数学分析 第九章 定积分1

1、2021-6-251 1 定积分的概念定积分的概念 1.1. 问题的提出问题的提出 2.2. 定积分的定义定积分的定义 第九章第九章 定积分定积分 2021-6-252 面积面积=? a 0 曲边三角形曲边三角形 y=x2 怎么求不规则几何图形的面积怎么求不规则几何图形的面积? 曹冲称象法曹冲称象法 爱迪生测灯泡法爱迪生测灯泡法 化整为零化整为零化不规则为规则化不规则为规则物理方法物理方法 数学方法数学方法 求极限求极限 一天，发明家爱迪生把一只灯泡交给他的助手阿普一天，发明家爱迪生把一只灯泡交给他的助手阿普 顿，要他算出玻璃灯泡的容积，阿普顿拿着灯炮琢磨顿，要他算出玻璃灯泡的容积，阿普顿拿着

2、灯炮琢磨 了好长时间，于是用皮尺在灯泡上左右、上下量了一了好长时间，于是用皮尺在灯泡上左右、上下量了一 阵，又在纸上画了好多的草图，写满了各种尺寸，列阵，又在纸上画了好多的草图，写满了各种尺寸，列 了许多道算式，算来算去还未有个结果。爱迪生见他了许多道算式，算来算去还未有个结果。爱迪生见他 算得满头大汗，就对他说：算得满头大汗，就对他说：“我的上帝，你还是用这我的上帝，你还是用这 个方法算吧！个方法算吧！”他在灯泡里倒满了水递给阿普顿说：他在灯泡里倒满了水递给阿普顿说： “把这些水倒进量杯里，看一看它的体积，就是灯泡把这些水倒进量杯里，看一看它的体积，就是灯泡 的容积了。的容积了。” 一、问题

3、的提出：一、问题的提出： n i i A 1 矩形矩形 n i i A 1 lim矩矩形形 2021-6-253 观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与 曲边三角形面积的关系曲边三角形面积的关系 2021-6-254 2021-6-255 2021-6-256 2021-6-257 2021-6-258 2021-6-259 n i i A 1 lim小小矩矩形形曲曲边边三三角角形形的的总总面面积积结论：结论： 2021-6-2510 2 2、 任意平面图形的面积任意平面图形的面积 会求梯形的面积，会求梯形的面积， 曲边曲边梯形梯形的面

4、积怎样求？若的面积怎样求？若 会，则可求出各平面图形的面积。会，则可求出各平面图形的面积。 考虑如下曲边梯形面积的求法，其中考虑如下曲边梯形面积的求法，其中f(x)是连续函数。是连续函数。 a bx y o ? A )(xfy 2021-6-2511 a bx y o a bx y o 思路：思路：已直代曲，利用极限由近似到精确。已直代曲，利用极限由近似到精确。 一般地，小矩形越多，小矩形面积和越接近曲一般地，小矩形越多，小矩形面积和越接近曲 边梯形面积边梯形面积 （四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形） 用用矩形矩形面积面积近似近似曲边梯形曲边梯形面积：面积： 2021-6-

5、2512 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 2021-6-2513 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 2021-6-2514 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 2021-6-2515 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面

6、积和与曲边梯形面积的关系 2021-6-2516 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 2021-6-2517 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 2021-6-2518 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 2021-6-2519 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时

7、， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 2021-6-2520 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 2021-6-2521 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 2021-6-2522 设一曲边梯形由直线设一曲边梯形由直线x=a,x=b,y=0及曲线及曲线 解：解：1. 分割分割 bxxxxxa nn 1210 把把a,b分成分成n个小区间个小区间xi-1,xi (i=1n

8、) 区间长度为区间长度为 1 iii xxx (i=1n) 0)( xfy 所围成，求面积所围成，求面积A, 其中其中f(x)在在a,b上连续。上连续。 2. 近似近似 )1(, 1 nixx iii 3. 求和求和 i n i i xfA )( 1 0 x y ab y = f (x) 0 x 1 x ii xx 1 1n x n x 1 2 i n iii xfA )( 则则 4. 取极限取极限即即小小区区间间的的最最大大长长度度当当分分割割无无限限加加细细 , i n i i xfA )(lim 1 0 时时，0max i x 在在a,b中任意插入中任意插入n-1个分点个分点 2021-

9、6-2523 设一曲边梯形由直线设一曲边梯形由直线x=a,x=b,y=0及曲线及曲线 解：解：1. 分割分割 bxxxxxa nn 1210 把把a,b分成分成n个小区间个小区间xi-1,xi (i=1n) 区间长度为区间长度为 1 iii xxx (i=1n) 0)( xfy 所围成，求面积所围成，求面积A, 其中其中f(x)在在a,b上连续。上连续。 2. 近似近似 )1(, 1 nixx iii 3. 求和求和 i n i i xfA )( 1 0 x y ab y = f (x) iii xfA )( 则则 4. 取极限取极限即即小小区区间间的的最最大大长长度度当当分分割割无无限限加加

10、细细 , i n i i xfA )(lim 1 0 在在a,b中任意插入中任意插入n-1个分点个分点 时时，0max i x 2021-6-2524 设某物体作变速直线运动设某物体作变速直线运动. 已知速度已知速度V = V(t)是是 时间间隔时间间隔T1, T2上上 t 的连续函数的连续函数. 计算在这段时间内计算在这段时间内 物体所经过的路程物体所经过的路程 S. 匀速直线运动匀速直线运动. 路程速度路程速度时间时间 实例实例2 2 （求变速直线运动的路程）（求变速直线运动的路程） 思路思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度 看作不变，求出各

11、小段的路程再相加，便得到路程看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程 的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路 程的精确值程的精确值 2021-6-2525 （1）分割）分割 1 iii ttt iii tvs )( 部分路程值部分路程值 （3）求和）求和 ii n i tvs )( 1 （4）取极限）取极限,max 21n ttt i n i i tvs )(lim 1 0 路程的精确值路程的精确值 212101 TtttttT nn 某时刻的速度某时刻的速度 在每个子区间在每个子区间ti-1, ti 上任取一点上任取一点 i（2）近似）近

12、似 2021-6-2526 上面两例可以看出上面两例可以看出：两个不同问题所求的量，两个不同问题所求的量， 采用了同样的计算方法，最终都归结为具有相同采用了同样的计算方法，最终都归结为具有相同 结构的和式极限。结构的和式极限。 抛开这些问题的具体意义，通过数学的抽象抛开这些问题的具体意义，通过数学的抽象 就得到了定积分的概念。就得到了定积分的概念。 i n i i tvs )(lim 1 0 i n i i xfA )(lim 1 0 2021-6-2527 abxo 二、定积分的定义二、定积分的定义 设函数设函数)(xf定义在定义在,ba上上 , ,ba的的任一种任一种 分割分割 , 210

13、 bxxxxa n 令令, 1 iii xxx 任取任取 , 1 iii xx i 若对若对 只要只要 0max 1 i ni x 时时 和数和数 i n i i xf 1 )( 总趋于确定的极限总趋于确定的极限 I , 则称此极限 则称此极限 I 为函数为函数)(xf在区间在区间,ba 上的上的定积分定积分, 记作记作 1 x i x 1 i x ,)( b a xdxf 即即 b a xdxf)( i n i i xf 1 0 )(lim 此时称此时称 f ( x ) 在在 a , b 上上可积可积 . 2021-6-2528 b a xdxf)( i n i i xf 1 0 )(lim

14、 积分上限积分上限 积分下限积分下限 被积函数被积函数 被积表达式被积表达式 积分变量积分变量 积分和积分和 ,ba叫做积分区间叫做积分区间 由定积分定义，例由定积分定义，例1，例，例2分别为：分别为： ?)(lim 1 0 i n i i tvs ?)(lim 1 0 i n i i xfA ,)( b a dxxf 1 0 )( T T dttv 2021-6-2529 b a dxxf)( b a dttf)( b a duuf)( 注意：注意： 1。 。极限存在指：任意分割，任意取点，和式 极限存在指：任意分割，任意取点，和式 极限存在且相等。极限存在且相等。 2。 。定积分是个数值，

15、与积分变量的符号无关， 定积分是个数值，与积分变量的符号无关， 即即 3。 。规定： 规定： b a a b b a dxxfdxxfba dxxfba )()( 0)( 时，时， 时，时， 4。 。 0 1 00 n nixi b a xdxf)( i n i i xf 1 0 )(lim ,)(lim 1 0 n i ii xf 1 iii xxx)( 1ii xx 2021-6-2530 0 x y=x2 y 1 解解: 将区间将区间0, 1 n等分等分, 分点为分点为：? ), 1 ,0?( ?,nix ii 取取 于是于是 ?)(lim 1 0 1 0 2 i n i i xfdxx

16、 i n i i b a xfxdxf 1 0 )(lim)( 1 ：利用定义计算定积分：利用定义计算定积分 例例 1 0 2dx x 2021-6-2531 1 0 2 1dxx：利利用用定定义义计计算算定定积积分分例例 0 x y=x2 y n 1 n 2 n n 1 1 解解: 因为因为y=x2在在0, 1上连续上连续, 定积分存在定积分存在, 将区间将区间0, 1 n等分等分, 分点为分点为 1 121 0 n n nn ),2, 1( , 1 ni n i n x ii 取取 于是于是 i n i i xfdxx 1 0 1 0 2 )(lim n i n nn i 1 2 1 )(

17、lim i n i i b a xfxdxf 1 0 )(lim)( 2021-6-2532 i n i i xfdxx 1 0 1 0 2 )(lim n i n nn i 1 2 1 )(lim n i n i n 1 2 3 1 lim )12)(1( 6 11 lim 3 nnn n n 3 )12)(1( lim 6 1 n nnn n 3 1 0 x y=x2 y n 1 n 2 n n 1 1 ) 1 2)( 1 1(lim 6 1 nn n 2021-6-2533 例例2. 用定积分表示下列极限用定积分表示下列极限: n i n n i n 1 1 1 lim)1( 1 21

18、lim)2( p ppp n n n 解解: n i n n i n 1 1 1 lim)1( nn i n i n 1 1lim 1 ni n i ,2, 1,为 0 , 1 区间上的等分点 1 21 lim)2( p ppp n n n n n i p n 1 lim 1 n i xdx p 1 0 i i x i i x xdx 1 0 1 2021-6-2534 思考思考如何求下述极限如何求下述极限 222222 1 2 1 1 1 lim nnnn I n nnnn I n222 1 2 1 1 1 lim 比较比较 i n i i b a xfxdxf 1 0 )(lim)( 1

19、1 2 1 1 1 22222 n n nnnnnn n 11 1 I 2021-6-2535 思考思考如何用定积分表示下述极限如何用定积分表示下述极限 n n n n nn I n )1( sinsin 2 sin 1 lim 提示提示: n i n n i I 1 sinlim 1 n 1 nn n sin 1 lim n n n n )1( sin 1 lim 0 sin 1 xdx 极限为极限为 0 ! 若若a,b n等分，则等分，则i n i i b a xfxdxf 1 0 )(lim)( n ab n ab iafxdxf n i n b a 1 )(lim)( n i n b

20、a n ab iaf n ab xdxf 1 )(lim)( n , i n i n x i 2021-6-2536 定理定理1: 设设f (x)在区间在区间a, b上连续上连续, 则则f (x)在在a, b 可积可积. 定理定理2: 设设f (x)在区间在区间a, b上有界上有界, 且只有限个间且只有限个间 断点断点, 则则f (x)在在a, b上可积上可积. 三、可积的充分条件三、可积的充分条件 01 00 01 sgn x x x xy 当当 当当 当当 1 -1 x y o -12 2 1 sgnxdx 1 2021-6-2537 1.若当若当 x a, b时时, 连续函数连续函数f

21、(x) 0 b a dxxf)( b A o x y a y=f (x) A 四、四、定积分的定积分的几何几何和物理意义和物理意义 2.若当若当x a, b时时, 连续函数连续函数f (x) 0, Adxxf b a )(o x y a b y=f (x) A A曲曲边边梯梯形形面面积积 01 23 2 xy ? A 1 0 2 )23(dxx A 所以定积分的几何意义：所以定积分的几何意义：“有号面积有号面积”. 2021-6-2538 (3) 若当若当x a, b时时, 连续函数连续函数f (x) 既取得正值既取得正值, 又取得负值时又取得负值时 a b y x 1 A 2 A 3 A 4

22、 A 5 A 1 A 各部分面积的代数和各部分面积的代数和 b a dxxf)( 2 A 543 AAA 2021-6-2539 四、四、定积分的定积分的几何几何和和物理物理意义意义 表示物体表示物体(以变速以变速V(t) (V(t) 0) 作直线运动作直线运动) 2 1 )( T T tdtV 问题：问题：1)若若 表示非均匀细直棒的质量密度表示非均匀细直棒的质量密度, 则则 表示什么？表示什么？ b a dxxf)(定定积积分分 b a dxx)( 2)若若y= f (x) 表示变力，则表示变力，则 表示什么？表示什么？ b a dxxf)( 求总量的数学模型，在不同求总量的数学模型，在不

23、同 的领域有不同的应用的领域有不同的应用 表示非均匀细直棒的质量表示非均匀细直棒的质量 基本思想：基本思想： 实际问题所求量实际问题所求量U 转化为转化为 求求U= b a dxxf)( (积分模型 积分模型) 在在时间间隔时间间隔T1, T2内内所经过的路程所经过的路程 s )(xy 2021-6-2540 回顾回顾曲边梯形面积曲边梯形面积A转化为定积分转化为定积分 的计算过程：的计算过程： b a dxxf)( 把区间把区间a, b分成分成n个小区间个小区间, 有有 n i i AA 1 总量总量A 对于对于a, b具有区间可加性具有区间可加性, 计算计算 Ai的近似值的近似值 iii x

24、fA )( )( 1iii xx 得得A的的近似值近似值 n i ii xfA 1 )( n i ii xfA 1 0 )(lim (1) 分割分割. (2) 近似近似. (3) 求和求和. (4) 求极限求极限. n个部分量个部分量Ai 的和的和. ab 0 x 1 x ii xx 1 1n x n x 0 x y y = f (x) 1 2 i n 即即A可以分割成可以分割成 b a dxxf)( 0 x y ab y = f (x) 求总量求总量A的数学模型的数学模型 2021-6-2541 练习练习 例例1 dxx 2 2 2 4 解： 由几何意义 2 2 2 2 2 2 1 4 dx

25、x 例例2 计算： 计算： xdxsin 解：如图0sin xdx 2021-6-2542 对定积分的对定积分的补充规定补充规定: （1）当）当ba 时，时，0)( b a dxxf； （2）当当ba 时时， a b b a dxxfdxxf)()(. 说明说明 在下面的性质中，假定定积分都存在下面的性质中，假定定积分都存 在，且不考虑积分上下限的大小在，且不考虑积分上下限的大小 五、定积分的性质 2021-6-2543 证证 b a dxxgxf)()( iii n i xgf )()(lim 1 0 ii n i xf )(lim 1 0 ii n i xg )(lim 1 0 b a d

26、xxf)(.)( b a dxxg b a dxxgxf)()( b a dxxf)( b a dxxg)(. （此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况） 性质性质1 1 性质性质2 2 2021-6-2544 线性性质的作用线性性质的作用将复杂函数的积分转化为将复杂函数的积分转化为 较简单函数的积分，而转化的依据与不定积分完全较简单函数的积分，而转化的依据与不定积分完全 相同。相同。 2 1 2 22 2 1 2 )1( 1 )1( 1 dx xx xx dx xx 例如：例如： . 1 1 2 1 2 2 1 dx x x dx x 2021-6-

27、2545 b a dxxf)( b c c a dxxfdxxf)()(. 补充补充：不论：不论 的相对位置如何的相对位置如何, 上式总成立上式总成立.cba, 例例 若若, cba c a dxxf)( c b b a dxxfdxxf)()( b a dxxf)( c b c a dxxfdxxf)()( .)()( b c c a dxxfdxxf （定积分对于积分区间具有可加性）（定积分对于积分区间具有可加性） 则则 假设假设bca 性质性质3 3 2021-6-2546 2021-6-2547 dx b a 1dx b a ab . 则则0)( dxxf b a . . )(ba 证

28、证, 0)( xf, 0)( i f), 2 , 1(ni , 0 i x, 0)( 1 ii n i xf ,max 21n xxx ii n i xf )(lim 1 0 b a dxxf)( 性质性质4 4 性质性质5 5 如如果果在在区区间间,ba上上0)( xf， 0 2021-6-2548 性质性质5 5的推论：的推论： 证证),()(xgxf , 0)()( xfxg , 0)()( dxxfxg b a , 0)()( b a b a dxxfdxxg 于是于是 dxxf b a )( dxxg b a )(. 则则dxxf b a )( dxxg b a )(. . )(ba

29、 如如果果在在区区间间,ba上上)()(xgxf ，（1） 性质性质5 5 不等式性不等式性 2021-6-2549 dxxf b a )(dxxf b a )(.)(ba （2） 绝对值性质绝对值性质 性质性质5 5 推论：推论：（ （1） 不等式性不等式性 2021-6-2550 设设M及及m分分别别是是函函数数 证证,)(Mxfm ,)( b a b a b a Mdxdxxfdxm ).()()(abMdxxfabm b a （此性质可用于估计积分值的大致范围）（此性质可用于估计积分值的大致范围） 则则 )()()(abMdxxfabm b a . . )(xf在在区区间间,ba上上的

30、的最最大大值值及及最最小小值值， 性质性质6 6 4 A o x y 1 y=f (x) A 3 请估计请估计A的大致范围的大致范围? Why ? 能否给出更准确地能否给出更准确地 估计值估计值? 2021-6-2551 如如果果函函数数)(xf在在闭闭区区间间,ba上上连连续续， 证证 Mdxxf ab m b a )( 1 )()()(abMdxxfabm b a 由闭区间上连续函数的介值定理知由闭区间上连续函数的介值定理知 则则在在积积分分区区间间,ba上上至至少少存存在在一一个个点点 ， 使使dxxf b a )()(abf . . )(ba 性质性质7 7（定积分中值定理）（定积分中

31、值定理） 积分中值公式积分中值公式 2021-6-2552 使使,)( 1 )( b a dxxf ab f dxxf b a )()(abf .)(ba 在区间在区间,ba上至少存在一上至少存在一 个点个点 ， 即即 积分中值公式的几何解释：积分中值公式的几何解释： x y oa b )( f 使使得得以以区区间间,ba为为 以以曲曲线线)(xfy 底底边边， 为曲边的曲边梯形的面积为曲边的曲边梯形的面积 等于同一底边而高为等于同一底边而高为)( f 的的一一个个矩矩形形的的面面积积。 f(x) 在在 a,b 上上 的的 平平 均均 值值 .,)()( 1 上的平均值上的平均值在在是连续函数

32、是连续函数即即baxfdxxf ab y b a 2021-6-2553 例例 1 1 比较积分值比较积分值dxe x 2 0 和和dxx 2 0 的大小的大小. 解解 ,0, 2 x对对,xe x 有有 dxe x 0 2 , 0 2 dxx 于是于是dxe x 2 0 . 2 0 dxx 不等式性不等式性 性质性质5 5 推论：推论： 2021-6-2554 解解 , sin3 1 )( 3 x xf , 0 x , 1sin0 3 x , 3 1 sin3 1 4 1 3 x , 3 1 sin3 1 4 1 00 3 0 dxdx x dx . 3sin3 1 4 0 3 dx x 2021-6-2555 解解, sin )( x x xf 2 sincos )( x xxx xf 2 )tan(cos x xxx 2 , 4 x , 0 , 22 ) 4 ( fM, 2 ) 2 ( fm, 442 ab , 4 22sin 4 2 2 4 dx x x . 2 2sin 2 1 2 4 dx x x 2021-6-2556 解解由积分中值定理知有由积分中值定理知有,2, xx 使使dttf t t x x 2 )( 3 sin),2)( 3 s