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1、共27页 河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业论文 第27页 图像去噪模型中的差分格式研究康清宇河南理工大学数学与信息科学学院信息与计算科学专业2011级1班摘要： 随着电子产品的普及，数字图像处理成为应用数学和计算机科学技术交叉领域的一门新学科，其中图像去噪方向一直是这个新学科的研究热点。传统的图像去噪算法有很多，比如算数均值滤波、几何均值滤波、谐波均值滤波、统计排序滤波，在这些算法中噪声信息去除和细节信息保护是一对不可调和的矛盾。这些去噪算法在去除噪声的同时，不仅会破坏图像的边缘、还会破坏纹理等细节特征。基于偏微分方程的图像去噪算法，能够对图像进行选择性平滑，较好的平衡两者之间的矛盾，是

2、一类很有发展前景的图像去噪方法。 本文首先讨论了线性均匀扩散模型(热传导扩散方程模型),全变分去噪模型(TV模型)、非线性各向异性扩散方程模型(P-M模型)。然后研究了各个模型显式差分格式、交替方向隐格式。接着通过对同一图像加噪、去噪实例，对比了显式差分格式、显隐差分格式的峰值信噪比、两种格式的稳定性、计算时间。最后得出结论：显隐差分格式是无条件稳定的。显隐差分格式无论在计算速度上、还是计算效果上，都比显式格式好。即对于同一模型，隐式差分格式比显式差分格式效果好。 关键词：图像去噪;偏微分方程;差分格式;交替方向隐格式;峰值信噪比1 引言 1.1 图像处理简介1.1.1 图像处理的应用当代社会

3、已经进入了信息高速发展的时代，信息的获取、加工、传输遍布在现代社会的各个方面。据相关部门统计表明，人类从外界获得的信息有四分之三来自视觉系统，也就是从各种图像中获得的。图像是自然界景物的客观反映，因此人类为了更好地认识世界和改造世界，必须掌握图像处理技术这个重要工具。图像广义上定义就是用各种观测系统以不同手段和形式观测客观世界而获得的，可直接或间接作用于人的肉眼并进而产生视觉的实体。图像信息包含光通量分布和人类视觉的主观感受。具体来说，人的视觉系统就是一个可以观测的系统，通过它得到的图像就是客观景物在人眼中形成的景象。当代计算机网络技术得到了空前的发展，人们所面对的图像大多数是离散化的数字图像

4、，数字图像就是以数字的形式存储在计算机中。计算机对数字图像的处理操作称为数字图象处理。伴随着计算机速度、大规模存储容量、网络和通信速度的飞速提高和显示系统的逐步成熟，数字图象处理已经发展成为一门重要的学科。图像技术被应用到各个领域，不仅涉及到工业、生物、医学农业，还涉及到航空、通信通讯、智能机器人等众多方面。数字图像在传输和获取等过程中，会因受到噪声的干扰，降低图像质量。数字图像处理通常分为三部分：图像理解、图像分析和图像处理。而其中的图像去噪是图像处理中的一项基本步骤，在图像处理领域占据不可代替的位置。因此，为了抑制噪声、改善图像质量，对图像进行去噪就成为了图像处理的关键步骤之一。 1.1.

5、2 图像噪声简介图像噪声分布很广泛，比如说无线电中的静电干扰、电视上的雪花；现实中的数字图像在数字化和传输过程中时常受到成像设备与外部环境噪声干扰等影响，都称之为含噪图像或噪声图像；数码相机、平板电脑等数码设备产品已经在人们的生活中普及。然而，由于拍摄条件、拍摄者的技术以及数码产品摄取设备、输出设备、传输设备的限制，人们所获得的图像并不能很好地贴合人眼直接观察到的图像，经常会引入不同程度的噪声污染；图像信号在处理过程中，经常会受到各种噪声的影响，对图像的质量有一定损害。噪声一般被定义为影响人的可视感觉，或阻碍系统传感器对所接受的图像原信息进行分析的各种因素，也可以理解成真实信号与理想信号之间的

6、偏差。以上这些现象都是信号受到了噪声的污染。虽然噪声的产生有时候有一定的规律，但是有时却没有准确的规律。由于图像在形成、传输、接受和处理的过程中或多或少的存在着外部干扰和内部干扰，比如光电转换过程中敏感元件灵敏度不均匀性、数字化过程的量化噪声、传输过程中的误差以及人为因素等，均会存在着一定程度的噪声干扰。噪声不但降低了图像质量，使图像变得模糊，甚至会淹没图像特征，这给后面的图像区域分割、分析判断等工作带来了困难。因此，在图像的预处理阶段去除噪声是图像处理中的一个重要的内容。图像的去噪技术有两个目的：一是消除噪声；二是增强或保护图像边缘信息。实际应用中，这两个目的要得到很好的兼顾，这要保证经过去

7、噪处理后的图像能够与原始无噪声图像很接近。1.1.3 噪声的来源根据噪声的来源可将噪声分为内部噪声和外部噪声。1.外部噪声。外部噪声是指获取数字图像的系统之外的因素产生的噪声。例如光照对数字图像成像的影响，自然界存在的各种电磁波源的影响的等等。2.内部噪声。内部噪声是指获取数字图像的系统之内的因素产生的噪声。例如图像在输入、采集过程中获取数字图像设备本身所产生的各种噪声等。1.1.4 噪声分类根据噪声幅度的统计分布特征，可将噪声分为如下几类1： 1.高斯噪声。高斯噪声是指噪声幅度满足高斯分布密度函数的噪声，实际情况中大多数噪声可近似高斯噪声，而且在数学方面对高斯噪声也容易处理分析，因此它是许多

8、数字图像实验的噪声模型。设随机变量满足高斯分布，则其概率密度函数为： (1.1)其中是图像的灰度值，是的期望，表示的标准差。2.椒盐噪声。椒盐噪声又称脉冲噪声，其主要形成于图像呈像中的短暂停留。错误的开关操作会引起这种噪声，其概率密度函数如下： (1.2)在图像中，如果，则灰度值为在图像中显示为一个亮点，灰度值为在图像中将显示为一个暗点。3.瑞丽噪声。瑞丽噪声是指随机变量满足瑞丽分布，其概率密度函数为： (1.3)其均值和方差为： (1.4)4.泊松噪声。如果是一个离散变量，其取值为那么其分布可以用分布来描述： (1.5)的均值和方差为：。医学CT图像中的噪声就可以用播送分布来描述。 (a)原

9、图 (b)高斯噪声图像 (c)椒盐噪声的对比 (d)泊松噪声图1-1 lena原图与各种噪声加噪声图1.2 图像去噪模型介绍1.2.1 传统的去噪模型在一幅图像中，图像可表示为：令表示原图像，表示图像所加的噪音。是我们看到的加噪图像。图像复原的目的就是得到对原始图像近似的估计。传统的去噪模型有如下几种2：1.算术均值滤波这里我们用表示尺寸为的矩形子图像，中心点为。计算过程是计算区域中的平均值，然后用这个平均值赋值给 (1.6)算数均值滤波的缺点是在减少噪音的同时也模糊了图像。2.几何均值滤波几何均值滤波去噪的算法方程如下： (1.7) 与算术均值滤波相比，这个方法丢失较少图像细节，但是仍然会造

10、成一定的图像模糊。3.谐波均值滤波 (1.8)谐波均值滤波的特点是：适用于处理高斯噪音，但是处理胡椒噪音效果不好。4.中值滤波（统计排序滤波类）：该方法就是用以像素为中心的邻域中的像素灰度中值来表示 (1.9)5.最大值最小值滤波（统计排序滤波类）统计学中，除了中值排序外，还有其他方法，比如取最大值来代替中值 (1.10)同样也可以采用最小值： 以上几种传统的空间域去噪方法：算术均值滤波，集合均值滤波，谐波均值滤波，中值滤波，最大值最小值滤波。这些方法理论发展的较为成熟，数字分析简单，对滤波与信号不相关的噪音效果较明显，但本身存在着明显的缺陷，需要知道噪音的先验统计知识，不能保留图像细节等。这

11、些方法在除噪音的同时一般都会损失目标图像中的高频信息，引起边缘和纹理的模糊。所以在去噪的过程中，存在抑制噪音和保留边缘之间的矛盾，为了解决两者之间的矛盾，近年来提出了一种新的有效地去除噪音，保留边缘的方法偏微分方程的方法，基于偏微分方程的图像去噪方法使图像处理领域迈向了一个新的台阶3。1.2.2 现代图像去噪方法在图像处理领域，采用偏微分方程方法是近些年发展起来的新兴领域。现已积累了丰富的研究成果，并显示出强大的生命力。一方面得益于偏微分方程作为基础数学的一个重要分支，即已经形成的理论体系和微分方程数值方法；另一方面也得益于传统的图像处理技术所积累的经验。偏微分方程主要针对底层图像处理，在图像

12、去噪方向取得了令人满意的效果。偏微分方程具有各向异性的特点，应用在图像去噪中，既可以去除噪音，又能保持边缘。基于图像去噪模型的发展中出现了许多的主流模型，本文结合研究内容列举了其中的几个典型模型。1.3 图像去噪模型的评价标准去噪效果的评价标准，通常从两个方面去评判：一、目测法，用人的眼睛观察，这种方法虽然具有一定的主观性，但是一种去噪模型是否具有实用性，首先要通过眼睛的考验；二、根据一些客观的评价标准，这里定义了一些评价优劣的计算公式。设是大小为的图像，为处理后的图像，下面定义了去噪模型的三个客观评价依据：1.信噪比。信噪比的单位是分贝，其定义为： (1.11)去噪后，信噪比越大，则表明去噪

13、效果越好4。2.峰值信噪比。设图像的分辨率为，则峰值信噪比为： (1.12) 去噪后，峰值信噪比越大，则表明去噪效果越好。3.均方根误差。均方根误差是指去噪后的估计信号与原始信号之间的均方误差。定义如下： (1.13)均方根误差为开方，即 (1.14)均方误差越小，则去噪图像与原始图像的近似度越高，即去噪的效果越好。2基于偏微分方程的图像去噪模型2.1 线性均匀扩散模型2.1.1 模型的建立线性均匀扩散模型，即常见的热传导扩散方程。使用偏微分方程处理图像是根据运动的观点进行研究的，这可以追溯到热传导方程的初始值问题:5： (2.1)此方程的解可以表示为函数与的卷积，即 (2.2)其中：是高斯函

14、数，其中代表一个尺度参数。为了求解这个微分方程，取空间步长和时间步长，其中都是自然数。用两足平行直线和将矩阵域分割成矩阵网格，网格节点为。以表示网格内点集合，即位于开矩形的网点集合；表示所有位于闭矩形的网点集合；是网格界点集合,如下图。图2-1 热传导方程网点集合其次，用表示定义在网点上的函数，。2.1.2 向前差分格式用适当的差商代替热传导方程中的偏微商，即可得到最简单的差分格式：向前差分格式，即显格式6。 (2.3) ，其中。以表示网比。为了便于计算，将第层值在等式右边，第层值在等式左边，即可得到 (2.4)取，利用初值和边值，根据上式算出第一层，由上式取，又可利用和边值，由上式算出。同样

15、的方法逐渐计算下去，即可逐层求出所有，并视为精确解的近似值。由于第层值通过第层值来计算，无需解线性代数方程组，如此的差分格式成为显格式。将上式看成网点处的差分方程，它联系第层的点和第层的点，其分布如图所示四个点：2.1.3 向后差分格式 向前差分格式虽然计算简单，但是效果并不是最好的。下面我们来研究向后差分格式，即隐格式7。 (2.5)其中。将上式改写为 (2.6)令则可利用和边值确定，利用和边值确定，以此类推。现在第层的值不能用第层值明显标示，而是由线性代数方程组（2.1.6）确定，如此的差分格式成为隐格式。2.1.4 交替方向隐格式取空间步长，时间步长，作两组平行于坐标轴的网线：，将区域分

16、割成个小矩形。第一个交替方向隐格式法是和提出的，他们把由第层到第层计算分成两步：先由第层到第层，对用向后差分逼近，对用向前差分逼近，然后由第到第层，对用向前差分逼近，对用向后差分逼近，于是得到如下交替方向隐格式格式8：， ， (2.7)其中j,上标用表示取值。假定第层的已求得，则由上第一个式子求出，这只需按行解一些具三对角系数矩阵的方程组；再由上第二个式子求出，这只需按列解一些具三对角系数矩阵的方程组，所以计算是容易实现的。对任何，故交替方向隐格式法绝对稳定。总之，在计算量、阶段误差的阶和稳定性方面，交替方向隐格式法都是很好的。表2-1 热传导去噪方程显格式与隐格式对比差分格式峰值信噪比（PS

17、NR）均方根误差（MSE）时间热传导方程显格式19.4873231.93847.8691热传导交替方向隐格式22.0284193.54322.1865 (a)原图 (b)加躁图 (c)去结果噪图 图2-2 热传导方程去噪效果 2.2 全变分去噪模型2.2.1 模型的建立 全变分去噪模型是由等人提出的，是一种比较理想的模型。可用下式表示9： (2.8)设表示一幅灰度图像，灰度值为。引入时间因子，其中为变化过程中的图像。通常依赖于图像及空间上的一阶和二阶导数。原始图像为初始条件。偏微分方程的解即给出了时刻的图像，通常在得到满意的图像时停止迭代，这就是偏微分方程表达的图像处理过程，求解这个方程一般应

18、用偏微分方程的数值解法。 2.2.2 显式差分格式在离散的设定上，设图像区域是一个矩形，定义一个均匀的网格，假设方向是等步长的。我们利用空间步长为，时间步长为。图像为像素，网格节点上的值就是图形灰度值，网格节点一共有个网格，每一个网格点代表一个像素，网格坐标为，是的近似值，用显格式进行离散，得到的差分方程如下10：时间偏微分：由微积分定义可得： (2.9)作为对的近似可以表示为 (2.10)空间偏微分：用相同的理论我们可以得到在的近似 (2.11)为了得到这个相对精确的近似值，我们用 (2.12)表示对的近似，而上面包含的和可以用近似的和 (2.13)来表示，此时就有 (2.14)同理，交换i

19、，j的值，也可以相应得到对的近似 (2.15)因此根据以上三式的近似表达式来近似偏微分方程，在的表达式，再加上约束条件有 (2.16)或者表示为 (2.17)最后根据给出的这个问题的初值条件可以做如下做近似边值条件：为了保证边界的连续性，采用纽曼边界条件，即用一阶的微分形式来逼近上式当中的偏导数，可以得到，即，根据以上的推导，可以得到算法流程图：读入原始图像的宽度、高度等矩阵信息。选择适当的步长和时长得到最终结果，计算最终图像信噪比，记录显格式处理效果进入第一步循环，对已知的图像信息逐行逐列进行迭代格式进行计算，令，循环直到得到希望的结果或达到限制条件。加高斯噪音，得到有噪音的图像，即要进行处

20、理的 2.2.3 交替方向隐格式上节介绍的显格式差分格式，是最简单的差分格式。在对偏微分方程进行离散时使用这种格式比较简单，但是效果并不是最好。所以选取其他更好的差分格式是很重要的，这将会影响图像的去噪速度。如果使用无条件稳定的交替方向隐格式11 对偏微分方程进行离散，来取代前面所用的显格式，可以提高图像的去噪速度。为了直接对隐格式进行求解，将使用交替方向隐格式，这样做必须去解决一个较大的矩阵方程，如果使用高斯消去法，在求解这个二维的微分形式的矩阵方程时将会有较大的消耗。同时，如果使用一种迭代格式来求解，在一些情况下可以，但是在每一步的迭代过程中消耗过大，而交替方向隐格式是对隐格式的一种解释，

21、并且提供了一种更好的格式。交替方向隐格式包含隐格式的所有优点，只需要求解一个三对角线矩阵即可计算最终的结果。由于上面的模型对图像进行去噪处理，采用显格式进行离散的。下面改用交替方向隐格式来离散，来对图像进行去噪处理，最后对实验结果进行分析。首先从最简单的模型来说， (2.18)对于二维的问题，离散过程中的交替就是先对其中一个方向做隐格式，而另一个方向依然用显格式，然后下一步交换对上一步中做隐格式的方向做显格式，而另一个则为隐格式，进而得到我们所需要的求解格式，分两步得到我们所要的结果。第一步是离散化，同上面保持一致，我们假设图像区域是一个矩形，并定义一个均匀的网格，空间步长为，时间步长为，图像

22、为像素，网格节点上的值就是图像灰度值，网格坐标为。是的近似值。对x方向做隐格式，在这里我们选取时间步长为，得到如下形式的方程 (2.19)对上式整理后，变成如下形式 (2.20)对y方向做隐格式，这时我们做剩下的那半个时间步长，得到如下差分格式 (2.21)或者 (2.22)边界条件：为了保证边界的连续性，同样采用纽曼边界条件 (2.23)如果用一阶的微分形式来逼近式中的偏导数，可以得到即 ， (2.24)如果用二阶来逼近纽曼边界条件，首先要构造虚拟点。就拿来说，构造虚拟点，对便捷条件做如下逼近，即 (2.25)对交替方向隐格式，第一步是x方向做隐格式 (2.26)通过上式求解，由于左端含有当

23、取值为时可在以上两种边界条件中选其一来确定边界值，不妨取第二种，即有和 (2.27)进而求解，同样对于第二步y方向做隐格式 (2.28)通过上式求解，由于左端含有j-1，j+1，当j取值为0，M时取和得出上述的差分格式后要对其进行求解，如同第一步对x方向做隐格式，第二步也用这种方法。对于第一步的差分格式 (2.29)首先取定为的一个值，当取遍后，选定相应的边界条件，可以得到： (2.30)其中系数矩阵是三对角矩阵 是由时刻的未知解组成的列向量，是差分格式的右端决定的列向量，可以由时刻的解得出。 (2.31)求解上述的方程的步骤是写出它的扩张矩阵。使用高斯消去法。用追赶法求解。算法设计如下所示：

24、读入原始图像的宽度、高度等矩阵信息。根据需要，选择步长和时长得到最终结果，计算最终图像信噪比，记录交替方向隐格式处理效果进入第一步循环，取半个时间步长。先采用对x方向做隐格式，取定为中的一个值，然后对相应的向量赋值，用上述的高斯消去法得到最终的r即我们所求的,.当j取遍0,N中的每一个值，得到，。同样对y方向做隐格式，只是改变i，j的位置，利用上半步得到的迭代得到，。加高斯噪音，得到有噪音的图像，即要进行处理的稳定性分析：对于交替方向隐格式，增长因子 (2.32) 则双步的增长因子为 (2.33)由于且，所以，因此易证。所以交替方向隐格式的双步过程是无条件稳定的，也就是基于方程的交替方向隐格式

25、是无条件稳定的。 (a)原图 (b)加躁图 (c)去噪结果图 图2-3 线性均匀扩散模型去噪效果 2.2.4 显格式与交替方向隐格式的比较：不论是根据肉眼观看图片，还是从峰值信噪比、均方误差来看，使用交替方向隐格式差分来离散方程后对图像进行处理，去噪效果要比用一般的显式差分格式离散后去噪效果要好，速度也相应提高。表2-2 全变分去噪模型显格式与隐格式对比差分格式峰值信噪比（PSNR）均方根误差（MSE）时间TV显格式23.1402189.10383.9825TV交替方向隐格式26.6882107.56691.15762.3 非线性各向异性扩散方程模型2.3.1 模型的建立年，和考虑到热扩散方程

26、中的平滑滤波不能保护边缘特征的缺点，他们加入了一个控制扩散速度的函数，这个函数随着图像的位置而变化，构成的异向扩散方程改变了这一缺陷，为模型应用于图像处理的研究开辟了新的途径。其平滑过程以偏微分方程形式给出，非线性各向异性扩散方程模型，即扩散方程为12： （2.34）其中为我们处理的图像，为图像的梯度，g（x）是非递增的单调函数，称为扩散函数，它的值表示了扩散强度，并且符合，通常给出的的形式有两种，分别是：和 （2.35）式中是梯度门限。模型根据图像梯度模实现有选择的扩散平滑，当边缘部分具有较大的梯度值时，取的值较小，在这里模型进行的平滑处理也就较弱，以便保护图像的边缘信息。基于对图像效果的追

27、求上，对偏微分方程离散式恰当的更好的差分格式的选择是非常重要的。一般来说显格式是最简单明了的差分格式，也被较多的使用。而在偏微分方程中交替方向隐格式相对于显格式条件收敛，是一种相对更加好的差分格式。下面就非线性各向异性扩散方程模型，讨论显格式与采用交替方向隐格式来替换，进行分析对比。2.3.2 显格式数值解对于式2.34的模型，首先是离散化引入网格坐标，。是的近似值，有13：时间偏微分： （2.36）空间偏微分：同是的近似值类似，设是的近似值。对的离散化是： （2.37）对的离散化采用 （2.38）其中的 c （2.39）同样的对于 （2.40）最终得到： （2.41）对第二项 （2.42）采

28、用类似的离散形式，只需要交换i和j的位置，即： （2.43）最终得到方程对应的差分方程： （2.44）再加上相应的边界条件， （2.45）算法流程图设计如下：读入原始图像的宽度、高度等矩阵信息。根据需要，选择步长和时长得到最终结果，计算最终图像信噪比，记录显格式处理效果进入第一步循环，对已知的图像信息逐行逐列进行迭代格式 进行计算后，令 ，得到下一步的值 同样对y方向做隐格式，只是改变i，j的位置，利用上半步得到的迭代得到，。加高斯噪音，得到有噪音的图像，即要进行处理的 2.3.3 模型的解法为了进一步改善算法，加快算法处理图像效果，对于式2.3.1，我们也可以使用交替方向隐格式来对模型差分1

29、4。 （2.46） 首先进行离散化， 是一个数，对，把从求偏导中提出来，同样的对第二项也一样。同上面保持一致，选定时间步长与空间步长。同的近似值类似，设的近似值。对方向做隐格式：选取时间步长为,得到如下形式的方程 （2.47）对上式整理后，变成如下形式 （2.48）对方向做隐格式，这时我们做剩下的那半个时间步长，得到如下方程 （2.49）或者 （2.50）接着对的隐格式求解。得到上述的差分格式后要进行求解，基本理论同上只是系数的变化。以第一步对方向做隐格式为例，第二步同第一步方法相同。对于第一步的差分格式 （2.51）取定为中的一个值，当取遍后，选定相应的边界条件，我们得到 （2.52）其中系

30、数矩阵是三对角矩阵变化为 仍是由时刻的未知解组成的列向量，是差分格式的右端决定的列向量，可以由时刻的得出。 （2.53）由上述的算法得出最终的r向量就是我们所求的，。用相同的方法对第二步隐格式求解可得，求解上述的方程的步骤是写出它的扩张矩阵，使用高斯消去法。算法设计流程图如下所示：读入原始图像的宽度、高度等矩阵信息。根据需要，选择步长和时长得到最终结果，计算最终图像信噪比，记录交替方向隐格式处理效果进入第一步循环，取半个时间步长。先采用对x方向做隐格式，取定j为0,N中的一个值，然后对相应的向量a，b，c，r赋值，用上述的高斯消去法得到最终的r即我们所求的,.当j取遍0,N中的每一个值，得到，

31、。同样对y方向做隐格式，只是改变i，j的位置，利用上半步得到的迭代得到，。加高斯噪音，得到有噪音的图像，即要进行处理的稳定性分析：对于交替方向隐格式，增长因子、双步的增长因子为15： （2.54）由于且，所以，因此易证。所以交替方向隐格式的双步过程是无条件稳定的，也就是基于P-M方程的交替方向隐格式是无条件稳定的。 (a)原图 (b)加躁图 (c)去噪结果图 图2-4 非线性各向异性扩散模型去噪效果2.3.4 P-M 型的显格式与交替方向隐格式对比 分别用显格式和交替方向隐格式数值求解这一模型，通过对同一图像去噪表明，由于交替方向隐格式的无条件稳定性，相对于显格式，极大的节省了总的计算时间。通

32、过采用交替方向隐格式来代替显格式来对偏微分方程数值求解是一种更好的方法，我们进行迭代后效果也很好。达到了去除噪音，并保持更好的图像信息，得到了较令人满意的结果16。表2-3 非线性各向异性扩散方程显格式与隐格式对比差分格式峰值信噪比（PSNR）均方根误差（MSE）时间P-M显格式24.7782166.9838 2.8654P-M交替方向隐格式28.0138 101.03180.91373总结与展望三种模型、共六种差分格式，对比其峰值信噪比、均方根误差、计算时间。表3-1 各个模型峰值信噪比、均方根误差和运行时间对比去噪模型峰值信噪比（PSNR）均方根误差(MSE)时间（秒）热传导方程显格式19

33、.4873231.93847.8691热传导交替方向隐格式22.0284193.54322.1865TV显格式23.1402189.10383.9825TV交替方向隐格式26.6882107.56691.1576P-M显格式24.7782166.98382.8654P-M交替方向隐格式28.0138101.01830.9137根据表中的计算结果可以看出，显隐差分格式无论在计算速度上、还是计算效果上，都比显式格式好。即对于同一模型，隐式差分格式比显式差分格式效果好。但是由于本文仅仅探讨了一个图像实例，对于这个图像P-M模型效果比TV模型效果好，但是并不能说明对于任何图像，P-M的效果都比TV模型

34、的好，这是本文的不足之处，以后还需要进一步研究。 下面针对P-M模型，TV模型这两个相对比较好的模型的优点、缺点进行对比。表3-2 TV、P-M模型优缺点对比去噪算法优点缺点P-M模型扩散程度的判断条件是由梯度模的大小决定的，在图像边缘处梯度模较大，因此扩散小，这在一定程度上保护了图像边缘。无法去除大的噪点。由于图像在大的噪点处同图像在大的噪声点出同图像边缘处一样梯度也很大，这使得扩散程度小；PDE这一类模型不适定，方程的解不唯一。TV模型解的适定性质及数值解法理论很成熟；在去除噪声的同时也能较好的保边性。平滑区域较容易产生梯度效应。 这三种模型还无法实现高质量的对图像进行去噪，更好的模型还需

35、要更进一步的研究。另外，本文在处理图像过程中与在现实中对处理速度的追求、更有效的实现、保持图像纹理细节等方面仍有一定的距离，这也将是需要探索的新模型要继续考虑研究的问题。致谢：本论文是在李老师的悉心指导下经过几个月完成的，李老师对学术的严谨和精益求精的工作作风给我留下了非常深刻的印象。从选题后的题目分析到开题报告，从写作提纲，再到毕业论文的编写、修改，每一步都有李老师的细心指导和认真解析，在此我表示衷心的感谢。四年大学生活快要结束了，回顾四年的历程，老师们给了我们很多无私的指导和帮助。他们严谨的治学，优良的作风和敬业的态度，为我们树立了为人师表的典范。在此，我对所有数信学院的老师表示感谢，祝您

36、们身体健康，工作顺利！参考文献1Rafael C.Gonalez,Richard E.Woods著，阮秋琦，阮宇智等译.数字图像处理第二版（Digital Image Processing Second Edition）M.北京：电子工业出版社，2007.8.2李兰兰，吴乐南.一种各向异性扩散图像去噪的方法J.Journal of Circuits And Systems,2003,8(6):143-1453崔峰峰，黄淑祥。基于PDE的图像去噪D.济南：山东大学，2008.4冯象初，王卫卫.图像处理的变分和偏微分方程方法M.北京：科学出版社，20095Perona.P and Malik J.

37、Scale-space and edge detection using anisotropic diffusionJ.IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence,1990,12(7):629-6396各向异性扩散平滑滤波的改进算法J.中国图像图形学报，2006，11(2)：210-2167王大凯，侯榆青，彭进业.图像处理的偏微分方程方法M,北京：科学出版社，2008，125-1268史渊，潘振宽.非线性扩散和变分模型在图像去噪中的应用D,青岛：青岛大学，2008.9朱立新，夏德深.基于偏微分方程的图像去噪和增强

38、研究D，南京：南京理工大学，2007.10潘振宽，魏伟波，张海涛.基于梯度和拉普拉斯算子的图像扩散变分模型J.山东大学学报理学版，2008,5(2):3-8.11陈守水，杨新.基于偏微分方程的图像降噪及质量评价研究D.上海：上海交通大学，2008.12阮秋琦.数字图像处理学M.北京：电子工业出版社，200113张澶，陈刚.基于偏微分方程的图像处理M.北京：高等教育出版社，200514张新/图像偏微分方程的原理与应用M.上海：上海交通大学出版社，200315陈守水，杨新。基于偏微分方程的图像降噪及质量评价研究D.上海：上海交通大学，2008.16Rudin L,Osher S,Fatemi E.

39、Nonlinear total variation based noise removal algorithmstJ.Physica D,1992,60(1-4):259-268. The Study of Difference Schemess in Image DenoisingKang QingYuSchool of Mathematics and Information Science, Henan Polytechnic UniversityAbstract: As the develoP-Ment of the digital products, digital image pro

40、cessing has become the interdiscipline of math and computer science, in which the digital denoosing is the research hotspot of this new science. In the traditional image denoosing arithmetic ,such as the average filtering median filter Lowpass filtering , Wiener filtering. denoosing and Detail infor

41、mation are ambivalent .When denoosing ,these arithmetics will destroy the edge of images and detail feature.Based on the image denoosing arithmetic of pde, the arithmetics can balance the Contradiction,which is a better image denoosing arithmetic.The heat equations,TV model ,P-M model are discussed

42、in this paper. Bothdisplay format and and implied format are discussed in every model.Though the examples of Image nois and image denoising, the stability and PSNR of every models are contrasted .Then the conclusion was draw : implied format is stability everytime.No matter about the speed or the re

43、sult ,the implied format is better than the display format.Thus, display format is better than implied format.Keywords:image denoosing； partial differential equation；difference schemes； alternating direction implicit schemes； PSNR； 附录附录1.高斯噪声：高斯噪声的添加:I=imread(lena.jpg);%读取图像J=imnoise(I,gaussian,0,0.

44、02);%加入均值为0，方差为0.02的高斯噪声subplot(1,2,1);imshow(I);title(原始图像);subplot(1,2,2); imshow(J);title(加入高斯噪声之后的图像);附录2.添加椒盐噪声：I=imread(lena.jpg);J1=imnoise(I,salt & pepper,0.02);subplot(1,2,1);imshow(I);title(原始图像);subplot(1,2,2);imshow(J1);title(加椒盐噪声后的图像);boso泊松：泊松代码：im=imread(lena.bmp);%im=im2double(im);o

45、utpoisson=imnoise(im,poisson);hsize=10;sigma=5;h=fspecial(gaussian,hsize,sigma);mesh(h);imagesc(h);fgauss=imfilter(outpoisson,h);subplot(221);imshow(im);title(原图);subplot(222);imshow(outpoisson);title(泊松噪声图);附录3.去噪模型评价：%A是原来的图像，B是经过处理后的图像A=imread(lena.png);I=imread(lena.png);B=imnoise(I,gaussian,0,0

46、.005);%加入均值为0，方差为0.005的高斯噪声Imsz=size(A);ngrid=Imsz(1)*Imsz(2);%求原图像的大小A=double(reshape(A,1,ngrid);B=double(reshape(B,1,ngrid);g_mean = mean(A);%求出图像的平均值g_max = max(A);%求出图像的最大值sqr_err = (A-B)*(A-B) ;MSE=sqr_err/ngridNMSE = sqr_err./A*ASNR = 10.0*log10(A-g_mean)*(A-g_mean)/sqr_err)PSNR = 10.0*log10(g

47、_max*g_max*ngrid/sqr_err) 附录4.TV去噪程序：clear all;close all;clc;Img=imread(lenna.bmp);Img=double(Img);figure(1); imshow(uint8(Img);nrow, ncol = size(Img);%- 给平滑图像加噪I0=Img+20*randn(nrow, ncol); % 加入标准差为 20 的高斯白噪声figure(2); imshow(uint8(I0);lamda=0.; timestep=0.04; % 设置步长I_temp=I0; % 初始化iter=1000; %- 迭代开

48、始for n=1:iter I_temp=I_temp+timestep*I_t;endfigure(3);imshow(uint8(I_temp);%评价标准A=Img;B=I_temp;Imsz=size(A);ngrid=Imsz(1)*Imsz(2);%求原图像的大小A=double(reshape(A,1,ngrid);B=double(reshape(B,1,ngrid);g_mean = mean(A);%求出图像的平均值g_max = max(A);%求出图像的最大值sqr_err = (A-B)*(A-B) ;MSE=sqr_err/ngridNMSE = sqr_err./A*ASNR = 10.0*log10(A-g_mean)*(A-g_mean)/sqr_err)PSNR = 10.0*log10(g_max*g_max*ngrid/sqr_err)附录5.P-M图像去噪程序：close allclearclc%原始图像的读取与显示im=imread(lenna.bmp);imshow(im);title(原始图像);% %高斯低通滤波得到模糊图像% h=fspecial(gaussian,3,3,1);%高斯低通滤波器（采用3*3的模板，标准差为1（默认的为