关于刚体的转动惯量和轴上附加压力的计算

1、 本本科科毕毕业业论论文文 题目：关于刚体的转动惯量和轴上附加压题目：关于刚体的转动惯量和轴上附加压 力的计算力的计算 目目 录录 1 引言 .1 2.质点动力学的基本定理.2 3.质点组的运动.4 4.转动惯量.5 5.转动惯量的计算.9 6.轴上的附加压力及其计算.10 7.结论.14 参考文献.15 致谢.16 关于刚体的转动惯量和轴上附加压力的计算关于刚体的转动惯量和轴上附加压力的计算 摘摘 要要：在刚体动力学中，有大量的篇幅研究刚体的转动问题，无论是 定轴转动、平面平行运动，还是绕定点的转动，其动力学方程中均含有转动惯 量。转动惯量在刚体力学中的地位，相当与在质点动力学中的质量地位相

2、当， 应用较为广泛.本文对刚体定轴转动所产生的附加压力进行浅谈，及对这问题进 行定量分析。 关键词关键词：刚体；角速度；转动惯量；附加压力。 本科毕业论文 1 1 1 引言引言 物理学家面临的是一个错综复杂、五彩缤纷的世界，他们善于根据研究需 要，找出其中最本质的内容，建立“理想模型” 。通过对理想模型行为的描述， 揭示自然规律。 在很多实际问题中，物体的形状和大小与研究的问题无关或者起的作用很 小，我们就可以在尺度上把它看做一个几何点，而不必考虑它的形状和大小， 它的质量可以认为就集中在这个点上，这种抽象化的模型，叫做质点。 现在进一步研究由大量质点组成的力学体系，质点之间是相互联系的，运

3、动规律就比较复杂，其中一个质点对另外一个相对运动时，与其他质点作用力 （或约束力）将互相发生影响，而使其他质点的运动状态也随之发生变化。我 们把由许多（有限或无限）相互联系着的质点所组成的力学体系叫做质点组 （质点系） 。 一切物体都可以看作是许多质点集合而成的。我们已经研究有关质点组 （质点的集合体）的几个基本定理和守恒定律，利用这些关系，我们一般只能 获知有关质点组运动的总趋向（列如质心的运动）和某些特征.如果要了解质点 组中任一质点究竟将如何运动，常常比较困难的，甚至是不可能的。 我们研究一种特殊质点组的运动问题。这种特殊质点组具有这样的性质， 就是在它里面如何两个质点间的距离，不因力的

4、作用而发生改变。这样特殊的 质点组叫做刚体。刚体也是质点一样。一种抽象化的理想模型。在研究问题中， 只有当物体的大小和形状的变化可以忽略不计时，才可以把它当作刚体看待。 本科毕业论文 2 2.2.质点动力学的基本定理质点动力学的基本定理 （1）动量定理 设质点的质点质量为，在外力的作用下，由牛顿运动第二定律： m （1） )( m dt d F 或 dt d F p 这个关系，通常叫做动量定理。 当时，则得到一个重要的结果：0F cmp 即自由质点不受外力的作用时，它的动量保持不变，亦即将作惯性运动， p 这个关系叫做动量守恒定律。 （2）角动量定理 由式（1）改写为 2 d r mF dt

5、两边乘上位矢r （3） Fr dt rd rm )( 2 2 其中， （4） )()( 2 2 2 r dt d dt rd dt rd dt rd r dt d dt rd r 式（4）代入式（3） （5） Frmr dt d )( 如果把上式写成分量形式，则得 本科毕业论文 3 （6） xy zx yz yFxFxyyxm dt d xFzFzxxzm dt d zFyFyzzym dt d )( )( )( 以上式（5）或式（6）的右边表示外力作用于一个质点时，外力对某一个 固定点的力矩，左边是质点对惯性系中固定点或某固定轴线的动量矩对时间的 微商，等于作用在该点上的力对此同点或同轴的力

6、矩。 如果令代表角动量，代表力矩，则上式还可以写成更简洁的形式：J M （7） M dt Jd 这个关系表示质点动力学中力矩与角动量的线性关系，称为角动量定理。 (3) 动能定理 我们还是从动力学方程（1）出发，并式（1）的两边乘，则 dt rd （8） 2 1 () 2 dmFdr 式（8）中的是力对对质点所做的元功，左边是与质点速度有drF F 关的能量，叫动能。 根据以上讨论，三个基本定理都与质量有关或它都与质点的惯性有关。 在这里讨论的质点，不必考虑它的转动问题，故平动运动中产生的惯性以外没 有任何原因而产生的惯性问题。若研究对象改为 n 个质点组的质点系，则情况 更复杂。因为质点组的

7、每一个受到除了外力的作用以外还有内力，故下面我们 进行讨论。 本科毕业论文 4 3.3.质点组的运动质点组的运动 根据前面的讨论，我们知道：解决质点动力学问题，一般是从牛顿定律出 发，但可以从几个动力学基本定理出发，特别是在一定条件下，可以直接从守 恒定律出发，从而使问题简化。 在质点组动力学中，原则上可以用隔离体法，写出质点组中每一质点的运 动微分方程。但如果质点组的质点数目较多，那么利用牛顿运动定律解题时， 每一质点有三个二阶微分方程，故将得出数目繁多的二阶微分方程组，难于进 行解算。此外，内力一般是未知量，更增加了问题的复杂性。但如果利用动力 学基本定理，则对整个质点组来讲，常可将这些未

8、知的内力消去（动能定理除 外） ，而得到整个质点组在外力作用下运动的某些特征。 既然是这样，对整个质点组运用动力学基本定理时，我们发现：在质点组 中恒存在一特殊点，它的运动很容易被确定。如果以这个特殊点作为参考点， 又常能使问题简化。我们把这个特殊点叫做质点组的质量中心，其坐标为： （9） n i i n i ii c m rm COr 1 1 显然质点组的运动规律非常复杂。但是以上讨论的特殊点的运动规律与质 点的运动规律完全相似，故质心的运动规律为： （10） n i i i n i e i c FF dt rd m 1 )( 1 )( 2 2 因为由牛顿第三定律得，内力的矢量之和等于零。

9、则 （11） n i e i c F dt rd m 1 )( 2 2 而角动量，分别表示对固定点（固定轴）和质心的角动量 (12) M dt J d 本科毕业论文 5 (13) M dt Jd 在以上讨论中，可以看没有发现质量的分布而引起的问题，只考虑质量问 题。之所以惯性还是质量问题。 若研究问题中运动的情况与除了质量以外，还有质量分布问题的话，情况 更复杂。下面在进一步研究质量和质量分布问题。 4.4.转动惯量转动惯量 我们曾讲过：一切物体都可以看作是许许多多质点集合而成的。我们已经 研究了有关质点组的（质点的集体合）的基本定理和守恒定律，利用这些关系， 我们一般只能获知有关质点组运动的

10、总趋向（列如质心的运动）和某些特征。 如果要了解质点组中任一质点究竟将如何运动，常常是比较困难的，甚至不可 能的。 下面我们将研究一种特殊质点组的运动问题。这种特殊的质点组具有这样 的性质，就是在它里面的任何两个点间的距离，不因力的作用而发生改变。这 种特殊的质点做刚体。 因为刚体由大小，形状的质点组，那么它的受力情况比较复杂，必须使用 力系的简化，比如，汇交力系、平行力系和空间一般力系。另外刚体运动时， 它的惯性问题与质量以外还有质量分布也有关系。 力作在刚体上时，如果的作用线通过刚体的质心时，刚体要平动，力的作 用线不通过刚体的质心，那刚体要转动。上述两个运动是刚体基本的运动，刚 体的其他

11、更复杂的运动，列如刚体的平面平行运动、定点运动、和一般运动， 都可以看作是刚体的基本运动以不同方式合成的复合运动。 一切对于运动的描述必须相对确定的参考系才有意义。同一物体的运动相 对不同的参考系可表现为不同的运动状态。当选定某个参考系为定参考系以后， 其他相对参考系运动的参考系就成为动参考系。物体相对于定参考系的运动可 看作是物体相对于动参考系运动和动参考系相对于定参考系运动的合成。质点 系的动量可表示为或，刚体为不变质点系，此二式仍适用。 ii mp c mp 但刚体内任意二质点距离不变，故质心相对于刚体的位置亦不变，对刚体来说， 用表示动量更方便。 c mp 取刚体的质心为简化中心，把质

12、点组的质心运动定理和对质心的动量矩定 理应用到刚体上，就是刚体运动微分方程，即 本科毕业论文 6 (14) Fam c (15) dJ M dt 可以看以上（11）和（14）及（15）相对应，但是在这里不同的是质量分布问 题。 刚体对固定点的动量矩为， 整个刚体对的动量矩为刚体中各个质点同一o 点的动量矩的矢量和为：o n i iii mrJ 1 )( （16） 因为 ii r 故 )( 1 ii n i i rrmJ 即 （17） 2 1 () n iiii i Jmrrr 上式告诉我们，动量矩一般并不与角速度共线。在平动中，动量J 与线速度总是共线的。P 动量矩的表达式可以写成为：J （1

13、8） )( )( )( 22 111 1 22 11 11 22 1 ii n i izii n i iyii n i ixz ii n i izii n i iyii n i ixy n i iiizii n i iyii n i ixx yxmyzmxzmJ zymxzmxymJ zxmyxmzymJ x y z i i i r i p o 本科毕业论文 7 式（18）中 （19） ii n i iyxxy ii n i ixzzx ii n i izyyz ii n i izz ii n i iyy ii n i ixx yxmII xzmII zymII yxmI xzmI xymI

14、1 1 1 22 1 22 1 22 1 )( )( )( 式（19）代入式（18） （20） zzzyzyxzxz zyzyyyxyxy zxzyxyxxxx IIIJ IIIJ IIIJ 式（20）中也无法表示转动惯量的物理量。那么转动动能的表达式为： (21) JT 2 1 因为 kJjJiJJ kji zyx zyx 代入式（12） （22）)222( 2 1 222 yxxyxzzxzyyzzzzyyyxxx IIIIIIT 本科毕业论文 8 又把动能表达式为： )()( 2 1 n 1i iii rrmT iiir m 2 n 1i 22 sin 2 1 在图 1 中令 222 s

15、in iii r 则 (23) n 1i 22 2 1 ii mT 质点的动能为： 2 2 1 mT 式（23）表示刚体的转动动能，那么式（23）中的表示刚体的转动 n 1i 2 ii m 惯量。可以看在这里的惯性是与质量和质量对某一个瞬轴的距离有关系，把这 样的物理量称为转动惯量，则表示为 （24） 2 n 1i ii mI 故， （25） 2 2 1 IT 5.5.转动惯量的计算转动惯量的计算 1.直接法 对质量的均匀分布（或按一定规律分布） ，且形状规律的刚体，我们可 本科毕业论文 9 把（19）式改写为定积分形式（一般是重积分） ，即 式中的、是质点离轴、轴和轴的垂直距离的）（ 22

16、zy ）（ 22 xz ）（ 22 yx xyz 平方。故就叫刚体对轴、轴和轴的转动惯量。 ，至于、和 zzyyxx III,xyz yz I zx I 含有两个坐标乘项，所以叫做惯量积。 xy I （2）椭球法 式（22）和式（25）相比，并， x y z 则： （26） xyzxyzzzyyxx IIIIIII222 222 zzzyzx yzyyyx xzxyxx III III III 为了消去惯量积，一般是采用下面的方法。如果我们在转动轴上，截取一线段 OQ,考虑到并，则代入式（26）OQR I 1 RzRyRx, 1222 222 xyIxzIyzIzIyIxI xyxzyzzzy

17、yxx 3惯量主轴法 因为式中、 是 x,y,z 的函数，那么、 是常数。 xx I yy I zz I xx I yy I zz I 考虑作为常数和对称轴（消去 6 个惯量积）方程改为： zzyyxx III, 1 222 zIyIxI zzyyxx 本科毕业论文 10 椭球改为球体， （26）改为： 1)( 222 zyxI 6.6.轴上的附加压及其计算轴上的附加压及其计算 （1）轴上的附加压力 我们也可以把刚体绕固定轴的转动，看做等价空间两点和保持不动时AB 刚体的运动（因为两点可以决定一条直线，这 条直线就是转动轴） 。这就可用去掉约束代以约 束反力的方法，即同时用动量定理和动量矩定

18、理来确定运动规律和作用在，两点的上的AB 约束反力。 在图 8.1 中和代表作用在固定点 A N B N 和上的约束反力（、处设为轴承） ，而ABAB 、 、则代表作用在刚体上的主动 1 F 2 F n F 力。令转动轴为轴，则可设在坐标轴ABz A N 上的分量为、和，而的分量为 Ax N Ay N Az N B N 和。 Bx N By N 由动量定理和对点的动量矩定理，得A 3 F n F x y z A 2 F 1 F B Bx N Az N Ax N Ay N By N O i R 本科毕业论文 11 （27） n i ixiiii n i i n i iyBxiiii n i i

19、n i ixByiiii n i i n i izAzi n i i n i iyByAyi n i i n i ixBxAxi n i i Mxyyxm dt d MNABzxxzm dt d MNAByzzym dt d FNzm dt d FNNym dt d FNNxm dt d 11 11 11 11 11 11 )( )( )( 因常数（图 2） iiiii zRyRx,sin,cos 故 0, 0 , , 2 2 ii iiiii iiiii zz xyyxy yxxyx 把这些代入式（27） ，并利用质心坐标公式、式（19） ，于是式（27）就简化为 （28） yBxyzzx

20、xByzxyz n i ixAx n i iyByAycc n i ixBxAxcc MNABII MNABII FN FNNmxmy FNNmymx 2 2 1 1 2 1 2 0 zzz MI 式中和是质心的坐标，、和是惯量系数，而和则 c x c y zx I yz I zz I, xy MM z M 主动力对三坐标轴的合力矩。 式（27）中的最后一式并不含有约束反力，因而就是刚体绕固定轴转动动 本科毕业论文 12 力学方程，这与式（28）完全一样，而其余五式，则可用来求约束反力的五个 分量和。 BxAzAyAx NNNN, By N 如果，则式（28）中左端各项均等于零。因而头五式就是

21、通常的0 平衡方程，而最后一式，因不含有约束反作用力，所以是平衡条件。 当时算出来的,跟时所算出的完全不同，有时00， BA NN ,0 且可差得很远。前者是动反作用力，而后者是静反作用力。因此，刚体在绕固 定轴转动时，对轴承就有附加压力出现，这些附加压力是由于刚体转动时产生 的惯性力所引起的。 如果刚体转动时不在轴上产生附加压力，即在同样主动力作用下，动 力反作用力与静力反作用力相等，则其充分条件是时，式（28）00， 中的左边等于零。这样，有 0 0 2 2 cc cc yx yx 及 0 0 2 2 zxyz zxyz II II 这是以、及和为未知的二元一次方程，但它们的系数行列式在

22、c x c y yz I zx I 转动是都不等于零，故、和必须同时为零，即刚体的重心在转动 c x c y yz I zx I 轴上，而且转动轴是惯量主轴。这时，我们就说这样的刚体已达到了平衡，而 这时转动轴则叫做自由转动。这时即使取消了约束，刚体还是会绕着继续转动。 （2）附加压力的计算 列：涡轮可以看作是一个均质圆盘。由于安装不善，涡轮转动轴与圆盘 面发线成交。已知涡轮圆盘的质量为 20，半径 r=0.2m,重心 O 在转轴 o 1 上，O 至轴承 A 和 B 的距离各为 a=b=0.5m .设轴以 12000r/min 的角速度匀速转 动时，试求轴上某一时刻的最大压力？ 解：选取坐标系

23、轴如图 3 所示。图中 x,y,z 是固定的坐标轴，而 x,y, z则为几何对称轴。并设在图示的瞬时，y和 y 正好重合。 因 x,y(y),z是几何对称轴，而重心 O 在转轴上，故 ，又，故如以 O 为参考点，则由0, 0 yzxzzycc IIIyx0,0 Ax N 式（28）得 本科毕业论文 13 （29） BxAxxx ByAy ByAy BxAx bNaNI bNaN NN mgNN 2 0 0 0 Ay N Ax N Bx N By N A B O yy, P yy, a b i P x x z z O z z x x 现在来求。由坐标变换关系（图 4） ，知 zx I cossi

24、n sincos iii iii zxz zxx 故 ii n i ixx xzmI 1 本科毕业论文 14 （30） 2sin)( 2 1 2sin)()( 2 1 cossin)( )cossin)(sincos( 22 11 22 2 11 2 1 xxzz ii n i i n i iii i n i n i iii iiii n i i II yxmyzm xmzm zxzxm 对于均质圆盘 22 2 1 , 2 1 mrImrI xxzz （31）2sin 8 1 2 mrIzx 解（29）式的诸式，并利用（31）式的结果，最后得 （32） 2sin 1 8 1 2sin 1 8 1 0 22 22 mr baba mbg N mr baba mbg N NN B