支座的合理配置载荷及支座的合理配置 maxmax 1 z Mand W 合理安排梁的受力情况合理安排梁的受力情况 F l Mmax=Fl/4 + Mmax=Fl/8 + 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学 maxmax 1 z Mand W 合理安排梁的支撑位置合理安排梁的支撑位置 q=F/l l + Mmax=ql2/8=Fl/8 l-2a a q=F/l a 本

19、例中本例中a和和Mmax 的最合理的值是多少？的最合理的值是多少？ + Fl/8-Fa/2 Fa2/2lFa2/2l 1. 载荷及支座的合理配置载荷及支座的合理配置 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学 例例 5-3 两端外伸梁如图所示，若已知钢材许用应力两端外伸梁如图所示，若已知钢材许用应力160MPa， 试分别设计以下几种形状的截面尺寸和型号：（试分别设计以下几种形状的截面尺寸和型号：（1）矩形（）矩形（h/b=2）、）、 （2）圆形、（）圆形、（3）工字钢、（）工字钢、（4）管形（）管形（D/d=2）、（）、（5）薄壁管）薄壁管 （ D/d=1.1 ），并比较其经济性。），并比较其经济

20、性。 5kN.m 15kN 10kN/m 0.5m0.5m0.5m0.5m A B 2. 梁的合理截面设计梁的合理截面设计 maxmax 1 z Mand W 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学 5kN.m 15kN 10kN/m 0.5m0.5m0.5m0.5m 例例 5-3 160MPa，设计截面尺寸和型号：（，设计截面尺寸和型号：（1）矩形（）矩形（h/b=2）、）、 （2）圆形、（）圆形、（3）工字钢、（）工字钢、（4）管形（）管形（D/d=2）、（）、（5）薄壁管）薄壁管 （ D/d=1.1 ） 1 求支反力求支反力 RARB A B 2.5kN 12.5kN 17.5kN 5k

21、N 5kN.m 6.25kN.m 1.25kN.m FQ M kN5 . 2 A R kN5 .22 B R 2 作剪力图和弯矩图作剪力图和弯矩图 mkN25. 6 max M 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学 z W M max max 3 根据强度条件进行截面设计根据强度条件进行截面设计 max M Wz mkN25. 6 max M 6 3 10160 1025. 6 )cm(39)m(1039 336 (1) 矩形矩形（h/b=2） 6 2 bh Wz 12 3 h )cm(39 3 解得解得 cm76. 7hcm38. 3b 2 1 cm12.30A y z b h 第五章第五

22、章 弯曲应力弯曲应力材料力学 (2) 圆形圆形 32 3 d Wz )cm(39 3 cm35. 7d 2 2 cm4 .42A (3) 工字钢工字钢 查型钢表，选择查型钢表，选择No10号工字钢号工字钢 3 cm49 z W 2 3 cm3 .14A (4) 管形（管形（D/d=2） )1 ( 32 4 3 D Wz)cm(39 3 5 . 0 cm51. 7D 2 4 cm2 .33A cm76. 3d (5)薄壁管（薄壁管（ D/d=1.1 ）1 . 1/1 cm78.10D 2 4 cm8 .15A cm80. 9d z y d D d 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学 y z

23、b h z y d 2 1 cm12.30A 2 2 cm4 .42A D d D d 2 3 cm3 .14A 2 4 cm2 .33A 2 4 cm8 .15A )cm(39 3 z W 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学 y z 2. 梁的合理截面设计梁的合理截面设计 提高提高WZ： 尽可能使截面的面积分布得尽可能使截面的面积分布得 远离中性层。远离中性层。 D d 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学 6 2 bh Wz y z b h 对于矩形截面：对于矩形截面： 增加高度减小宽度来提高增加高度减小宽度来提高WZ。 R 北宋李诫于北宋李诫于1100年著年著 营造法式营造法式 一书中指出一书中指出: : 矩形木梁的合理高宽比矩形木梁的合理高宽比 ( ( h/ /b = ) = ) 1.5 T.Young( (英英) )于于1807年著年著 自然哲学与机械技术讲义自然哲学与机械技术讲义 一书中指出一书中指出: : 矩形木梁的合理高宽比为矩形木梁的合理高宽比为 刚度最大。时强度最大时, 3 ;, 2 b h b h b h 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学 如果抗拉和抗压能力不同，如脆性材料，则应采用上下非如果抗拉和抗压能力不同，如脆性材料，则应采用