证明的必要性

1、教材的地位分析教材的地位分析 实验几何实验几何 实验向论证过渡实验向论证过渡 几何证明几何证明 实验与推理综合运用实验与推理综合运用 图形的初步知识图形的初步知识 七年级上七年级上 平行线、特殊三角形、平行线、特殊三角形、 直棱柱、图形与坐标直棱柱、图形与坐标 三角形的初步知识、图形和变换三角形的初步知识、图形和变换 命题与证明、平行四边形、命题与证明、平行四边形、 特殊平行四边形与梯形特殊平行四边形与梯形 圆的基本性质、相似三角形、圆的基本性质、相似三角形、 投影与三视图、解直角三角形投影与三视图、解直角三角形 直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系 七年级下七年级下 八年级上

2、八年级上 八年级下八年级下 九年级上九年级上 九年级下九年级下 数学( 北师大.七年级 下册 ) 一、教材内容一、教材内容 l4.1 4.1 定义与证明定义与证明 l4.2 4.2 证明证明 l阅读材料（一元二次方程的发展）阅读材料（一元二次方程的发展） l4.34.3反例与证明反例与证明 l4.44.4反证法反证法 与老教材比较：与老教材比较： （1）加强定义与命题的区别）加强定义与命题的区别 （2）突出反例与证明的关系）突出反例与证明的关系 （3）反证法教材内容变化较大）反证法教材内容变化较大 二、参考的教学建议二、参考的教学建议 1、 使学生经历探索、猜测、证明的过程，体会证明的必要性。

3、使学生经历探索、猜测、证明的过程，体会证明的必要性。 2、注重对证明思路的启发，提倡证明方法的多样性。注重对证明思路的启发，提倡证明方法的多样性。 3、要求学生掌握证明的基本要求和方法。要求学生掌握证明的基本要求和方法。 4、注意数学思想方法在教学中的渗透以及对学生学习方法的启发。、注意数学思想方法在教学中的渗透以及对学生学习方法的启发。 5、依据、依据新课程标准新课程标准和教材的基本要求，把握好证明的难易程和教材的基本要求，把握好证明的难易程 度。度。 在实验几何中，我们让学生通过观察、实验和归纳得出在实验几何中，我们让学生通过观察、实验和归纳得出 结论。而本章则要设置一些如课本结论。而本章

4、则要设置一些如课本4、2中的中的合作学习合作学习，使学生感受，使学生感受 到凭实验、观察和归纳得出的结论不一定正确，从而让学生理解证到凭实验、观察和归纳得出的结论不一定正确，从而让学生理解证 明的必要性。明的必要性。 1、 使学生经历探索、猜测、证明的过程，体会使学生经历探索、猜测、证明的过程，体会 证明的必要性。证明的必要性。 在前面的学习中，学生们已经历了探索、并发现图形性质的过在前面的学习中，学生们已经历了探索、并发现图形性质的过 程，但没有给予严格的证明。在教学中，应把证明作为探索活动的程，但没有给予严格的证明。在教学中，应把证明作为探索活动的 自然延续和必要发展，引导学生从问题出发，

5、根据观察、实验的结自然延续和必要发展，引导学生从问题出发，根据观察、实验的结 果，运用归纳、类比的方法首先得出猜想，然后再进行证明，这将果，运用归纳、类比的方法首先得出猜想，然后再进行证明，这将 有利于学生全面地理解证明。有利于学生全面地理解证明。 注意：在强调证明的必要性时，不要注意：在强调证明的必要性时，不要否定实验、归纳否定实验、归纳的重要的重要 性。在数学上，要判断一个命题是否正确，需要经过证明，但要性。在数学上，要判断一个命题是否正确，需要经过证明，但要 发现一个真理，实验、观察和归纳始终是一条重要的途径发现一个真理，实验、观察和归纳始终是一条重要的途径。 观察下图，先猜想结论，在动

6、手验证：观察下图，先猜想结论，在动手验证： 一组直线一组直线a，b，c，d是否都相互平行？是否都相互平行？ a d c b 2、注重对证明思路的启发，提倡证明方法的 多样性。 探索证明的思路与方法是学习本章内容的重点探索证明的思路与方法是学习本章内容的重点 教师在教学中应注意在证明思路和方法上对学生的引导，帮教师在教学中应注意在证明思路和方法上对学生的引导，帮 助学生分析辅助线的添加、辅助图形的构造。在这个过程中，原助学生分析辅助线的添加、辅助图形的构造。在这个过程中，原 来在进行图形的折叠、拼摆等探索图形性质时所使用的方法对证来在进行图形的折叠、拼摆等探索图形性质时所使用的方法对证 明的思路

7、也是很重要的，教师应注意引导启发。明的思路也是很重要的，教师应注意引导启发。 很多图形性质及很多图形性质及 结论的证明的方法和途径是不唯一的，辅助线的添加方法也是多结论的证明的方法和途径是不唯一的，辅助线的添加方法也是多 样的。因此，教师在教学时要注意引导学生探索证明的不同方法，样的。因此，教师在教学时要注意引导学生探索证明的不同方法， 提倡证明方法的多样性，并引导学生在与他人的交流中比较证明提倡证明方法的多样性，并引导学生在与他人的交流中比较证明 方法的异同，提高逻辑思维水平。方法的异同，提高逻辑思维水平。 如：例如：例3 求证：三角形三个内角和等于求证：三角形三个内角和等于180。 改为合

8、作学习：用多种方法证明：三角形三个内角和等于改为合作学习：用多种方法证明：三角形三个内角和等于180 A B C 3、要求学生掌握证明的基本要求和方法。要求学生掌握证明的基本要求和方法。 在本章中，命题证明是学习的重点，因此教学中要注意培养学在本章中，命题证明是学习的重点，因此教学中要注意培养学 生掌握推理证明的基本要求生掌握推理证明的基本要求（明确前提和结论、画出图形、能够用（明确前提和结论、画出图形、能够用 数学的符号语言正确表达；明确每一步推理的依据并能准确地表达数学的符号语言正确表达；明确每一步推理的依据并能准确地表达 推理的过程）推理的过程） 教师在教学时应引导学生着重分析证明的思路

9、和方法，通过一教师在教学时应引导学生着重分析证明的思路和方法，通过一 定数量的推理证明的训练，逐步使学生掌握证明方法和思路。定数量的推理证明的训练，逐步使学生掌握证明方法和思路。 注意：与图形性质的探索一样，在命题的证明的教学中，教师注意：与图形性质的探索一样，在命题的证明的教学中，教师 也要为学生对证明思路和方法的思考留有充分空间，同时还要注意也要为学生对证明思路和方法的思考留有充分空间，同时还要注意 学生的个体差异，对学习证明有困难的学生给予帮助和指导。学生的个体差异，对学习证明有困难的学生给予帮助和指导。 4、注意数学思想方法在教学中的渗透以及对学生、注意数学思想方法在教学中的渗透以及对

10、学生 学习方法的启发。学习方法的启发。 在命题的探索和证明过程中，蕴涵着一些数学思想方在命题的探索和证明过程中，蕴涵着一些数学思想方 法，法，如由特殊到一般的归纳思想方法、类比的思想方法、如由特殊到一般的归纳思想方法、类比的思想方法、 转化的思想方法、反证法的思想方法、分析法的思想方法转化的思想方法、反证法的思想方法、分析法的思想方法 等，教学中应注重这些思想方法的强化和渗透，并运用在等，教学中应注重这些思想方法的强化和渗透，并运用在 问题的解决过程中。同时，注意培养学生逆向思维、逻辑问题的解决过程中。同时，注意培养学生逆向思维、逻辑 思维等能力。思维等能力。 例：如图，例：如图，AD是是AB

11、C的高，的高，E是是AD上一点，若上一点，若 AD=BD，DE=DC求证：求证：BED=C D A B C E 分析：（分析：（1）执因索果（）执因索果（2）执果索因）执果索因 （1）执果索因其实就是分析法，）执果索因其实就是分析法， 它是一种重要的逆向思维的思考它是一种重要的逆向思维的思考 方法，它对于寻求证明途径往往方法，它对于寻求证明途径往往 非常有效非常有效 （2）对于复杂的问题，往往要把）对于复杂的问题，往往要把 两种思维方式结合起来，从已知两种思维方式结合起来，从已知 出发得到什么，从求证出发你需出发得到什么，从求证出发你需 要什么，从而沟通已知与未知的要什么，从而沟通已知与未知的

12、 联系联系 5、依据、依据新课程标准新课程标准和教材的基本要求，把握和教材的基本要求，把握 好证明的难易程度。好证明的难易程度。 对证明的基本方法掌握和过程的体验，需要对对证明的基本方法掌握和过程的体验，需要对 一定数量的命题的证明来实现，但是教学中要注意避免一一定数量的命题的证明来实现，但是教学中要注意避免一 味的追求所证命题的数量、证明的技巧，应依据教材中的味的追求所证命题的数量、证明的技巧，应依据教材中的 基本要求，控制好所证命题的难度。基本要求，控制好所证命题的难度。 数学( 北师大.七年级 下册 ) 一、教材地位一、教材地位 本章主要内容有多边形、平行四边形、中心对称、本章主要内容有

13、多边形、平行四边形、中心对称、 三角形的中位线、逆命题和逆定理。它是在学生小学三角形的中位线、逆命题和逆定理。它是在学生小学 学过的平行四边形知识的基础上作进一步的整理和探学过的平行四边形知识的基础上作进一步的整理和探 究，也是平行线和三角形知识的应用和深化究，也是平行线和三角形知识的应用和深化;是学习矩是学习矩 形、菱形、正方形的必备知识，是证明线段相等、角形、菱形、正方形的必备知识，是证明线段相等、角 相等，两直线平行的重要依据。另外，通过本章的学相等，两直线平行的重要依据。另外，通过本章的学 习，培养学生运用习，培养学生运用“类比、化归类比、化归”等方法，主动探求等方法，主动探求 新知识

14、的能力，渗透新知识的能力，渗透“几何来源于实践而又反过来服几何来源于实践而又反过来服 务于实践务于实践”的辩证唯物主义思想，以及数学内容中相的辩证唯物主义思想，以及数学内容中相 互运动变化，相互联系、相互转化的观点。互运动变化，相互联系、相互转化的观点。 二、教学内容二、教学内容 平行四边形平行四边形 四边形四边形 平行四边形平行四边形 多边形多边形 中心对称中心对称 平行四边平行四边 形的性质形的性质 平行四边形平行四边形 的判定的判定 中心对称的性质中心对称的性质 多边形的内角和与外角和多边形的内角和与外角和 1 1、本章知识结构框架图如下、本章知识结构框架图如下: : 正多边形正多边形

15、正多边形的镶嵌正多边形的镶嵌 三角形中 位线定理 逆命题与逆定理逆命题与逆定理 三、新旧教材对比三、新旧教材对比 （1）增加多边形内角和、外角和定理）增加多边形内角和、外角和定理 （2）增加平面图形的密铺）增加平面图形的密铺 （3）注重平行四边形定义、性质、判定等知识的生成过程）注重平行四边形定义、性质、判定等知识的生成过程 （4）平行四边形的性质）平行四边形的性质 中心对称中心对称 平行四边形的判定平行四边形的判定 三角形的中位线三角形的中位线 （5）平行四边形独立成章，突出平行四边形承前启后的作用）平行四边形独立成章，突出平行四边形承前启后的作用 四、教学说明及建议四、教学说明及建议 利用

16、师生互动，探索新知，让学生经历知识的发利用师生互动，探索新知，让学生经历知识的发 生过程，获得一些基本概念生过程，获得一些基本概念. 通过学生动手操作和主动参与，让他们在观察、操作、通过学生动手操作和主动参与，让他们在观察、操作、 想像、交流等活动中认识平行四边形的有关性质和判想像、交流等活动中认识平行四边形的有关性质和判 定。定。 体现探索过程和思维方式的多样性体现探索过程和思维方式的多样性 -经历探索多边形内角和与外角和公式的过程，进经历探索多边形内角和与外角和公式的过程，进 一步发展学生的合情推理意识、主动探究的习惯。一步发展学生的合情推理意识、主动探究的习惯。 落实探索和交流落实探索和

17、交流 -经历探索多边形镶嵌条件的过程，进一步发展学经历探索多边形镶嵌条件的过程，进一步发展学 生的合情推理能力、合作交流意识和一定的审美情趣生的合情推理能力、合作交流意识和一定的审美情趣 ，进一步体会平面图形在现实生活中的广泛应用性和，进一步体会平面图形在现实生活中的广泛应用性和 普遍存在性普遍存在性 。 任意画一个任意画一个ABC,以其中一条边以其中一条边AC的中点的中点O为旋为旋 转中心转中心,按逆时针按逆时针(或顺时针或顺时针)方向旋转方向旋转180,所得的所得的 像像CDA与原像与原像ABC组成四边形组成四边形ABCD (1)找出图中相等的角找出图中相等的角; (2)你认为四边形你认为

18、四边形ABCD的两组对边的两组对边AD与与BC,AB与与 CD有什么关系有什么关系?请说出你的理由请说出你的理由; (3)四边形四边形ABCD是什么四边形是什么四边形? A B C D O 两组对边分别平行的四两组对边分别平行的四 边形叫做平行四边形边形叫做平行四边形 B= D, BAC= DCA, ACB= CAD AD BC,AB CD 平行四边形的定义平行四边形的定义 1.如图如图1,点点O是等边三角形是等边三角形ABC的两条高的交点的两条高的交点,以以O 为旋转中心为旋转中心,把等边三角形把等边三角形ABC按顺时针旋转按顺时针旋转180, 作出所得的像作出所得的像. 2.点点O是是 A

19、BCD的对角线的对角线AC,BD的交点的交点(如图如图),以以O 为旋转中心为旋转中心,把把 ABCD按顺时针旋转按顺时针旋转180,作出所得作出所得 的像的像. AB C O O A B CD 如果一个图形绕着一个点旋转如果一个图形绕着一个点旋转180,所得到的所得到的 图形和原来的图形互相重合图形和原来的图形互相重合,那么这个图形叫做那么这个图形叫做 中心对称图形中心对称图形,这个点叫对称中心这个点叫对称中心. 像与原像不重合像与原像不重合 像与原像重合像与原像重合 中心对称图形的定义中心对称图形的定义 C 任意画一个任意画一个ABC,以其中一条边以其中一条边AC的中点的中点O为旋转中心为

20、旋转中心,按按 逆时针逆时针(或顺时针或顺时针)方向旋转方向旋转180,所得的像所得的像CDA与原像与原像 ABC组成四边形组成四边形ABCD (1)找出图中相等的角找出图中相等的角; (2)你认为四边形你认为四边形ABCD的两组对边的两组对边AD与与BC,AB与与CD有什么有什么 关系关系?请说出你的理由请说出你的理由; (3)四边形四边形ABCD是什么四边形是什么四边形? A B D O 两组对边分别平行的四两组对边分别平行的四 边形叫做平行四边形边形叫做平行四边形 平行四边形的对角相等平行四边形的对角相等 平行四边形的两组对边平行平行四边形的两组对边平行 平行四边形的两组对边相等平行四边

21、形的两组对边相等推论 推论 夹在两条平行线间的平行线相等夹在两条平行线间的平行线相等 夹在两条平行线的垂线段相等夹在两条平行线的垂线段相等 平行四边形的对角线互相平分平行四边形的对角线互相平分 -通过操作性活动探索平行四边形有关概念和性质，通过操作性活动探索平行四边形有关概念和性质， 发展学生探究意识和合作交流的习惯。发展学生探究意识和合作交流的习惯。 B= D, BAC= DCA, ACB= CAD AD BC,AB CD 在过程中关注推理在过程中关注推理 -在分析平行四边形判定条件的过程中，发展学生的合在分析平行四边形判定条件的过程中，发展学生的合 情推理意识、主动探究的习惯情推理意识、主

22、动探究的习惯, -关注说理的基本方法。关注说理的基本方法。 一组对边平行且相等的四边形一组对边平行且相等的四边形 是平行四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形两组对边分别相等的四边形 是平行四边形是平行四边形 剪一刀剪一刀,将一张三角形纸片剪成一张三角形纸片和一张梯形纸片将一张三角形纸片剪成一张三角形纸片和一张梯形纸片 (1)如果要求剪得的两张纸片能拼成平行四边形如果要求剪得的两张纸片能拼成平行四边形,剪痕的位置有什剪痕的位置有什 么要求么要求? (2)要把所剪得的两个图形拼成一个平行四边形要把所剪得的两个图形拼成一个平行四边形,可将其中的三角可将其中的三角 形作怎样的图形变换形作怎样的

23、图形变换? A B C D E A BC D E F 三角形的中位线平行于第三边三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半并且等于第三边的一半 在一张纸上任意画一个四边形在一张纸上任意画一个四边形,剪下它的四个角剪下它的四个角,把它把它 们拼在一起们拼在一起(四个角的顶点重合四个角的顶点重合),你发现了什么你发现了什么?其他其他 同学与你的发现相同吗同学与你的发现相同吗?你能把你的发现概括成一个你能把你的发现概括成一个 命题吗命题吗? 四边形的内角和等于四边形的内角和等于360 边数 图形 从某顶点出发 的对角线条数 划分成的三 角形个数 多边形的内 角和 3 0 11180 4 1 2

24、2180 5 6 n 下面我们来探索任意一个多边形的内角和与外角和的规律下面我们来探索任意一个多边形的内角和与外角和的规律.请填写下请填写下 表表: 你从表中得到了什么结论你从表中得到了什么结论? n边形的内角和为(n-2) 180(n3) 分别用若干个正三角形、正方形、正五边分别用若干个正三角形、正方形、正五边 形、正六边形的纸片，在一张桌面上尝试镶形、正六边形的纸片，在一张桌面上尝试镶 嵌平面。你发现这几种正多边形哪些能单独嵌平面。你发现这几种正多边形哪些能单独 镶嵌平面，哪些不能？你能说明其中的原因镶嵌平面，哪些不能？你能说明其中的原因 吗？吗？ 你注意到地砖的形状大多你注意到地砖的形状

25、大多 是几边形吗？有没是几边形吗？有没 有正五边形地砖？你知道为什么吗？有正五边形地砖？你知道为什么吗？ 1 2 3 4 1 2 3 正方形为什么能镶嵌？正方形为什么能镶嵌？ 啊!拼不了啦, 为什么呢?你 能说说道理 吗? 1 2 3 1+2+3=? 正五边形可以密铺吗？ 正六边形可以密铺吗？ 镶嵌的条件： 平面图形能否密铺，关键看 每个拼接点处的几个内角的和能否组合成 360。 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 用形状、大小完全相同的任意三角形可 以密铺吗？ 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3

26、2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 用形状、大小完全相同的任意四边形可 以密铺吗？ 结论：用形状、大小完全相同的一结论：用形状、大小完全相同的一 种平面图形能够进行密铺的有：任种平面图形能够进行密铺的有：任 意三角形、任意四边形、正六边形。意三角形、任意四边形、正六边形。 正五边形不能密铺。正五边形不能密铺。 解：设在一个顶点周围有解：设在一个顶点周围有x个正四边形，个正四边形，y个正八边形，则个正八边形，则 x90+y135=360 即即2x+3y=8 这个方程的非负整数解为：这个方程

27、的非负整数解为： x 1 =1 x 2 =4 y 1 =1 y 2 =0 所以用正四边形和正八边形做平面密铺有两种可能：所以用正四边形和正八边形做平面密铺有两种可能： （1）在它的一个顶点周围）在它的一个顶点周围1个正四边形配个正四边形配2个正八边形；个正八边形； （2）在它的一个顶点周围都用正四边形。）在它的一个顶点周围都用正四边形。 例：用边长相同的正四边形和正八边形做平面密铺，例：用边长相同的正四边形和正八边形做平面密铺， 有几种可能？为什么？有几种可能？为什么？ 点拨：用几种不同边数的正多边形镶嵌，在重合的顶点处点拨：用几种不同边数的正多边形镶嵌，在重合的顶点处 正多边形的内角之和等于

28、正多边形的内角之和等于360；本题得到一个关边数；本题得到一个关边数x，y的的 不定方程，然后求它的整数解不定方程，然后求它的整数解 数学( 北师大.七年级 下册 ) 特特 殊殊 平平 行行 四四 边边 形形 与与 梯梯 形形 要求加强方面要求加强方面要求降要求降 低方面低方面 矩形、菱形、正方形有关性质矩形、菱形、正方形有关性质 的探索的探索 论论 证证 的的 技技 巧巧 四边形是矩形、菱形、正方形四边形是矩形、菱形、正方形 条件的探索条件的探索 梯形、等腰梯形有关性质的探梯形、等腰梯形有关性质的探 索索 新增探索并了解线段、矩形、新增探索并了解线段、矩形、 平行四边形、三角形的重心及平行四

29、边形、三角形的重心及 物理意义（如一根均匀木棒、物理意义（如一根均匀木棒、 一块均匀的矩形木板的重心）一块均匀的矩形木板的重心） 与 老 教与 老 教 材教学内容材教学内容 相比知识更相比知识更 具探索性，具探索性， 更加重视让更加重视让 学生亲历知学生亲历知 识的形成过识的形成过 程。程。 二、教学建议二、教学建议 1、重视学生动手实验操作、探究问题结论能力的培养、重视学生动手实验操作、探究问题结论能力的培养 3、提倡学生探索证明思路和不同的证明方法，关注、提倡学生探索证明思路和不同的证明方法，关注 命题的拓展、引申和问题解决的多样化。并重视数学命题的拓展、引申和问题解决的多样化。并重视数学

30、 思想在教学中的渗透思想在教学中的渗透 2、重视对证明思路的适当启发，不要把现成的证、重视对证明思路的适当启发，不要把现成的证 明思路教给学生明思路教给学生 探索用六根火柴摆平行四边形，在解决问题的过程中使学探索用六根火柴摆平行四边形，在解决问题的过程中使学 生逐步形成矩形的概念与性质，再通过推理证明使学生明生逐步形成矩形的概念与性质，再通过推理证明使学生明 白数学的科学严密性，同时进一步提高推理演绎的能力。白数学的科学严密性，同时进一步提高推理演绎的能力。 建议在教学中，给学生充分时间进行动手操作，小组建议在教学中，给学生充分时间进行动手操作，小组 讨论，发现结论讨论，发现结论. 八上是以实

31、验的方法得出。建议命题的证八上是以实验的方法得出。建议命题的证 明教师要帮助学生根据题意画出图形，写明教师要帮助学生根据题意画出图形，写 出已知与求证，提示线段倍分的证题思路，出已知与求证，提示线段倍分的证题思路， 尽量不要把现成的证题方法直接教给学生。尽量不要把现成的证题方法直接教给学生。 E “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半” A BC D E E 例例1 1的教学可让学生独立思考，教师提示辅助线的的教学可让学生独立思考，教师提示辅助线的 添法，添法，让学生让学生 把自己的方法在课堂中展示把自己的方法在课堂中展示 对于课内练习对于课内练习3（第（第146页）可拓展为探究活动：页）可拓展为探究活动： （1）求证：依次连接正方形各边中点所成的四边形）求证：依次连接正方形各边中点所成的四边形 是正方形。是正方形。 （2）依次连接菱形或矩形各边中点能得到一个什么）依次连接菱形或矩形各边中点能得到一个什么 图形先画一画，再证明。图形先画一画，再证明。 （3）依次连接平行四边形各边