力距 转动定律 转动惯量

1、4-3 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量 P z * O FdFrM z sin M F r d : 力臂力臂d 刚体绕刚体绕 O z 轴旋转轴旋转 , 力力 作用在刚体上点作用在刚体上点 P , 且且在转动在转动 平面内平面内, 为由点为由点O 到力的到力的 作用点作用点 P 的径矢的径矢 . F r FrM 对转轴对转轴 Z 的力矩的力矩 F 一一 力矩力矩 M z O k F r 讨论讨论 FFF z FrkM z sin rFM z z F F 1）若力若力 不在转动平面内，把力分解为平行和垂不在转动平面内，把力分解为平行和垂 直于转轴方向的两个分量直于转轴方向的两个分量

2、F 2）合力矩等于各分力矩的矢量和合力矩等于各分力矩的矢量和 321 MMMM 其中其中 对转轴的力矩为零，对转轴的力矩为零， 故故 对转轴的力矩对转轴的力矩 z F F zzzz MMMM 321 定轴转动定轴转动 先确定转动方向，先确定转动方向， 再确定再确定力矩的正负。力矩的正负。 3） 刚体内刚体内作用力作用力和和反作用力反作用力的力矩互相的力矩互相抵消抵消 jiij MM j r i r i j ij f ji f d O ij M ji M 4）力矩的单位只能用牛顿力矩的单位只能用牛顿 米，而不能用焦耳。米，而不能用焦耳。 O r m z 二二 转动定律转动定律 F t F n F

3、 t rFrFMsin mrmaF tt 2 iiii rmMM 内 2）刚体刚体 质量元受质量元受外力外力 ，内力内力 i F i f M 1）单个质点单个质点 与转轴刚性连接与转轴刚性连接m 外外力矩力矩内内力矩力矩 2 mrM 2 t mrrFM O z i m i r i F i f 刚体定轴转动的刚体定轴转动的角加速度角加速度与它所受的与它所受的合外力矩合外力矩成成 正比正比 ，与刚体的，与刚体的转动惯量转动惯量成反比成反比 . 定轴转动定律定轴转动定律IM 2 i i ir mI 转动惯量转动惯量: 2 iiii rmMM 内 i ii i i i i rmMM 2 内 0 i i

4、 M内 i ii i i rmM)( 2 O z i m i r i F i f mrIrmI i i i d , 22 三三 转动惯量转动惯量 转动惯量的物理转动惯量的物理意义意义：转动惯性的量度：转动惯性的量度 . 1、与转动惯量有关的因素：、与转动惯量有关的因素： 刚体的质量刚体的质量 转轴的位置转轴的位置 刚体的质量分布刚体的质量分布 环环:质量质量m、半径、半径R， .o 盘盘:质量质量m、半径、半径R， .o I大大I小小 木木铁铁 o o I大大 I小小 ：质量元：质量元md 质量连续分布刚体的转动惯量质量连续分布刚体的转动惯量 mrrmI j j j d 22 2 对质量线分布

5、的刚体：对质量线分布的刚体： ：质量线密度：质量线密度 lmdd 线分布线分布 2 对质量面分布的刚体：对质量面分布的刚体： ：质量面密度：质量面密度 Smdd 面分布面分布 2 对质量体分布的刚体：对质量体分布的刚体： ：质量体密度：质量体密度 Vmdd 体分布体分布 对对AA 轴的转动惯量轴的转动惯量 222 422 mamamaI AA 37 0.8a 0.6a a a aa A A B B 2m2m m m 对对BB 轴的转动惯量轴的转动惯量 222 22)8 . 0(22)6 . 0( maamamI BB 例例1 i iir mI 2 l O O 解解 设棒的线密度为设棒的线密度为

6、 ，取一距离转轴，取一距离转轴 OO 为为 处的质量元处的质量元 r rmdd l rrI 0 2d rd 3 2/ 0 2 12 1 d2lrrI l 2 3 1 ml r rrmrIddd 22 例例2 一一质量为质量为 、长为长为 的的均匀细长棒，求均匀细长棒，求 通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 . m l rd 2l2l O O 2 12 1 ml 如转轴过端点垂直于棒如转轴过端点垂直于棒 试比较大小试比较大小 例例3 一质量为一质量为 m, 长为长为 L 的的均质空心圆柱体均质空心圆柱体（即圆筒）（即圆筒）,其其 内、外半径分别为内、外半径分别为

7、 R1 和和 R2 。求对几何轴。求对几何轴 oz 的转动惯量的转动惯量 . z o rrd2dS 解：解： )( 2 1 2 2 RRL m 薄圆薄圆柱壳的体积柱壳的体积 ,d2drLrV 薄圆薄圆柱壳的质量柱壳的质量 Vmdd 薄圆薄圆柱壳对柱壳对oz 的转动惯量的转动惯量 dd 2 mrIzrrLrLrrd 2d 2 32 2 1 d 2 3 R R z rrLI )( 2 1 4 1 4 2 RRL 因与因与L无关，所以该式也是无关，所以该式也是均质圆环对均质圆环对oz 的转动惯量。的转动惯量。 )( 2 1 2 2 2 1 RRmI z 均质圆筒对均质圆筒对oz 的转动惯量的转动惯量

8、 讨论：讨论： （1）若内）若内半径半径R1 =0，得，得均质实心圆柱体对均质实心圆柱体对oz 的转动惯量：的转动惯量： 2 2 2 1 mRI z （2）若）若圆筒壁很薄圆筒壁很薄R1 R2 = R, 得得薄圆筒对薄圆筒对oz 的转动惯量：的转动惯量： )( 2 1 2 2 2 1 RRmI z 2 mR 均质圆盘对均质圆盘对oz 的转动惯量的转动惯量 均质细圆环对均质细圆环对oz 的转动惯量的转动惯量 2 mdII C 四四 平行轴定理平行轴定理 正交轴定理正交轴定理 P 转动惯量的大小取决于刚体的转动惯量的大小取决于刚体的质量、形状及转轴的位置质量、形状及转轴的位置 . 质量为质量为 的

9、刚体的刚体，如果对如果对 其质心轴的转动惯量为其质心轴的转动惯量为 ， ，则 则 对任一对任一与该轴平行与该轴平行，相距为相距为 d 的转轴的转动惯量的转轴的转动惯量 C I md C O m 注意注意 22 2 1 mRmRI P 例：例：圆盘对圆盘对P 轴的转动惯量轴的转动惯量 RmO 1. 平行轴定理平行轴定理 例例4 右图所示刚体对经过棒端右图所示刚体对经过棒端 且与棒垂直的轴的转动惯量如且与棒垂直的轴的转动惯量如 何计算？何计算？(棒长为棒长为L、质量为、质量为mL , 圆圆盘盘半径为半径为R、质量为、质量为m0） 2 1 3 1 LmI L ）（其中 2 2 1 RmI oo 2

10、002 dmII 222 21 )( 2 1 3 1 RLmRmLmIII ooL O 解：直杆部分对解：直杆部分对O轴转动惯量轴转动惯量 圆盘部分对圆盘部分对O轴转动惯量轴转动惯量 飞轮的质量为什么飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘？大都分布于外轮缘？ 2. 正交轴定理正交轴定理 对薄板状刚体：对薄板状刚体：对对板面内相互垂直的两个定轴板面内相互垂直的两个定轴的转动惯量之和的转动惯量之和 等于该刚体对通过两轴交点且垂直于板面的定轴的转动惯量。等于该刚体对通过两轴交点且垂直于板面的定轴的转动惯量。 yxz III 例例5：细圆环，已知均质细圆环对过中心垂直于环面的转动惯量为：细圆环，已知均质细

11、圆环对过中心垂直于环面的转动惯量为： 2 mRI 对其直径的转动惯量为对其直径的转动惯量为 2 2 1 mRI 回旋半径回旋半径 R回： 回： 2 回回 mRI 五五. 转动定律的应用转动定律的应用 选择选择隔离体隔离体：平动物体、转动物体。：平动物体、转动物体。 受力分析：对转动物体分析力矩；对平动物体分析力。受力分析：对转动物体分析力矩；对平动物体分析力。 绘绘出示力图。出示力图。画出隔离体的画出隔离体的加速度方向加速度方向； 先用文字符号求解，后带入数据计算结果先用文字符号求解，后带入数据计算结果. 取坐标系，取坐标系，坐标轴尽量顺着运动方向坐标轴尽量顺着运动方向； 对转动物体对转动物体

12、列列转动定律转动定律方程，方程， 对平动物体应用对平动物体应用牛顿第二定律分量式方程；牛顿第二定律分量式方程； 找出平动物体、转动物体之间的联系；找出平动物体、转动物体之间的联系； 利用其它的约束条件列利用其它的约束条件列补充方程补充方程； 解：解：动力学关系动力学关系 对轮：对轮：TRI (1), 对对：mmg T ma (2) 转动定律应用举例 定轴定轴O R t h m v0=0 绳绳 m mg T = - T a T G R N 已知：已知： R =0.2 m， m =1 kg ， h =1.5 m，绳轮无相对滑动，绳轮无相对滑动， 绳不可伸长，下落时间绳不可伸长，下落时间t t= =

13、3s s 求：轮对求：轮对o o轴的转动惯量轴的转动惯量 0 0 例例 运动学关系：运动学关系： a R (3) hat 1 2 2 (4) (1)(4)联立解得：联立解得：I gt h mR () 2 2 2 1 ( . . ). 983 215 1102114 2 22 kgm 对对：m (2) maTmg 对轮：对轮： (1) ITR 例例 一根长为一根长为l、质量为质量为m的均匀细直棒，其一端有一固定的均匀细直棒，其一端有一固定 的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止 在水平位置，求它由此下摆在水平位置，求它由此下摆角时的角

14、加速度和角速度角时的角加速度和角速度。 （已知棒对（已知棒对O轴的转动惯量为轴的转动惯量为 ） 2 3 1 mlI O x 解：解：（1）计算棒所受重力对计算棒所受重力对O轴的力矩轴的力矩 棒在下摆任意棒在下摆任意角时，质元角时，质元dm所受重所受重 力对力对O轴的力矩大小是轴的力矩大小是mgxd 棒所受重力对棒所受重力对O轴的力矩轴的力矩 mgxMd m mx mg d C mgx 说明：重力对整个棒的合力矩和全部重力集中作用于说明：重力对整个棒的合力矩和全部重力集中作用于 质心质心所产生的力矩一样。所产生的力矩一样。 gm d gm x xC C md + （2）计算棒在下摆任意）计算棒在

15、下摆任意角时的角时的角加速度和角速度角加速度和角速度 cos 2 l xC由于由于 ， cos 2 1 mglM 由转动定律得棒的角加速度由转动定律得棒的角加速度 l g ml mgl I M 2 cos3 3 1 cos 2 1 2 dcos 2 3 dd 000 l g d d d d d d d d tt 注意 l g sin3 棒在下摆任意棒在下摆任意角时的角时的角速度角速度 O . 0 0 水平面水平面 例：例：在粗糙的平面上，有一长为在粗糙的平面上，有一长为L的均匀细棒，它以角速度的均匀细棒，它以角速度 0 0 绕绕 其一端其一端 O 点且垂直于该平面的转轴转动。若细棒与粗糙平面之

16、间的点且垂直于该平面的转轴转动。若细棒与粗糙平面之间的 滑动摩擦系数为滑动摩擦系数为 m m 。求此细棒停止其转动花多长的时间。求此细棒停止其转动花多长的时间。 分析：分析：MIM dt d tt )( 解：解：（1）求摩擦力矩）求摩擦力矩 rdf d r rmdd mgfddmdrmg frM f dddrrgm drd 0 rgMM L ff m 2 2 L gm 2 L mgm + + 2/ )/( CBA fBA T1 mmm RMgmm F 2 )2( CBA fCAB T2 mmm RMgmmm F 2/ CBA fB mmm RMgm a A B C A m B m C m T1

17、 F T2 F JMRFRF fT1T2 amF AT1 amFgm BT2B Ra 例例 一长为一长为 质量为质量为 匀质细杆匀质细杆竖直放置竖直放置，其下端，其下端 与一固定铰链与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动相接，并可绕其转动 . 由于此竖直放置由于此竖直放置 的细杆处于的细杆处于非稳定平衡状态非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细，当其受到微小扰动时，细 杆将在重力作用下由静止开始绕铰链杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转动转动 . 试计算细试计算细 杆转动到与竖直线成杆转动到与竖直线成 角时的角加速度和角速度角时的角加速度和角速度 . lm 解解 细杆受重力和细杆受重力和 铰链对细杆的约束力铰链对细杆的约束力 作用，由转动定律得作用，由转动定律得 N F Im